电子一晶格的声学振动模的互作用， 可以导致非线性极化孤立子存在，
即使只考虑格点之间的筒谐作用， 极化孤立子的传播速度可以小于和大于声速j孤立子
形状一般不同于Da'~ydov孤立子形状， 在耦合很弱时， 简化为Davydov给出的形状
http://file.lw23.com/c/c7/c78/c78202e7-3844-4953-a168-c12771bf6ef0.pdf
第32卷第2期
1993焦
中山大学学报(自然科学版)
ACTA SCIENTIARUM NATURALIUM
UNIVERSITATIS SUNYATSENI
VO1．32 ．2
1999
一
维单原
周史昌
子链中电子的运动
余超凡
(中山大学物理学录) (广东教育学院物理学系)
]弓1
摘 要 应用相干态方法讨论一维链中的电子与晶格声学振动模的非微扰作用．给出亚声
速和超声速孤立子解及孤立子的形状，并指出在适当条件下可简化为Davydov孤立子．
关键词』 童三，亚声速与超声速 1r牟 电 王童三力
在讨论晶体中电子运动时， 通常第一步是假设晶格原子都处于周期排列的平衡位置
上不动， 电子能级形成带状， 电子状态为扩展全晶体的布洛赫波·第二步则把偏离平衡
位置的晶格振动对电子作用视为微扰．微扰效果之一是对电子散射形成电阻．
但电子与晶格振动的相互作用可以是很强的． 以致不能认为是微扰． 电子引起晶格
极化又反过来作用于电子本身，并降低它的能量， 极化趋向于跟随电子运动．可以将电
子和它的感应极化场的联合体视为一个准粒子，通常称为极化子，极化子概念是Landau
在1933年首先提出的[ )．FrShlieh，Lee等人和Holstein对它也进行了大量的理论研
究[： ·)． 晶格振动一般包含光学振动模和声学振模． 而上述文献讨论的都是电子与光
学振动模的相互作用效果．电子与声学模的相互作用，直到近十多年来Davydov的一
系列研究工作之后[”。)，才引起人们更多的关注． D~vydov证明， 在一维链中， 电子
与晶格振动的声学模的相互作用． 虽然是短程的．但也可以形成双曲正割型的钟形孤立
波．人们称这种孤立波为Davydov孤立子[ )，Davydov孤立子稳定存在的条件是传播
速度小于链的声速．文献(8]考虑一维链中近邻格点互作用存在非简谱项时， 大于声速
和小于声速的孤立子都可存在．但若只考虑近邻格点的简谐作用时．只能存在亚声速孤
立子．
本文将证明．如果自治地处理运动方程的连续极限，不必如Davyd0v那样引进格点
与格点的非简谐作用，在一维链中也可以存在超声速和亚声速的孤立子．本文还将给出
形状不同于文献[5～8]的孤立子．文中还讨论了电子一声学振动耦台常数不同大小时非
线性方程的解．结果表明，耦合常数很小时， 给出Davydov孤立子}耦合常数增大，
只要满足l I< 1时， 我们仍得到孤立子解．
1 哈密顿量与运动方程
考虑电子与晶格的声学振动模的互作用．一维晶体可以简化为一维单原子链． 设考
本文1991年122]11日收到
中山大学学报(自然科学版) 第32卷
虑单原子链上有一个多余电子的系统．系统的哈密顿量
H=H +H b+Hi (1)
电子哈密顿量
H =一D翠(c +c C ) (2)
c 及c J表示格位l上的电子产生及湮灭算符，D是最近邻跳跃矩阵元，(2)式给出
电子能带
E( )=一2Dcoska
4是晶格常数， 电子能带中心位于 =0处，能带底_fE一2D．晶格振动项
Hvlb=罕[(P ／z埘)+号 ) (3)
式中的ul表示格点瑶t平衡位置的偏离，P』为相应的正则动量， 为格点原子质量，K。是
恢复力系数．(3)式完全忽略3次方以上的{乍简谐作用．
电子与晶格声学振动模的互作用， 可采用Bardeea—Shotkly形变势模型【。)． 晶格
振动 与 一 的差异( 一 一。)导致晶格距离的相对变化
Ai=(“f一“J—1)／
对能带底部的电子产生正比于 2的作用势cA~(c为比例常数)， 在二次量子化表象
H Σ <lIf fI>c cf
li
l z>及I! >是电子的瓦尼尔(Wannier)函数， 显然矩阵元(1I(口，f)(Ⅳ 一“ )Il，>是
对角的， 印
<z：( ／f)(“i一“2．1)I z > =(。／c)( 一 J—1)6fj
于是得
日 gΣ(2f 一“1-】)c cl (4)
t
式中的口= ／c为电子一晶格声学振动耦合常数．
综合上述的(1)，(2)、(3)、(4)式， 系统的啥密顿量为
H=一D；c (c +c )一口罩(“J f-1)c cf
+X((Pd／2M)+拉‘ ( )。]， k， 5)
电子消死算符C．的运动方程为
皤鲁=CCi’1-13=一D(cm+C z一 )+口(Iij 一1)cf (6)
这是一个非线性鲜符方程．利用GIauber的相干态[
I > =IIjAlL> (7)
第 期 周义昌等：一维单原子链中电子的运动
。可以得到电子在格位t上的概率幅方程．
征值及本征函数， 即
Cfj ，> = fj ，>
电子强f格位上的概率幅为
AI：< Jc』J >
这里的数值 f及态I j>是电子消灭算符c 的本
相应式(6)的概率幅方程为
娩警=一D(A -1)+o(u~-uj_,)Aj
求总哈密顿量日的平均值， 得
E=< IHI~>=Σ{ 。(札t+扎)+ (uI-ul_,) f]
+
亩击 PJ + 1 ( Ⅵ一 f．1) }
使用经典哈密顿方程处理晶格振动．得到
0 r=OElOPj=PI／M
j=一OE／Oul=一g( df一 ．．1 Am)+K。(2 一Ⅵ+l一 f—1)
由此不难得到 ，满足方程
= 一
g
面o(2 一 )一嚣( 1：一 l z)
(9)及(11)是描述一维链电子和晶格声学振动的基本方程．
2 连续极限与孤立子解
2．1 连续极限
(8)
(9)
(10)
设电子运动概率幅山( )的变化空间尺度远大于晶格间矩，可以采用连续模型．在
连续模型近似中， 我们对方程(9)及(11)的任何离散量都取到二级微商项． 即
4( )= ，})
i(￡)=H0，})
：
(f) ( ，0+- OA( )+譬Z 若 ( )
l(! ( )±嚷 ，f)+譬嚣 ．1)
于是(9)及(11)式变为
井 OA
= + 一旦 貉 (12)
审山大学学报(自然科学版) 第32卷
=
= 。 器+ ~ da -A— Ii‘+ —羞面 IAIz‘
其中 ：=K。a ／
(137
为声速平方值．(127及(13)不同于文献[5)， 因为我们作连续近似时，所有量统一地取
得二级微商项．
设运动方程(127及(137具有如下形式的行波解：
A(x，￡)= (}) f+ ) (14)
( ， )= (}) (15)
}= 一 (16)
代入方程(13)，可得
(o~-OoD“鞋 ga(扩) 舞( 5 (17 7
积分一次得
=
[ ] 。+号(扩) ) (18)
其中
=u／ 。
将(14)及(18)代入(127． 并令
U=g 1[2DaZK0(1一 )]
可得
鞋 一2u {u。 ( )鞋
其中 uz= (-2D+Da。 。一如)
=
Itv／2Da。
对(19)式积分一次得
( 。7。= ( 一u )(1一u4 )一‘
2．2 孤立子解
如果电子一晶格声学振动耦合使式(2o7分母的l a 扩l《1， 对(2o7式作展开，
( 。)。= ( + +c2 ‘)
其中 c1=-U(1一itZa )， c2=-U a。
令 ( )=1／／(D
代入(21)，可得／(O满足的方程
菇 √ 五
令 帚= U(1一 )
(19)
(20)
得
(21)
C 22)
(23)
舅 期 义昌等：一堆单底子链中电子的运动
寿(ct 一4iz2cz)=赤U2(1 ,u．2a2)>0 (2 )
于是(22)式整理为
2 d = — — — — 一
(卜 )。一
在 > 0条件下， 对上式两边积分得
2 ( 一 0)=cosh一 c(／一a)／f1)
按照(10式， 电子概率幅的包络
( )=1／Ca+ cosh2 ( 一 o)]’I。 (25)
等价的形式为
( )=1／[( 一F)+2Bcosh。 ( 一 o)] ，z (26)
或
( )=1／[口+ +2flsinh。( 一 o)] ， (27)
当 一B<<2fl,这对应耦合很弱的情况．我们的孤立子解简化为Davydov给出的孤
立子解( 。)
( )=÷ sech ( 一 ) (28)
2口
3 孤立子解成立的条件
由于D~sinhx<+oo，孤立子解(27)成立的条件是：
(1)F> 0．从定义(24)式， 取
F= 【U(1+ 。 )l
则不论【厂的正负，此条件总能满足．
(2)口+F> 0．这一条件复杂一些，分开两种情况进行讨论：
①【厂> 0．按定义， 对应于孤立子速度叫、于声速 ．使用(23)式及(27)式，
=
(1 + U (1 = 0
孤立子解成立．
@【厂< 0，对应于孤立子速度 大于声速 。的情况．则
卅 =
豢(1 一 (1 一 [Ul >0
(29)
有
孤立子解也成立．
即是说， 住一维简谐晶格中， 由于电子一声学振动的互作用， 存在亚声速和超声速
的孤立子解．
综上所述， 电子一晶格的声学振动模的互作用， 可以导致非线性极化孤立子存在，
即使只考虑格点之间的筒谐作用， 极化孤立子的传播速度可以小于和大于声速j孤立子
形状一般不同于Da'~ydov孤立子形状， 在耦合很弱时， 简化为Davydov给出的形状．
中山大学学报(自然科学腹)
参考文献
第3±卷
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2 Ff hllch H ． Adv Phys 1 954， 3：325
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lO Glauber R Z． Phys Rev， 1963， 131；2766
E1ectronic Motions in One-dimensional Chains
Zhou Yichan0 Yu Chao
Abttract Non·perturbation interaction of an electron with lattice acou silo
mode is studied by the method ot coherent state．Solutions of solitary Wave
travelling with subsonic or supersonic velocity are derived， which is show n to
reduce to Davydov sollton solution in the w eak coupling conditio~．
Keywo rds soliton， subsonic and sapersonic velocities
’ Department ot Physics， Zhongshan U niversity
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