用一瞬变磁偶极源激发均匀大地时， 大地会产生“烟国 效童一感应涡流随时间增大

讨沦均匀导电大地在瞬变电磁场激发下的电磁响应规律具有重要的实际意义。弄清楚这

一

问题，就为瞬变电磁法应用于地球物理勘深奠定了基础。人们普遍认为， 当用一瞬变磁偶

极源激发均匀大地时， 大地会产生“烟国 效童一感应涡流随时间增大向地下深处并以激

发源为中心向外扩展

筻11卷第2期

西安地质学院学报

J0urna1 of Xi aⅡ College of Geology

导电半空间瞬变电磁响应规律的探讨

王小 明

(西安地质学院物拱系)

摄要本文从lⅡ磁场基本方程 引入标量函数F， 讨沦丁磁担极踩徽发下导电半空间

瞬变屯磁场的传播规律，从理恐上证明了“溉匿” 效虚的存在性，得到了一些有益的结

论。

美链词瞬变 t磁响应． 烟矧” 鼓应，梅量 数F

讨沦均匀导电大地在瞬变电磁场激发下的电磁响应规律具有重要的实际意义。弄清楚这

一

问题，就为瞬变电磁法应用于地球物理勘深奠定了基础。人们普遍认为， 当用一瞬变磁偶

极源激发均匀大地时， 大地会产生“烟国 效童一感应涡流随时间增大向地下深处并以激

发源为中心向外扩展 。这一认识正是瞬变电磁法解决地球物理问题的基本假设。

本文在前人工作的基础上 ：， 在忽略位移电流的条件下， 台理地引入了标量函数

F， 证明了“烟圈” 效应的存在性， 得出了一些有益的结论。

标量函数F的引入

设在电导率为a， 磁导率为p-。=4 ×】0。 I{／m的均匀大地上方h处， 有一半径为a的圊形

线圈(图I)。线圈中馈入阶跃电流：

囝1

Fig

．

1

西西 面 i丽— ⋯

(t)=I o ( ) (1)

其中， ，。为Ia流强度， ( )为Heaviside函数。』( )的

谱为：

』(s)= (s=iw) (2)

我们需要确定大地产生的感应电场F( )和感应磁场

H( )。

采用柱坐标系(f，z， )取Z轴垂直地面向上，

原点设在地而， 则： r)=F ( ) ， )=H (，)

口 +H：(t)P 。为了计算简便， 假设线圈中馈入谐变

电流l

2期 王小田：导电半空间瞬变电磁响应规律的探讨 95

l(ie)：Ioe-~’。

谐变场条件下的场量与阶跃场条件下场量间的关系为；

茸∽一 [孥】，曹∽ - ]

其中，三一 为逆拉普拉斯变换符。谐变场量满足下列基本 -翟

。

f—bE 4(i—w)—-f 。H r(f )

{ )】

bH,(iw)

Oz 一 dr = r (’ 油)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

若兮l (f ) b F( iw) (8)

则有。 ㈨

一

d (、9。 )

H ，(f )=0 2F (iw)

ard (、 10)，

其中，K =．x／iw btoo，F(iw)函数满足赫姆霍兹方程：

FZF(iw)一K。F (iw)=0 (11)

且 )廿 [ ] (12)

只要确定了F(洳)，则F( )便可确定，因而反 )， ( )亦随之确定。因此，我们只研究F函

特

自由空间圆形电流源的F函数

对图1所示模型令a=O可得到自由空间圆电流线圈的F函数。对谐变电流的情形

，

F(泐)

满足拉普拉斯方程：

I-2F。=0 (18)

其通解为； 蛋

Fo(汹 ， )；Jf 0 ，±( )口一lz-ht．ro(Xr) (14)

，+( )， ，一( )分别表示 >^和 <^时的系数。将电流线圈视为面分布， 其电流密度分布函

数为；

(r)。 =Iob(r一0)。d (15)

8为狄拉克函数。可将，d(r)展为傅里叶一贝塞尔函数：

( )= 。oJn ，1( 。)，I( r)d^ (16)

96 西安地质学院学报 11卷

利用 =^上的边值关系可确定t

，+( )=，_(^)=穹，l( ／

肿 枷)=竽J 。 叫，0(m

i)在一级近似条件下，可得到磁偶极源的F函数c

F (洳，r， ， )=M

·

I

i

其中，Mc Io(Ⅱa )为磁偶极矩。

ii)在=级近似条件下， 可得到圃线圈的F函数近似表达式：

F~(iw．r， )= M【 1： 一争嘉 )]

利用(12)式可确定阶跃电流源线圈的F函数：

( ，r，=， ) 4 『

L

1

产+(=一^)

对(21)式关于 ， 作二维傅里叶变换t

(17)

(18)

(19)

(20)

一

一 嘉 商 )J]J “㈨

+ ∞ + ∞ 一一

G：( ，p，=， )=J J F：( r，=， )P一 ‘ dxdy (22)

一

∞ - ∞

i：l彳+q了， = +y五计算得：

G．(f )：4M ． - P(z-^)．1一

于是， (21)式可表示为；

咏 M n [

均匀导电半空 司垂直磁偶极源的F函数

(23)

(24)

研究图1的模型， 仍从谐变电源入手讨论问题。在z>o的上半空间，F 由源函数Fa 和

大地感应涡流的 函数构成·

(25)

在a较小时F 由(19)式给出。Fo满足拉普斯方程。在 <0的下半空间，F满足赫姆霍兹

方程·

矿 F({ )一KzF(f )=0 (26)

不难写出它们的通解t

2期 王小明；导电半空间瞬变电磁响应规律的探讨

iw,r~z, e-~"lz-hi&(Xr)dX-IORo{~．)e- k“ 吣(27)

胁．r， )= ㈣ 丽 (28)

由Z=O上的边值关系可确定月o( )为

" 9)

为讨论方便计，将磁偶极源置于地表^=O处。

F口( ’r， ，奶= M

-

斋一 M 0’R,("e一九 。( ，) (30)

分析(30)可见， F (iw，，，Z， )函数为t

FgSjTjZj 一而M 瞰X

,

s)e-Lrl

o

m (31)

)= ∽

由(12)式知； M f -[尽 】 m (33)

[ 】一考cJ (J 。 。 。 css

对(35)式两端同 ，并取a= t

叫 一 (1 B ct ) (36)

其中， B= cr 8_2 1 o)，

一

M{

⋯

1

： u 一 ⋯，

-Cd3~善科f 南】

对(37)式作傅里叶变 }

B。 [) 1 r2

+

( + ，4 B)

~／ “

(3 )

出

_=

k

、>

一

一 一

一 一 f

一、>

堕

一、>

— ●

一

l1

—

S

98 西安地质学院学报

一

M e +

州一 c

因此， 可将(37)表示为其傅里叶积分二级近似式；

一

+ 日)

4 p

(38)

(1一p c 口z) ‘ dld” (39)

n卷

比较(39)式与(24)式可见，F 是半径为。 (f)=J8c， o)，位于地表面以下^，(t)=

一

4J— 的圆电流的F函数。大地感应涡流在地表产生的电磁场可视为存在于大地中具有

’Ⅱ 口

上述特征的圆形电流环的电磁场。“炳圈” 效应的假设得到了证明。图2给出了三个不同时

刻“烟圈” 的运动情况。

图2

Fig． 2

讨论与结论

5．1感应电流环就象从激发源喷吐出的“烟圈”。其半径为。 (f)=J8c，( )随时间

增大而扩大，其深度为^，( )=一4 J_ 随时一Y 间延长而加深，其向地下深处及周围移动的

d0

范围与大地的导电率有关，随导电率增大而缩小，这与趋胰效应相一致。

-

。 “烟圈”向地下深处运动的速度为： 了 ，其随时间增大而减慢。

5．3 “烟圈 移动的空间轨迹为目=tg ： =47。的圆锥面。

5_4 感应蝴 强度 随时 大而衰减 大地

8ClI_l_．I

率增大而加强。并且与激发源电流强度一次方成正比， 与激发源线圈半径平方成正比。这启发

我们，要获得强的有用信号， 增大供电线圈的几何尺寸，要比增强供电电流强度效果更好，

但当工程实际问题限制了增加供电线圈几何尺寸的可能性时，可用增大供电电流强度的方法

予以弥补。

∞ ∞

+ _

． ．．． }

∞ ∞

} 一

^●●-】

缸

一

_¨

)

r

(

●

0

F

2期 王小明 导电半间瞬间变电磁响应规律的探讨

参考文献

1 Misac N Nabighan．Quasi- static transient response of a conducting half-space

-

An approximate repr esentation．《Geophysics》， 1979, 44(10)

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3 A P Raiche and B R Spies．Coincident loop transient ele ctromagnetic master

Ctlr'~re$ for inte rpretation of two— layer earths， 1981， 46(1)

INQUIRES ABOUT THE QUASI—STATIC TRANSIENT

EM RESPONSE LAW 0F A CONDUCT ING

HALF．— SPACE

(Gecphysical Prospecting Department of Xi an Geologg College)

Abstract In this paper the travelling,law of the quasi·static transient electrom‘

agnetlc field excited by a vertical magnetic dipole in a conducting half—space is

discnssed ，m aking use of the scalar function F derived from the basic electrom‘

agnetlc equations．The existance of the current filament effect is demonstrated

theoretically

．

Some usefal conclusions 8．re obtained．

Key W ords quasi—static transient EM response，current filament effect，scalar

function F