在原子与场相互作用的
时间内，相位因子将经历更多的周期
第20 卷 第6 期
2003年12月
量子电子学报
CHINESE JOURNAL OF QUANTUM ELECTRONICS
、b1．20 NO．6
Dec．，2003
文章编号： 1007—5461(2003)06—0725—09
非旋波近似下光场与级联型三能级原子
相互作用系统的场熵演化特性
刘素梅
(南京理工大学理学院， 南京 210094)
摘 要： 本文采用全量子化理论，研究了非旋波近似下级联型三能级原子与单模光场相互作用过程中受激场
场熵的演化规律，通过与旋波近似下的相应结果进行比较，进一步揭示出非旋波近似下虚光场效应和初始场的
平均光子数对场熵演化特性的影响．
关键词： 非旋波近似；虚光场效应；场熵；附加“熵振荡”
中图分类号：O431．2 文献标识码：A
1 引 言
随着高新技术的发展，人们已能制造出与原子的辐射波长相近，且大小Q值很高的腔体【。，引，在如此
小的腔体中，原子与腔场的相互作用具有很多非常有趣的性质。最近，关于J—C模型动力学特性的研究，是
量子光学研究领域的热点。尤其是研究反映J—C模型中光场与原子关联效应的场(原子)熵演化的规律，
正日益引起人们的重视。熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量。熵的理论在光学中的若干应用，最先
由Gamma[3】对于部分相干光场作了考察。
近年来， Barnett和Phoenix等【4， 】将熵理论应用于量子光学领域，研究光场与物质相互作用时信息
的关联与演化，用熵作为量度量子光场关联与涨落的物理量，给这一领域的研究注入了新的活力。在确定
光场与原子的关联程度、在为光场与原子相互作用时所呈现的量子效应提供物理机制解释和为其信息测量
提供理论依据方面，熵理论都显示了很大的优越性【引。由于量子系统的熵自动包含了系统密度算符的高
阶统计矩，是一种十分灵敏的量子态纯度的操作测量(operational measure)，同时，也是解释量子系统动力
学特性的重要工具。Phoenix和Knight也导出了计算标准J-C模型中场约化密度矩阵的本征值、本征态
的一般公式以及场与原子相同的描述纯态程度的熵函数。在J—C模型中，光场(原子)熵的时间演化反映
了光场与原子关联的时间行为，熵越高，关联程度越大。光场所包含的信息可以通过对原子性质的测量来
推断，以揭示原子与光场共振的纯量子效应和非线性现象。
最近，人们相继对单原子、双原子与各种模场相互作用模型的量子统计性质作了研究，特别是，把熵
的理论应用于量子光学之中，可使人们进一步探索和研究光场与原子相互作用过程中有关场与原子各种量
子信息的关联特性，得出了许多有意义的结果[6~15】。近期有关虚光场效应的研究表明，虚光场是Lamb
位移的根源，它能够保证光场．原子耦合系统具有因果性，另外它也是系统出现量子噪声的根源，所以从
理论上探讨虚光子过程对受激辐射场场熵的影响是十分必要的。但对于非旋波近似(WRWA)下级联型三
能级原子与光场相互作用的原子与光场的缠绕，尚未有人涉及。本文研究了非旋波近似(WRWA)下级联
型三能级原子与单模光场相互作用过程中场熵的演化规律。讨论了虚光场效应和初始平均光子数对元场
熵演化的影响。
2 理论模型与求解
如图1所示为级联型三能级原子模型。该原子的能级从上到下分别用ln)，l6)，le)表示，其中能级ln)
收稿日期： 2002—12—23； 修改日期： 2003—05—28
E．mail：liusumei@263．net
726 量 子 电 子 学 报 20 卷
与lb)及lb)与c)之间的跃迁与频率 的场相共振，而la)与lc)之间的跃迁是禁戒的．
在相互作用绘景中，描写单模腔场与三能级原子相互作用系统的Hamiltonian(]~危=1)在旋波近似
(RWA)下可表示为：
A= A|+Aa+Al，
疗，= a+a，
= “ ( =0，b，c)， 、
岛=A1(a+ 曲+a 6。)+ 2(a+ 6。+a 。6)，
(1)
(2)
(3)
(4)
式中 、 、岛分别表示场、原子及场与原子相互作用的
I口)
I6)
Ic)
Fig．1 The interaction between cavity
and a cascade three．1evel atom
Hamiltonian，a+、a表示光场的产生和湮灭算符， 凡( =1，2)为光场与原子的耦合系数， ( =a，b，c)
为原子的本征频率。 “( =0，b，c)为原子能级占据态算子，原子算符息j遵守以下关系：
(息j) = { f， 【 ， f】： 订 ～ {， 【 f，a】=【 f，a+】=0
若在初始时刻，场处于相干态lQ)，在Fock空间中表示成：
lQ)=ΣF(m)lm)，
m
式中F(m)为光子数的统计分布。
F(m)：ame(-a2／2)／(m!) ，
Q=1~1~e ．
Io,I =,fi
这里 为Q的位相角， ,fi为初始场的平均光子数。
若初始时刻原子处于激发态l0)，则系统在初始时刻的态矢量可表示为
l (0))=la,Q)=ΣF(m)la，m)．
m
在t>0以后， 由于原子与场相互作用，上述态矢量演变为
I (t))=ΣF(m) (t)la，m)+B +l(t)lb，m+1)+Cm+2]C，m+2)】
m
该态矢量满足SchrSdinger方程：
i =岛 ．
f iA (t)= 1丽Bm+l(t)
{i唐m+l(t)= 1丽A (t)+ 2网Gin+2(t)
l i +2(￡)= 2网 +1(￡)
取A1= 2= ，考虑到在初始条件下， (0)=1，B +1(0)=Cm+2(0)=0。
通过求解方程组(11)式即可得到该系统的旋波近似(RWA)解为：
(5)
(6)
(7)
(8)
(10)
(11)
第6 期 刘素梅： 非旋波近似下光场与级联型三能级原子相互作用系统的场熵演化特性 727
)=瓣1 【e一 (1+4e +
e
~／= +m+2me~／= +me ~／= )】
[ie一 -I W e2~／一-3-2m )~／-3-2mx／-m+I]‘ 2
)= 1 【e一 (
- l+e ) 丽网
在非旋波近(WRWA)似下系统的Hamiltonian为：
／：／l=A1(a+ 。6+a 6。+a+ 6。e +a 。6e一 )+入2(a+ 6。+a 。6+a+ 。be +a 6。e一 )． (13)
将(9)、(13)式代入(10)式得方程组：
f iA (￡)=Ax／-- m--~ B +1(t)+ 入、／ B 一1(t)e
l iBrn+1(t)=入～ +1 Arn(￡)+入< 、，／m+2 c +2(￡)+ ，．、
，
【l4J
I F4A、／ rn+2(￡)e一 +F2A、／ Cm(t)e。
【i(．1m+2(￡)=)!v／-m--4-~Brn+1(t)+ 入、／ 丽Brn+3(￡)e一
其中 F2=F(m一2)／F(m)，F4=F(m+2)／F(m)． (15)
在方程组(14)中，各式右边的后面带e 或e 的项代表虚光子过程(非旋波近似项(WRWA))对
A (￡)，B +1(￡)，Cm+2(￡)的贡献，各式右边的其余项则代表实光子过程(旋波近似项(RWA))对A (￡)，B +1
(￡)，Cm-I-2(￡)的贡献。由于虚光子过程的影响比实光子过程要小得多，为了获得A (￡)，B +1(￡)，Crn+2(t)的
解，我们将旋波近似(RWA)下的解作为方程组(14)的零级近似，利用逐级迭代理论：把旋波近似下的解
代入方程组(14)的右边，积分并且精确到入／ 的一次项得：
A竹I(￡)=(e-(kl+七2) (一ekltk12(3+2m)入(一2ek2tk13+e21wt(七13—2i、／T= )+
e2(七2 +2 )(k13+2i、／T= ))一e七2 (一1+ek1 )2(一1+m+2m2)
(k13)!一4w )fi))／(2(-1+2m)(3+2m)(k2—2iw)(k2+2iw)fi)； (16a)
Cm+2(￡)=(e-(kat+ - )一 (一ekat+2iwt(一1+eklt) kllkTkls)!一4w )一
ek~tkIIk8((1+e 3 一2ekat+2iwt)七l5—2i(一1+e2kat)乜／ )壳))／
(七9(七3—2iw)(k3+2i ))； (16b)
Bm+l(￡)=(e一(kst+七1 +七2 )(一e一(kst+kit)七1k12kllk10(入七15—4w2)(ek2t入七13一ie2七2 +2 (k2—2iw)we2iwto3(
一ik2+2 )+ek2t+ u (入七13+4w ))一ie一( 3 + )(一1+e2k~t)七llk4wk5k6fi—
e(k~t+k2t-2iwt)七1kll(七13／入)(入七13—4w )e 3 (3+m) (一ik3+2w)+(3+m)w(ik3+2 )+
e(kat+ )(k15／入)((4+m)入 一4w )一ekat(4+m)(七15入一4w )) ))／
(2(k1／入)、／ F1七11(七13／入)(七15／入)(七3—2iw)(k2—2iw)(k3+2iw)(k2+2iw)wfi)， (16c)
其中
k1=~／—-3-—2m 入；
k4=(一7+5m+16m +4m。)；
k7=(14+25m+13m +2m。)；
k10=(7+9m +2m )；
k13=(2m 一1)入；
k2= 入；
k5=(一7+12m +4m )入 ；
k8=(9+9m +2m )；
k。。= ；
k14=、／j ；
k3=、／=了 入；
k6=一8(3+2m)A +16w ；
k9=2(m+1)(m+2)(3+2m)(7+2m)；
k12=m(m 一1)；
k15=(7+2m)入
728 量 子 电 子 学 报 20 卷
(4)一(16)式确定了系统在相互作用绘景中的态矢量，由此可以讨论虚光场效应和初始场平均光子数元对场
熵演化的影响。
3 场熵的计算公式及结果分析
在量子力学中，熵被定义为：
S=-Tr(plnp) (K =1)，
式中P为给定量子系统的密度算符，玻尔兹曼常数 被定义为1，且
P=l (t))( (t)1．
(17)
(18)
量子腔场作为原子与腔场所组成的闭合体系的一个子体系，是一个开放体系，它的熵是随时间不断变化
的。通过对场熵演化行为的研究，可以了解到场熵的动力学行为，描述光场的关联与涨落。于是定义子系
统的约化密度算符分别【 ，。】为： pf=Tr。(p)，P。=Trf(p)，式中Tr。代表原子系统变量求迹运算， n，代
表光场变量求迹运算。P为光场与原子的密度算符。根据文献[6]和(9)式的结果，得到光场的约化密度
算符为：
pf(t)=n{l (t))( (t)1)=ΣF(m)F(n) [A (t)A (t)lm)(nl+
m ．n
B +1(t)B +1(t)lm+1)(几+1l+C +2(t) +2(t)lm+2)(几+21]， (19)
因而可得到t时刻光场的熵 ，(t)为【 。】：
。。 。。
)=一Σ m Ipflm )ln(m IPflm )=一(PolnPo+P11nP1+Σ PmlnPm)， (20)
m - 0 m = 2
式中P0、P1分别为m 取0和I时(m Ipflm )表达式。当m 取2，3，4，⋯时， (m Ipflm )的具体表达式
Pm分别为：
Po=exp(一~)lAo(t)l ．
P1=exP(-fi)[元IA1( )l +IBl( ) (21、
P2=exp( 睁圳 I‰ + ICm+2㈤l ]_
由于(20)式得到确定的场熵的解析解非常困难，我们可以借助于数值计算，便可以形象地展示非旋波近似
下级联型三能级原子与光场相互作用的场熵演化规律。
从图2、图3中可以看出，场熵的演化具有明显的振荡特性，这说明了光场与原子的关联程度是振
荡的。场熵大时，关联强；场熵小时，关联弱。在此，为了更清楚地展示非旋波近似(WRWA)与旋波近似
(RWA)时这两种不同情况下系统场熵演化的区别，图3、图5分别给出了AS(t)=S f(t)一Sr，(t)的演化
曲线，其中 ，(t)为旋波近似(RWA)下的场熵， Sv r(t)为非旋波近似(WRWA)下的场熵。当AS(t)>0
时，虚光场效应使场熵增11；当AS(t)<0时，虚光场效应使场熵减小。
图2、图3分别给出了当 =0．1， =1时，场熵 ，(t)和AS(t)随初始场的平均光子数(即初始场
强)元的变化所呈现的演化规律。从图中的演化曲线可以看出，随着初始场的平均光子数元的增加，场熵的
均值不断增大，但振荡的幅度却明显减小，这表明在初始场的平均光子数元不太大时(大约为元<16)，元
的增加会导致光场与原子的关联增强，即耦合越紧密了【m】。
从图2(a)和图3(a)可以看出：在初始场的平均光子数元较小时，非旋波近似(WRWA)与旋波近似
(RWA)时场熵的演化规律几乎相同(有一点差别，但不大)，这表明弱场条件下虚光场效应对场熵演化的影
第6 期 刘素梅： 非旋波近似下光场与级联型三能级原子相互作用系统的场熵演化特性 。729
响较小。而当光场较强时(如图2(c)、(d)所示)，随着初始场的平均光子数元的增大(即场强的增加)，虚光
场效应对场熵演化的影响明显增大。当初始场的平均光子数元增至10时，从图2(d)和图3(d)可以明显
0 3
0 2
0·0
．
0．1
0·3
0_2
0·0
．
0．1
(C) =5 (d) =10
Fig．2 The evolution curves of field entropy vs．time with = 0．1． = 1
^ 山^．‘ ．^^_III^_ ¨‘^^IIr n J．-J
⋯0TT ’ 。’。l ●I ⋯’ 0 ●’ ’’。
。'．-’’ '’ ' r’l。’
0 3
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-o．1
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0
0-1
0．0
．
0．I
岫
”’-。⋯’。●1 r’ 。r ● ’’ 一。r’ 0
一 。
， ，
(C) =5 (d) =10
Fig．3 The evolution curves of AS(t)vs．time with =0．1， =1
地看出，虚光场效应对场熵演化的影响已经十分显著。主要表现为：在场熵演化的第一阶段， f(￡)的演
化曲线相对光滑[12]，而 ，(￡)的演化曲线不再光滑，这就相当于在Sr r(￡)的演化曲线上叠加了如图3(d)
所示的非等幅的高频“熵振荡”成分，这就表明：在强场的情况下，旋波近似(RWA)已不足以描述和讨
论场熵的演化问题，必须用非旋波近似(WRWA)来代替讨论。在非旋波近似(WRWA)下，由于虚光场效
应参与了场熵的演化，这就势必导致非旋波近似(WRWA)与旋波近似(RWA)这两种不同情况下场熵的演
化特征的不同。同时，从图2(d)和图3(d)还可以看出，虚光场效应使得场熵的演化产生了附加的“熵振
荡”，这种附加”场熵振荡”的振幅随着初始场的平均光子数 的增加而增大。这与文献【12】的结果一
致，即符合非旋波近似(WRWA)下场熵演化的振荡规律．当初始场的平均光子数 较小时(见图2(a))，场
熵振荡的周期性不明显．而当 增大到一定值时，场熵的演化呈现出较规则的振荡，表现出较明显的周期
730’ 量 子 电 子 学 报 20 卷
性(如图2(c)、(d))。从图中还可以看出，随着初始场的平均光子数元的增加，场熵演化的周期性更加明
显，而同时场熵振荡的周期明显增大。当计及非旋波近似(WRWA)以后，由于虚光场效应引入的附加“熵
振荡”的影响，由图2(c)、(d)可以看出：场熵演化到第一最小值的时间提前，最小熵增大。以上的结果
分析表明：初始场的平均光子数元的大小直接影响了场熵演化的周期性及场熵演化的最小值。
(a)u=1
O·3
O·2
o。
O·O
．o 1
(b)u=2
(C)u=3 (d)u=10
Fig．4 The evolution curves of field entropy VS．time with 入= 0．1．元= 10
(a)u=1
～ ． ． ⋯．JL。■● -．●』●■●●●一
(C)u=3
O_3
O 2
豸o。
O·O
．o．1
▲ 。^
⋯⋯⋯一．
一‘-- _ _-_
1r一 ⋯” ’
(b)u=2
(d)u=10
Fig．5 The evolution curves of AS(t)VS．time with入：0．1， =10
图4、5给出了当 =0．1，元=10时，场熵和AS随光场频率 的变化所呈现的演化规律。从图中
的演化曲线可以看出：当光场频率较小时( =1)，旋波近似(RWA)下和非旋波近似(WRWA)下场熵的
演化曲线差别较大。但随着 的增大，附加的“熵振荡”逐渐减弱，当 =10时(图4(d)，图5(d))，两种
近似下的场熵演化规律几乎是相同的。这是由于(13)式中的非旋波近似(WRWA)项的相位因子e 与
e 是以2 随时间快速变化的，当光场频率 增大时，周期T=2丌／ 减小，在原子与场相互作用的
时间内，相位因子将经历更多的周期，非旋波近似(WRWA)项的平均贡献将为零，从而使得虚光场效应
对场熵演化的总体(平均)影响趋于零。因而此时的场熵演化曲线与旋波近似(RWA)下的一致。同时，从
第6 期 刘素梅： 非旋波近似下光场与级联型三能级原子相互作用系统的场熵演化特性 731
图3、图5的AS(t)演化曲线中可以看出， AS(t)>0时，虚光场效应使AS(t)的振荡加强； AS(t)<0
时，虚光场效应使AS(t)的振荡减弱；这正与AS(t)>0时，虚光场效应使场熵增加；而AS(t)<0时，
虚光场效应使场熵减小的规律一致。
为了较全面地展现场熵的时间演化规律，我们用计算机模拟了场熵S (t)，AS(t)分别随 ， 变化的
时间演化曲面，如图6所示。由这些图可以更全面地看出场熵Sv(t)，／xs(t)随 ， 的变化关系。从图6(a)
中，还可以看出：当 增大到一定程度(约 >16)时，场熵均值随着初始场的平均光子数 的增加而逐
渐减小直至趋于零，这意味着初始场强过大(约 >16)时会导致光场与原子的关联程度逐渐减弱直至脱
耦。
(a) ：0．1， =1 (b) =0．1， = 1 (c) =0．1， =10 (d) =0．1，元=10
Fig．6 The evolution three—dimension Curves of field entropy VS．time
4 结 论
本文研究了非旋波近似(WRWA)下级联型三能级原子与单模光场相互作用的场熵演化规律。研究表
明：在非旋波近似(WRWA)下，虚光场效应引起了附加的“熵振荡”。这种附加的“熵振荡”的幅度将随
着光场平均光子数 的增大而增大，随着光场频率 的增大而减小。数值计算结果还表明：初始场的平均
光子数 同样影响着场熵演化的周期性；在初始场强 不太大(约 <16)的情况下，随着初始场强 的
增加，场熵的均值不断增大，光场与原子的关联程度增强；而在强场条件下(约 >16)，初始场强 的增
加将导致光场与原子的关联程度逐渐减弱直至脱耦。因此，受激辐射场的场熵确定了光场与原子的关联程
度，并为光场与原子的相互作用所呈现的量子效应提供物理机制的解释和为其信息测量提供了理论依据；
同时，受激辐射所包含的一系列量子信息，都可以通过对原子性质的测量来推断。
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Field Entropy Evolution of the Interaction Between
Three．．1evel Cascade Atom and Light Field W ithout
Rotating W ave Approxim ation
Liu Sumei
(School of Sciences，Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 2 10094 China)
Abstract： In this paper，the field entropy evolution in the system of three—level cascade atom
interacting with a single mode light field is studied by means of the quantum theory without
rotating wave approximation．Compared with the result of rotating wave approximation，the
influence of the virtual photon field and of the initial mean photon number on the evolution
of field entropy is also discussed．
Key words： without rotating wave approximation；virtual photon field efect；field entropy；
additional vibrations of entropy
作者简介： 刘素梅 (1968-)，女，江苏连云港人．2002年毕业于江西师范大学物理系，获硕士学位．目前就职于南京理工大学
理学院应甩物理系。主要从事量子光学和激光方向的研究．
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