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对称性和格点理论在矩量法中的应用 何燕，梁昌洪 （西安电子科技大学天线与微波技术国家重点实验室,陕西西安 710071） 摘 要：本文阐述了一种基于矩量法基本原理和格点理论，利用研究对象自身形状的对称性，减少矩阵存储量的方 法。利用该法，求解了方形导体板、球体、长椭球和扁椭球等的电容,计算结果与理论结果吻合很好。通过对称性的 引入，大大减少了计算机内存和时间开销。 关键词：对称性 格点理论 矩量法Symmetry and the Lattice Spot Theory of the Moment Method Solution HE Yan, LIANG Chang-hong (National Key Laboratory of Antennas and Microwave Technology, Xidian Univ., Xi'an, Shanxi 710071, China) Abstract: A new method has based on the essential principles of the moment method and the lattice spot theory. The symmetry of the objects interested is employed. The capacitance of a quadrate PEC board in two dimensions, a sphere and two ellipsoids of different shapes have been calculated by using this method. The results obtained agree well with the theoretical value. The consumption of the memory and the computational time are saved by the symmetry. Key words: symmetry the lattice spot theory moment method 1.引 言 矩量法是求解电磁场边界值问题中一种行之有效的数值方法。R. F. Harrington 在《计算电磁场 的矩量法》 [1]一书中对其原理及过程进行了详尽的介绍。 它所做的工作是将积分方程化为差分方程， 或将积分方程中积分化为有限求和，从而建立代数方程组，故它的主要工作量是用计算机求解代数 方程组。所以，在矩量法求解代数方程组过程中，矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大 程度上影响了计算的速度。如何尽可能的减少矩阵存储量，成为加速矩量法计算的关键。 矩量法的一个关键技术就是如何将复杂形状的物体分割离散化。最早出现的矩形分割技术不能 满足任意形状物体的要求。1978 年，Glisson[2]提出了可以对任意形状物体进行离散的三角形分割技 术，但其计算公式比较复杂，计算量也随之加大。六十年代，我国著名科学家华罗庚、王元[3]和闵 嗣鹤[4]提出和介绍了格点理论计算面积的概念。 该方法的特点是简单， 精度高， 属于数论范畴。 1984 年，梁昌洪[5]将格点理论运用于矩量法中，对任意面和体进行了简单化离散分割。 对称性是自然界普遍存在的一种规律。我们所研究的对象绝大部分具有对称性。而本文就是 对一些本身形状具有对称性的目标物体，利用其自身特点，结合格点理论在矩量法中进行应用，在 简化计算公式的同时又减少了计算机内存，加快了计算速度。 何燕，1982 年生，女，云南人，04 级研究生 2.格点理论及模糊形状面积元的概念 在如下所示的图中，设方格的边长为 d，落在图形内的格点数为 N，那么该图形的面积可用N × d 2 近似表示。 图1四边形格点计算面积 图 2 三角形格点计算面积 Fig. 2 Calculating with triangular lattice spot Fig. 1 Calculating with quadrangular lattice spot在实际应用中，格点可以有各种类型，如四边形、正三角形等，如图 1 和图 2 所示。 积分的概念里面隐含了用已知的面积基元去计算未知面积的概念。而用格点理论计算面积时， 主要强调的是用量子化的格点进行计算，而非面积元。这就是这种方法的简单之处，格点在图形内 就计算，在图形外就舍去。当然，格点也占有面积，将其量子化会存在一定的误差。简单地，可采 用不同角度旋转几次取平均值来减小其误差。在《积分的近似计算》[3]和《格点和面积》[4]中都对 这方面内容进行了讨论，这里就不再叙述。 把格点理论应用到静电场问题中，主要是用来计算源区 a 对场区 b 的作用，具体又可分为源区 a 对场区 b 的互作用 < a, b > 和源区 a 对自身的自作用 < a, a > 。Harrington 等曾指出：源区和场区的 互作用可用源区中某点对场区中某点的相互作用乘以各自的面积或体积来近似。 为下面叙述方便，我们先提出几何参数的概念：设面积元为 A ，周长为 L ，几何参数为 k ，则A (1) L 梁昌洪[5]进一步指出：当面积元 A 一定时，只要几何参数 k 不过小，自作用 < a, a > 与面积元 A 的 k=形状无关，其值基本为常数，并给出一个很有用的计算近似式，即：< a, a >= 0.06298 k + 0.2640由上式可以看出，自作用 < a, a > 与几何参数 k 的关系是很微小的。(2)对于非均匀格点， 我们设 S 为与所考虑格点相邻格点多边形面积, N 是相邻格点多边形点数， L 为相邻格点多边形周长，经过计算可以得到A≈ 2S N (3) S (4) L 由上可以看到：面积元 A 的形状对计算影响不大，不必过多考虑，因而称为模糊形状面积元。如果 k≈我们进一步忽略 k 的影响，均选圆面积元作模糊形状面积元，取自作用 < a, a >= 0.2821 ，也在误差允 许范围内，并且将问题简单化了。详细过程可参看文献[5]。 3．对称性与格点理论在静电场问题中的应用 从上面的分析可以看出，把格点理论和模糊形状面积元的概念引用到静电场中，可简化计算式， 而且同时又能保证一定的准确度。如果在此基础上，能将研究物体自身形状的对称性在解决问题时 加以应用，则可以成倍减少计算机内存，加快计算速度。下面将就这一技术进行讨论。为了便于理 解，我们首先对平面情况进行详细说明，以边长为 a × a 的方板导体为例。 设 δ ( x ′, y ′) 为导体板上的面电荷密度，则空间任意一点的静电位为 a a δ ( x ′, y ′) ' ' (5)Φ ( x, y ) = ∫ ?a dx ∫ ?a dy 4πε ( x ? x ′) 2 + ( y ? y ′) 2板上边界条件为 Φ = V （常数） ，则V = ∫ dx ' ∫ dy ' ?a ?a a aδ ( x ′, y ′) 4πε ( x ? x ′) 2 + ( y ? y ′) 2，( | x | < a , | y | < a ) (6)故导体板电容为C= q 1 a ' a ' = dx dy δ
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