多自由度耦合体系中有关自由度的
动力学行为，结果发现有关自由度的运动在环境影
响下，谱密度分布向高频方向移动，频率分布范围明
显展宽，有关自由度的运动也达到混沌状态
有限体系能量耗散运动的功率谱分析
!
袁常青赵同军
! 王永宏展永
（河北工业大学理学院，天津
"##$"#）
（
%##& 年% 月’ 日收到；%##& 年( 月’ 日收到修改稿）
研究了有限的多自由度耦合哈密顿系统能量耗散过程的动力学问题
) 通过数值模拟，实现有关自由度的能量
耗散过程，采用功率谱方法研究有关系统运动中的坐标
!（ "）或动量#（ "）的演化过程) 结果发现：在有关系统的能
量耗散过程中，有关自由度运动的频率成分向高频和低频方向都有明显展宽，随着无关系统自由度增多，展宽明显
增加；低频成分比较稳定，高频成分随着时间的演变逐渐减少
)
关键词：有限系统，能量耗散，有关自由度，功率谱
!"##
：#&’#，#&*(，#&*&
!
国家自然科学基金（批准号：$#"(&#$’，$#*(*#$+）和河北省自然科学基金（批准号：,%##*####&）资助的课题)
! -./012
：340567’’89:5;) <5/
$=
引言
有限多自由度体系能量耗散过程中不同自由度
的动力学行为是统计物理学中的基本问题
［$］，也是
当代科学很多领域（如核物理、生物物理等）的重要
问题
［%—*］，讨论有限系统中能量耗散过程的动力学
特性具有深远的意义
) 已有的理论工作指出，从微
观动力学角度通过耦合主方程理论能够推导出输运
方程来描述能量耗散过程
［&—$#］，为进一步研究多自
由度耦合体系的动力学问题提供了理论依据
) 但在
以往的相关研究中，整个微观系统被分成“有关”和
“无关”的两个子系统，采用
>0?@9A1? 方程或B5CC9D.
E20?<C
方程对有限系统进行描述，无关子系统往往
被假设成有无限个自由度、具有遍历性的热浴或与
时间有关的正则系综
［$$，$%］) 若整个体系的自由度是
有限的，则不能简单地将无关子系统看作热浴
)
在最新关于非线性多自由度耦合系统的理论研
究中，通过自洽集体坐标方法
［+］将多自由度体系最
优化地划分成两个子系统，取一个自由度作为集体
（有关）自由度，其余都看作内禀（无关）自由度，对有
关自由度的动力学特征进行了分析
) 结果发现有关
自由度的能量耗散运动经历了三个过程：解相过程、
非平衡弛豫过程和饱和过程，同时发现能量耗散过
程的非平衡弛豫是反常扩散
［’，(］) 数值模拟可以给出
耗散过程中各子系统哈密顿量随时间的变化曲线，
而从坐标或动量入手来研究耗散系统动力学问题更
加简便
) 本文的工作主要是对能量耗散过程中有关
自由度运动的动力学变量
!（ "），#（ "）构建功率谱，
以获得有助于深入理解能量耗散过程动力学特性的
信息
) 由于问题的复杂性，这里只讨论与有关系统运
动相关的功率谱
)
%)
理论模型与数值模拟
在有限的哈密顿系统中，引入正则坐标系，借助
自洽集体坐标方法把一个轨道分成集体自由度和内
禀自由度，系统被分成有关和无关两个子系统
) 整个
体系的哈密顿量可表示为
$
F $! G $" G $<5; ) （$）
系统
!"" 被分成两个子空间! 和"，这两个子空
间中的正则坐标各自为
!%
，
!!%
H
% F $，⋯和"#
，
"
!
#
H#F $，⋯，其中$!
只与
! 空间坐标有关，$"
只
与
"空间坐标有关，而$<5;
与
! 和" 两个子空间的
坐标都有关
) 这些坐标随时间的变化满足正则方程)
通过集体自洽坐标方法定义的正则坐标系消除了有
关系统与无关系统之间的线性耦合
［&］)
从分布函数
$（ "）的>15;A1229 方程出发，
$
·
（
"）F I 1&$（ "），
&’
# 1｛$，’｝F 1 !$
!
!
!
’!# I!$
!
#
!
’! ( ) !
，
（
%0）
$
（ "）#$（!（ "），!!（ "），"（ "），"!（ "））) （%J）
第
&* 卷第$% 期%##& 年$% 月
$###."%K#L%##&L&*
（$%）L&’%.#(
物理学报
,MN, EOPQRM, QRSRM,
T52)&*
，S5)$%，U9<9/J9D，%##&
"
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
%##& M41?) E4:V) Q5<)
引入一对约化的分布函数，
!
"
（
!）! !"#!（ !），
!
#
（
!）! !""!（ !），
（
#$）
!"
" !""##%"" %"$"
，
!"
# !"$##%#$%#$
$
，
（
#&）
这里
!"
（
!），!#
（
!）和!（ !）满足下述关系：
!"
!
（
!）’(，
!"
"!"
（
!）’(，
!"
#!#
（
!）’()
（
*）
算符
!" 定义为
!"
! !""!"# ’!"#!"" ) （+）
通过（
#$）式给出的两个分布函数，（(）式中的哈
密顿量可以分解成以下形式：
#
’#" , ## , #-./
’
#" , #"
（
!）, ## , ##
（
!）
,
#!
（
!）0 $1
（
!），
#
"
（
!）! !"##-./!#
（
!），
#
#
（
!）! !""#-./!"
（
!）， （2）
$
1
（
!）! !"#-./!（ !），
#
$34" （ !）’#"
（
!）, ##
（
!），
#
!
（
!）! #-./ 0 #$34" （ !）, $1
（
!）)
对应的
56./36774 算符可以表示为
%
’%" , %# , %-./
，
%
-./ ’%"
（
!）, %#
（
!）, %!
（
!）0 %1
（
!），
%
"& ! 6｛#"
，
&｝，
%
"
（
!）& ! 6｛#"
（
!），&｝，
%
#& ! 6｛##
，
&｝，
%
#
（
!）& ! 6｛##
（
!），&｝， （8）
%
-./ & ! 6｛#-./
，
&｝，
%
!
（
!）& !（6 #!
（
!），&｝，
%
1
（
!）& ! 6｛$1
（
!），&｝! 1)
借助一个与时间有关的投影算符
［+，9，:］
’
（ !）’!"
（
!）!"" ,!#
（
!）!"# 0!"
（
!）!#
（
!）!""!"#
，
（
9）
可以把分布函数
!（ ! ）分解成可分离部分和关联
部分，
!
; （ !）! ’（ !）!（ !）’!"
（
!）!#
（
!），
!
- （ !）!［( 0 ’（ !）］!（ !）， （:）
!
（ !）’!; （ !）,!- （ !）)
从（
<）式可以得到，
!
·
;
（
!
）’0 6’（ !）%!; （ !）0 6’（ !）%!- （ !），（(1）
!
·
-
（
!
）’0 6［( 0 ’（!）］%!; （ !）
0 6
［( 0 ’（!）］%!- （ !）) （((）
通过引入一个演化算符
(
（!，!= ）’)4>? 0#6 !
!
=
{
%%［( 0 ’（%）］%}，（(<）
可以得到关于
!; （ !）的主方程，
!
·
;
（
!
）’0 6’（ !）%!; （ !）0 6’（ !）%(（ !，!7
）
!- （ !7
）
0
#6 !
!
7
%
!= ’（ !）%(（ !，!= ）［( 0 ’（ != ）］%!; （ != ），
（
(#）
这里，
) 表示一个时序算符，!7
表示初始时刻
) 容易
证明（
(#）式时间积分中的56./36774 算符% 可以替换
成
%-./
，把
!; （ !），’（ !）用!"
（
!），!#
（
!）来表示，将算
符
!""
和
!"#
分别作用到（
(#）式两边，从而得到耦合
主方程
!
·
"
（
!）’0［6 %" , %"
（
!）］!"
（
!）
0 6!"
#
［
%" , %-./
］
(（ !，!7
）
!- （ !）
0
#!
!
7
%
%!"#%!
（
!）(（ !，%）%!
（
%）!"
（
%）!#
（
%），
（
(*$）
!
·
#
（
!）’0［6 %# , %#
（
!）］!#
（
!）
0 6!"
"
［
%# , %-./
］
(（ !，!7
）
!- （ !）
0
#!
!
7
%
%!""%!
（
!）(（ !，%）%!
（
%）!"
（
%）!#
（
%）)
（
(*&）
（
(*）式所给出的耦合主方程与（<$）式是完全等价
的，而且可以作为导出输运方程并解释其基本假设
的一般性理论框架
［2］) 但是（(*）式的具体形式十分
复杂，难以得到解析解，为了研究有限多自由度耦合
体系的运动，需要用计算机来模拟
［2，8］一个能量耗
散过程
)
在数值模拟中，有关系统采用一维谐振子，
#
"
（
*，+）’+<
<
, , (<
,
&< *<， （(+）
式中，
* 表示坐标，+ 表示动量，, 表示谐振子质量，
&
为圆频率)
对无关系统的模拟采用
"@A4"B6@C$;D$@E7$B
（
"@ACE）模型，
#
# ’%
-
%
.
’
+
<.
<
, ,%
-
%
.
’
/
（*. 0 *.0(
）
, /（*-%
），（
(2$）
/
（ *）’**
* ,
*<
<
， （
(2&）
其中
(<
期袁常青等：有限体系能量耗散运动的功率谱分析+21#
!
! "
!
#
（
! $!"），
"
! "
!
#
（
!" %!），
（
"&’）
!
# ! "
!
#
（
"# $""#
），
"
# ! "
!
#
（
""#
%
"#
），
（
"&(）
$
)
代表无关系统自由度数
*
关于两子系统之间的耦合作用，选取下列非线
性形式：
%
+,- !#（ !# !#"
%
!#.
!
#"
，
.
）
* （"/）
这里，
!.
和
!"，.
表示一个轨道在相互作用开启时刻
集体自由度的坐标和某个内禀自由度的坐标；
!"
是
!0123 系统中第一个振子的坐标，它在数值模拟
中担任门变量的作用，将无关系统的影响传递给有
关系统；
#表示耦合强度*
分布函数
$（ &）由伪粒子方法给出，
$
（ &）! "
$
4#
$
4
’
! "
%
（ ! % !’（ &））%（ " % "’（ &））
5
$
$
)
#
! "
%
（ !# % !#，’（ &））%（ "# % "#，’（ &）），（"6）
式中
$4
代表伪粒子总数，即总的轨道数目
*（"6）式
定义了一个系综，每个组成系统都由集体自由度与
一个内禀轨道相耦合
* 集体变量!’（ &）和"’（ &）以
及内禀变量
!#，’（ &）和"#，’（ &）｛# ! "，⋯，$)
｝确定了
&
时刻第’个粒子的相空间代表点，这些变量随时
间的变化满足正则方程
*
各部分哈密顿量和总哈密顿量定义为
〈
%〉!%%$（ &）)!)"$
$
)
#
! "
)
!# )"# * （#.）
数值模拟中，参数选取如下：
( ! "，& ! .7#8，
#
! .7.."8，$4 ! 9...，’:; ! "..’+,< （ ’:;
为开启耦合
作用的时间，
’+,<
表示有关系统的特征时间），有关自
由度能量
)! ! 9.，每个无关自由度的能量(! ".，以
满足文献［
"］中指出的三个微观条件* 图" 给出了
%
!
，
%"
，
%+,-
和总的哈密顿量
% 的统计平均值随时
间
& 的变化情况*
图
" 各部分哈密顿量和总哈密顿量（’）$) ! #，（(）$) ! =，（+）$) ! /，（)）$) ! ">
8>.=
物理学报8=卷
有限系统中的能量输运过程可以分为三个过
程，即解相过程、非平衡弛豫过程和饱和过程
［!，"］#
有关自由度的运动在解相过程中能量变化非常剧
烈，子系统之间能量输运达到平稳以后有关自由度
运动的变化不再剧烈
# 从图$ 可以看出当无关自由
度数比较大时，比如
!% & ’或$! 时，整个系统最终
满足能均分定理，所以以上给出的关于有关自由度
能量耗散过程的数值模拟是合理的，可以继续讨论
能量耗散过程中的动力学问题
#
通过分析
"（ #）和$（ #）的功率谱，能够从动力
学角度得到关于能量耗散过程的信息
# 在统计物理
学中，根据
()*+*,-./)+01/)+* 定理，与时间有关的变
量
%（ #）的谱密度定义为
&
（!）& $
2
!!3
43
*
4 )!"〈%（ #5
）
%（ #5 6"）〉%"，（2$）
%
（ #）的关联函数定义为
’
（"）&〈%（ #）%（ # 6"）〉
& 7)8
("3
$
(
!(
5
%
（ #）%（ # 6"）%# # （22）
（
2$）式中的#5
表示起始时刻
# 作为初步研究，这里
只讨论有关自由度的运动受到环境影响之后的
变化
#
9#
功率谱分析
利用傅里叶变换可以分别得出
"（ #）和$（ #）的
谱密度
# 如果!%
给定，则无论对于有关自由度还是
无关自由度，讨论
"（ #）的谱密度分布和讨论$（ #）
的谱密度分布是等价的，即
"（ #）的功率谱若在某个
频率
! 处出现峰值，则在$（ #）的功率谱中也会相应
地在
! 处出现峰值，以下给出的都是关于$（ #）的功
率谱
#
图
2 给出当（2$）式中#5 &":;
时有关自由度动
量
$（ #）的功率谱随环境自由度数增加的变化情况#
表
$ 列出了图2 所示功率谱的频率特征细节，
"
! 表示有明显峰值出现的频率范围，!1
表示最强
峰值对应的频率，
"5
表示
#5 & $55"1<7
时
$（ #）的关联
图
2 #5 & $55"1<7
时有关自由度动量
$（ #）的功率谱（=）!% & 2，（>）!% & ?，（1）!% & ’，（%）!% & $!
$2
期袁常青等：有限体系能量耗散运动的功率谱分析@!5@
表
! !" # !""!$%&
时有关自由度动量
"（ !）的功率谱频率特征
#
’!" "$ !"
( ")(*
—")++ ")(, *),
- ")!.
—")-( ")(/ *)*
/ ")!,
—")0+ ")+" *)+
!0 ")!!
—!)(" ")+( -)/
时间
) 从图( 中可以看出，随着#’增大，"（ !）功率
谱上出现峰值的频率范围明显展宽，最强峰值向高
频方向移动，
"（ !）的关联时间减小，随着#’的变化
有关系统的运动都不同程度地趋向于混沌
) 由于在
谱密度的计算中
!"
取为
!""!$%&
，所以图
( 给出的功
率谱主要体现解相过程中有关系统运动的频率
特征
)
当
!" # !("!$%&
时，对应有关系统运动的非平衡
弛豫过程如图
+ 所示，有关自由度动量"（ !）的功率
谱与图
( 的结果相比，分布峰值的频率范围向高频
方向的展宽明显减弱（
#’越大展宽就越明显），最强
峰值对应的频率没有明显变化，但是峰值明显减弱，
"
（ !）的关联时间进一步减小（见表(），有关系统的
运动达到混沌
) 随时间的推迟，"（ !）功率谱中高频
成分减弱（
#’越大减弱就越明显），但是低频成分没
有明显变化，说明
"（ !）长期变化的规律相对稳定，
图
+ !" # !("!$%&
时有关自由度动量
"（ !）的功率谱（1）#’# (，（2）#’# -，（$）#’# /，（’）#’# !0
表
( !" # !("!$%&
时有关自由度动量
"（ !）的功率谱频率特征
#
’!" "$ !"
( ")(*
—")+( ")(, *),
- ")((
—")+/ ")(/ *)*
/ ")!.
—")** ")+" *)+
!0 ")!*
—")/( ")+( -)0
这是因为解相过程相对于非平衡弛豫和饱和过程是
很短暂的
)
当
!" # (""!$%&
时，对应有关系统运动的饱和过
程如图
- 所示，有关自由度动量"（ !）的功率谱频率
特征与图
+ 相比没有明显变化，而"（ !）的关联时间
进一步减小（见表
+）)
*0"0
物理学报*-卷
图
! !" # $""!%&’时有关自由度动量"（ !）的功率谱（(）#) # $，（*）#) # !，（%）#) # +，（)）#) # ,-
表
. !" # $""!%&’时有关自由度动量"（ !）的功率谱频率特征
#
) !" "% !"
$ "/$0
—"/.$ "/$1 0/-
! "/$$
—"/.- "/$+ 0/$
+ "/,2
—"/00 "/." 0/"
,- "/,1
—"/1$ "/.$ !/-
!3
结论
本文讨论了多自由度耦合体系中有关自由度的
动力学行为，结果发现有关自由度的运动在环境影
响下，谱密度分布向高频方向移动，频率分布范围明
显展宽，有关自由度的运动也达到混沌状态
/ 从有
关自由度的动量
"（ !）的频率成分随时间的变化看，
在各无关自由度的影响下，有关系统运动的频率成
分向低频和高频方向都有展宽，解相过程出现明显
高频成分，在随时间的演变过程中高频成分明显减
弱，整个过程中低频成分无明显变化，即长期的变化
规律相对稳定
/ 环境自由度越多，则在解相过程中
有关自由度的动量
"（ !）频率分布的展宽越大，最强
峰值对应的频率值向高频方向的移动就越明显，在
非平衡弛豫过程中，高频成分的减少也就越明显，这
主要是因为环境自由度越多对有关系统的运动影响
就越大
/
感谢中国原子能科学研究院卓益忠研究员、北京师范大
学晏世伟教授和包景东教授的有益讨论
/
［
,］ 4(5 6 7，6(8(9( :，;<=& 4 ; $! %& $"", ’)* / +$, / > !" "$,,,- ［$］ ?(5 7，7(5@ 4 A $""! -(./ / ’)* / #" !02
,$
期袁常青等：有限体系能量耗散运动的功率谱分析0-"1
［
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［
9］ F$JJ$? 3 7，K$L:@M 7 N C9-. %"&’, -(. , H # C!.!
［
C*］ /#’ 1 /，F’% / C9-9 4#2" 5$(0 , %"&’, 678+ , %"&’, & +*C
（
$5 3#$54?4）［卓益忠、吴锡真C9-9 高能物理与核物理& +*C］
［
CC］ O:5P 6 O，QJ4$5 H，74$5#:@M K 6 C999 %"&’, -(. , 3 %# )*8+
［
C)］ R$:5’L$ >，>:554JJ: 7，F4?< R 2 () *+ C99+ %"&’, -(. , G %!
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［
C!］ 3:?4<<$ &，K4<<$5$ >，30#45 G 6 O )*** %"&’, -(9 , &&’)!-
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，<#4 U@0:M4@ <#4 M$?<@$U’$05
4Z<45M?, N$P#4@ X@4[’5L$4? M4L@4:?4 :? <$A4 4T0JT4? U’ <#4@4 :@4 50 @4A:@;:UJ4 L#:5P4? X0@ J0I4@ X@4[’5LV L0AW0545<?,
()*+,-./
：X$5$<4 ?V?<4A，454@PV M$??$W:<$05，@4J4T:5< M4P@44 0X X@44M0A，W0I4@ ?W4L<@’
0122
：*+8*，*+.-，*+.+
!
K@0\4L< ?’W0@<4M UV <#4 E:<$05:J E:<’:J "L$45L4 =0’M:<$05 0X 3#$5:（6@:5< E0?, C*!-+*C8，C*.-.*CD）:5M <#4 E:<’:J "L$45L4 =0’M:<$05 0X N4U4$
K@0T$5L4
，3#$5:（6@:5< E0,H)**.****+）,
+8*D
物理学报+.卷
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