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4.14
玻耳兹曼方程及刘维定理
定义函数f（r，p，t）为相空间中粒子的密度函数。那么在位置r处dr体积元内，同时动量值又在某个动量空间范围dp内的粒子数为f（r，p，t）drdp。现在来看函数f是怎样随时间而变化的。由于系集中每个粒子由三个动量和三个位置坐标来表达，因此函数f随时间变化的一般形式的方程为，
方程左端是体积单元drdp内粒子对时间的变化率，它是n个粒子的系集中坐标ri，pi（i=1，2，…，n）的函数。当粒子运动时，包围粒子系集的相空间表面就会受到扭曲，上述表达式给出了由这种扭曲以及其他效应所引起的密度变化率。方程右端给出通过碰撞引起的粒子的损失率或增加率。方程(4.89)就称为玻耳兹曼方程。
假定方程(4.89)右端为零，即没有碰撞存在。为了考察在这种情况下会出现怎样的演化过程，我们来画一个简单的二维图形。在图4.13中，原始粒子系集的位置在r1及r2之间，动量在p1及p2之间。过一段时间后粒子的动量并没有变化，而位置移动了：动量高的粒子移动到r'1及r'2之间，而动量低的粒子则移动到r''1及r''2之间。但既然矩形面积的底和高不变，那么单位面积中粒子的数密度自然也就不变了。
图4.13 二维相空间中无碰撞粒子系集的演变
当有作用力施加在粒子上时，类似的推论也是成立的。此时粒子的动量也会变化，因而图4.13中的平行四边形还会在垂直方向发生位移。但是，可用类似的推论证明粒子所覆盖的面积仍不变化，因此在这种二维情况下粒子的密度是不变的。如果作用在所有的粒子上的力都是相同的，那么上述证明就特别简单。因为在这种情况下dp/dt是相同的，故差值pa-pb保持不变。当气体的不同成分上的作用力不同时，每一种气体成分所占的体积仍然保持不变。当力场具有梯度时，上述结论仍然成立。
上述推论可以进一步推广到全部六维的情况。除非存在某些创造或者消灭系集中粒子的方法（如通过碰撞或者通过粒子-反粒子对的形成），否则在沿着六维空间的轨线上粒子的密度总是不变的。
这就是刘维定理的含义：除非发生碰撞，否则六维空间的粒子系集中密度是不变化的：
df/dt=0
(4.90)
刘维定理对宇宙线粒子的研究有着有趣的应用。许多这种宇宙线粒子的能量大到足够可逃逸出银河系的磁场。因而，只要宇宙线粒子从创生以来巳经具有足够的时间去穿越宇宙尺度那么大的距离，那么它们在银河系外的密度应该与地球附近测得的密度一样。如果我们考虑经过地球附近的高能粒子系集，情况就是这样。这些粒子在磁力线引导下穿过整个银河系（见6.6节对这个问题的进一步讨论）。因为银河系磁场不够强，不足以把这些粒子锁在银河系内，于是它们最终就会逸出银河系外。当这些粒子跑到星系空间去后，它们在相空间中的密度仍应不变。如果可以证明，地球上宇宙线粒子的到达强度为不随时间变化的常量，这就表明在河外星系空间的宇宙线空间密度与地球上测到的值一样。反之，如果低能粒子可以维持在银河系中局部磁场范围内，那么上述论述就不再正确了。但是，如果这种磁场仍会使少量的低能粒子泄漏到河外空间，那么根据刘维定理，仍要求在整个粒子可以到达的空间范围内，最终的密度仍然是均匀的。根据这个理由，只要对宇宙线粒子的强度进行局部的测试，就可能对整个宇宙内粒子密度给出有用的信息。然而另一方面我们也不能过于乐观，最近发现银河系中的脉冲星可能是我们所见到的宇宙线的主要来源，由此推测，在地球上局部测定的宇宙线密度值不一定与河外空间的宇宙线粒子密度有什么直接关系。因为宇宙线粒子可能还没有足够的时间在河外区域形成均匀分布。
刘维定理的另一个有趣的应用涉及到使用光学望远镜把光束集中在一个很小的探测器上的问题。在许多应用问题中，只要我们能把从宇宙源来的光线集中在尽可能小的探测器上，我们就可以得到极高的仪器灵敏度。记天体所张的立体角为Ω，望远镜面积为A.那么刘维定理表明，光线可能聚焦的最小探测器面积为
而且仅当光线是从一切方向射到探测器上时，上式才是可能的。通常我们只能让光线从一个小得多的立体角Ω′＜4π内射到探测器上，故而探测器的最小面积就变为
a=AΩ/Ω'
(4.92)
如果违背上述情况就意味着违背了热力学第二定律。热力学第二定律表明，热量不能自由地从冷的物体流到热的物体。因为倘若探测器的面积可以做得更小，那么在探测器一端的光子相空间密度就变得大于源的密度了。这就意味着源的辐射温度要低于探测器的温度，或者说辐射就变成是从冷的物体流向热的物体去了。
最后我们还应提到在3.16节中已讨论过的一个问题，即粒子群在引力场中的运动。在第三章中我们讨论的是球状星团的潮汐瓦解。但同时注意到了当星团沿指向银河系中心方向伸长时，引力也会导致星团的横向收缩。这一收缩又产生附加的横向速度。因此总的演化方式就变得很复杂了。可是，刘维定理至少对我们理解这个总的发展过程给出了可靠的指导。它告诉我们，不管我们采用怎样细致的力学论证，如3.16节所做的那样，最后的结果至少必须与刘维定理所提出的相空间密度始终保持不变这一要求相一致。
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