第3卷 第2期 物 理 学 进 展
vol.a.M.2
蛐83年6 月 PRoGRESS
IN PH宓SIcS June.. 1983
格点规范理论
(I)'
本文介绍了山碑出咖
幕人发展起来的处理粒子间强问互作用的拮点规范理论. 由于这
个理坨是建立在点阵上的规范理逍，
故首先讨论了点阵上体系酶场论性质和统计物坦性质
之间的联系,
介绍了处理粒子禁闭问薰昙互的WHs酣判据， 点阵的哈密顿形王总 然后讨遭了各
种具体填型的计算方法，
如规范场的点阵模型、 紧致QE二D模型.费米子模型、 阿贝尔田ggs
模型等. 在此基础上，
思结出辆'扯舶卫定理。 本文也讨论了椎点规范理伦中的实空间重正化
群方法，
介绍了HeiSenbeTg 平面模型的重正化群分析, 一结的二维的复现关系及酣刨玑
近似。 最后评介了近年来对于珊…血
回路算子的一些研究， 内容包括伟 Hoeff代数和
聊…血回路算子方程等。
v
量子场论与统计物理在概念上存在着密切的联系，
在方法上互扣借鉴. 例如Green
函致的概念和 Fe酐nman
图形展开的方法对这两个领域的发展都起了极为重要的作用.
在这种相互渗透、
相互促进而发展的基础上， 产生了应用格点规范理论讨论禁闭问题的
一系列工作巾。
如果说自六十年代以来主要是统计物理汲取了量子场论的方法而在理沦
形式上有所发展， 那么目前的格点规范理论就是借用了统计物理中研究相变、
临界现翼
等问题的方法而对非阿贝尔规范场论的研究有所发展。
应该指出, 格点规范理论在目前仍只造一个理论上的方案,
而不是一个基本理论.
因此它不必也不可能解决非阿贝尔场论里的所有问题。
格点规范理论通过时空分立化给
出了动量空间中的紫外截断，
利用这样一种正常化程序处理在连续场论中非常困难的层
子禁闭问画,
就给出了有明确物理意义的禁闭判据…， 并对许多具体模型发展了一套理
论的计算方法和技巧， 初步推导出
QCD 场论与一些唯象禁闭模型(如弦模型)之间的关
系玑 应该说,
这至少对于禁闭问的解决有一定的启发性, 提供了若干值得探人研究
的有希望的途径。 ” 一
ˉ
同时也应该看到, 格点规范理论还是一个正在发展之中的理论。
有许多根本问题，
例如点阵不保持Lorentz协变性，
点阵理论能否回到连续理论, 点阵能否得出除禁闭之
外的其它与实验符合的结果的问题，
都没有得到解决口 目前关于格点规范理论研究的核
(过门宜咖出现在指数上,
因而是角度变量, 作用量且是避观的周期函数， 周期是 2靠。
(1.15)式就是Wi1son最初在文献〔1〕中所引人的点阵上的作用量u
后来有人指出
「7',
若费米子的微分采用通常的差分定义(1.3)式, 则得不到正确的能量动量关系式(见
第二章童2)。
为了纠正这一情况, 可以引用因子( 1 士唰代替作用量里的咋, 而将作用
作用量U.1盼式在如下的定域规范变换下是不变的
2 期 格点规范理论( I)
133
注意an
在这里仅是形式上的记号, 只有当取u刁 0的极限之后它才有微商的意义。 上述
各展开式中口的高次项在取连续极限之后无贡献,
故不写出c 这样
阳 物 理 学 进 展
3卷
因为在取连续极限之后指数上的高次项将提供多余的口的幂次因而无贡献，
所以只需利
用
k式的近似
此式第一项提供一常数项，
第二项取述后为零, 第三项有贡献， 以后的高次项由于含有
额外的饵的幕次而无贡献。
所以
在上一节里我们写下了理论在欧氏空间点阵上的作用量，
这样做是为了利用统计物
理中求统计平均的公式计算格点规范理论的Gre血函数。
为此需要说明点阵体系的场论
性质和统计物理性质之间的关系。
灞 以自耦合标量场为例固，
体系的拉氏量是
砜对是相应的本征值。
在Heisenberg表象里, 如果体系在时刻拓处于本征值为咖触) 的
态附咖抽，
在时刻帖处于本征值为咖的态 懒妇加, 则体系在这两个态之间跃迁的转换
振幅为
I38 物 理' 学 进 展
3卷
这个记号表示对空间每一格点都有一个完备的集合[I」f)>]，，
可以求得
比较(1.57)和(1.59)式可得毒的表达式。
在准确到口的一次方时,
有了转移矩阵,
就可以进*步考察-场论与统计物理中有关物理量的对应关系。 一些
对于讨论禁闭等问营很有用途的对应关系列于市表c
2 期 格点规范理论(I)
139
在点阵上进行的路径积分的计算,
例如流一流传播子， 可以按琉计物理的办法用统
计平均值来代替。
在阿贝尔规范情形下,
点阵上的蔬一流传播子为
点里的传播函数。 若认为伽和玑
皆是四分量的Dirac旋量， 并以上标表示其旋量指梳
利用
Grassm巴n皿致积分公式 '
u
2 期 格点规范理论( 1)
143
这表明当能量足够高时，
可以将这两个荷分开, 因此这两个荷是不禁闭的.
在纵股情况下, WHson
判据可以理解为当由传播子或关联函致的计算得到面积律
时，体系处在禁闭相囊
当由传播子或关联函数的计算得到线度律时，体系处在非禁闭相.
第二章 具体模型的计算和
聊出血定理
在Wi重Sou提出禁闭判据之后,
有大量的工作对各种具体模型进行了计算.这些工作
加深了对于规范理论性质的认识，
同时也丰富了格点规范的方法。
我们先讨论作用量只包含阿贝尔规范场的模型，
它的规范不变的关联函数是
由于对喜 中的每一个日血，
存在一个积分
「 d B..g: 田即: 0,
(2.3)
这个条件可以几何地加以理解。每个王础对
应于点阵上一个基本方格, 这个条件就是说
C
基本方格她曲圳迟 …、 (把正,#摩，献囊)
所构成的表面恰好以封闭回路C 为其边界
(图2一1)时,
Z栉忙门才有非零值n
对于一一个给定的路径已
在耽门的展开
式中贡献最大的一ˉ项决-定于回路C所田成的
】 及 I I
最小面积互，
这是因为当矿很大时， 所有的 __ 上
高级项都可以忽略。 同样,
(2.1) 式中的分
由于关联函数是规范不变的,
因此在不同的规范下进行的计募都得到同一结果. 当
我们取Fey皿man规范时,
上迷积分是Gaussian型积分， 可以算出
14日 物 理 学 进 展
3卷
(2.15)
因此，
利用(1.78)式得
系处于非禁闭相，
以上的讨论表明，
四维欧氏空间的阿贝尔点阵规范榛型有两个不同的相。 但在二维
阿贝尔规范模型中对于任何非零粘合常数只存在一个相,
总有面积律成立。 事实上, 取
时间规范。
Bno: 0 .
(2.2D)
贝出(2.1)式可以写为
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