phymath999

bose

相對論E=mc²跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示是一種分布才能知道鄰域在哪裡不是嗎)
所以, 位能可做Taylor expansion 動能和總能不行

這是 Google 對 http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=21322 的快取。這是該網頁於 2013年2月4日 15:27:49 GMT 顯示時的快照。在此期間，目前網頁可能已經變更。瞭解更多資訊
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大學物理相關內容討論:About E=MC2

國立台灣師範大學物理系物理教學示範實驗教室(舊網站) 物理問題討論區

(黃福坤)
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近代物理標題:About E=MC2

1:wanchung榮譽點數17點(大學(院))張貼:2009-03-10 10:09:25:來自中央研究院

黃教授及網友您好
以下來自 Wikipedia: E=MC^2
The formula was derived by Albert Einstein who arrived at it in 1905 in the paper "Does the inertia of a body depend upon its energy-content?", one of his ("Miraculous Year") Papers. While Einstein was not the first to propose a mass–energy relationship, and various similar formulas appeared before Einstein's theory, Einstein was the first to propose that the equivalence of mass and energy is a general principle, a consequence of the symmetry of space and time.
為何 E=MC^2 是時間空間對稱的必然結果 ? 能從時間空間對稱導出 E=MC^2 嗎 ? 如何推導 ? 能否演示 ? 或提供資料參考 ? 謝謝大家

2:黃福坤(研究所)張貼:2009-03-12 15:09:50:來自國立台灣師範大學 [回應上一篇]

我知道的是一般相對論的課本會從時間空間因為不同觀察座標間的轉換關係
藉由 F=ma =d/dt(m dr/dt) 推出 m隨速度變化的關係
且在速度低時 E=MC² 可回歸近似為 M₀C²+動能 (1/2)mV²的關係
最後藉由 E=K+M₀C²→MC²
以上是一般相對論課本中的內容,如 Introduction to Modern Physics (C.H. Blanchard, C.R. Burnett, R.G. Stoner, R.L. Weber等人合著) 287-295頁
還是你另有想法?

3:wanchung榮譽點數17點(大學(院))張貼:2009-03-17 17:21:34:來自中央研究院 [回應上一篇]

Dear Professor Huang,
Thanks a lot for your reply.
I just want to know whether we can use spacetime symmetry to derive E=MC^2 without
using kinetic energy E=1/2MV^2.
Is that possible? Did anyone try that?

Sincerely,
Wanchung

4:黃福坤(研究所)張貼:2009-03-17 18:47:07:來自國立台灣師範大學 [回應上一篇]

I do not know. May be you can figure it out. Good luck!

5:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-11 18:15:59:來自國立中正大學 [回應第1篇]

Quote:

在 2009-03-10 10:09:25, wanchung 寫了: 黃教授及網友您好
以下來自 Wikipedia: E=MC^2
The formula was derived by Albert Einstein who arrived at it in 1905 in the paper "Does the inertia of a body depend upon its energy-content?", one of his ("Miraculous Year") Papers. While Einstein was not the first to propose a mass–energy relationship, and various similar formulas appeared before Einstein's theory, Einstein was the first to propose that the equivalence of mass and energy is a general principle, a consequence of the symmetry of space and time.
為何 E=MC^2 是時間空間對稱的必然結果 ? 能從時間空間對稱導出 E=MC^2 嗎 ? 如何推導 ? 能否演示 ? 或提供資料參考 ? 謝謝大家

你可否說一下你指的時空對稱是?

6:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-11 23:12:13:地點台灣台北 [回應第4篇]

Quote:

在 2009-03-17 18:47:07, 黃福坤寫了: I do not know. May be you can figure it out. Good luck!

餐看了Jackson電動課本五百八十三頁後,
$L_free = \frac{mc}{\gamma} \sqrt{U_{\alpha} U^{\alpha}}$
用U_α,U^α表示四度空間速度 (4向量)
老師應該也有此書本，以下是說給相對論有興趣 ,但沒有此書本的人聽:
以上是相對論中 free particle的拉格朗日方程。
由於proper time不變因此一個量A也不變(Jackson said)
$A=\int_{\tau_1}^{\tau_2} \gamma L d\tau$
${\gamma} L$ 稱作Lorentz invariant
若是wanchung所指的空間時間對稱 , equation of motion不變
即 $\frac{dU^{\alpha}}{d\tau}=0$ 或 $\frac{d(U_{\alpha}U^{\alpha})}{2d\tau}=0$
E=mc²中 c²可以寫作C²=U_αU^α如同以上被微分的對象 (其結果也是0 , 因為常值c² 對原時τ微分後是零(光速不隨時間膨脹而變化)。)
當速度遠小於c, 寫作 u²=U_αU^α
表示沒差, 只是光速c換成u, u<<c, 所以對原時τ微分為零(物體低速u 其數值跟原時τ無關。)
^{兩個都沒差, 表示}
一樣要從E=1/2* Mu² 開始推到E=mc²躲不掉。
有興趣者, 看Jackson's chapter12

7:millitiz榮譽點數27點(大學理工科系)張貼:2010-03-12 15:58:23:地點美國威斯康辛Madison [回應第1篇] ,本留言獲[]給賞金

共 1 點

Quote:

在 2009-03-10 10:09:25, wanchung 寫了:
黃教授及網友您好

以下來自 Wikipedia: E=MC^2

The formula was derived by Albert Einstein who arrived at it in 1905 in the paper \"Does the inertia of a body depend upon its energy-content?\", one of his (\"Miraculous Year\") Papers. While Einstein was not the first to propose a mass–energy relationship, and various similar formulas appeared before Einstein's theory, Einstein was the first to propose that the equivalence of mass and energy is a general principle, a consequence of the symmetry of space and time.

為何 E=MC^2 是時間空間對稱的必然結果 ? 能從時間空間對稱導出 E=MC^2 嗎 ? 如何推導 ? 能否演示 ? 或提供資料參考 ? 謝謝大家

I am also curious about what you meant by space-time symmetry...

Anyway, assuming c = 1, E = m could comes from this relation. $p^2 = p^{\mu}p_{\mu}$ . 因為indices contracted, 所以 $p^2$ 是 Lorentz Invariant. $p^{\mu} = mu^{\mu}$ . m 是質量,u 就是H2O2定義的, $\frac{dx^{\mu}}{d\tau}$ . Notice that $p^{\mu} = m u^{\mu}$ is a covariant equality.

Since $u^{\mu}u_{\mu}$ is 1, therefore $p^2 = p^{\mu} p_{\mu} = m^2 u^{\mu} u_{\mu} = m^2$

Therefore $m^2 u^0u_0-m^2u^i u_i = m^2$ , i = 1,2,3 (I am using 1, -1, -1, -1 matrix)

So $E^2-P^2 = m^2$

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-12 15:58:56 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-12 16:00:16 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-12 16:01:24 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-12 16:02:34 ]

8:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-03-12 18:29:05:來自國立清華大學 [回應第1篇] ,本留言獲[]給賞金

共 1 點

時空的對稱性 <= 光速恆定 <= 相對論原理

相對論原理講的是物理不會隨著所選的觀察座標而改變

=> 時空的對稱性是指 x = (ct, x, y, z) 形成一個向量

=> 對 proper time 微分之後 4-velocity v = r(c, v_x, v_y, v_z) 還是一個向量 r = gamma

=> energy density E/V = T⁰⁰ = nmv⁰v⁰ = r²nmc² = rmc²/V , V = volume

=> E = rmc²

原PO的 m 在這裡是 rm , 因為這裡的 m = rest mass

[ 這篇文章被編輯過: Lucky~ 在 2010-03-12 18:31:33 ]

9:wanchung榮譽點數17點(大學(院))張貼:2010-03-13 13:24:48:來自中央研究院 [回應上一篇]

Thanks a lot for everybody's work!

I think it is an interesting brainstorming!

10:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-17 23:47:47:地點台灣台北 [回應第8篇]

Quote:

在 2010-03-12 18:29:05, Lucky~ 寫了: 時空的對稱性 <= 光速恆定 <= 相對論原理

相對論原理講的是物理不會隨著所選的觀察座標而改變

=> 時空的對稱性是指 x = (ct, x, y, z) 形成一個向量

=> 對 proper time 微分之後 4-velocity v = r(c, v_x, v_y, v_z) 還是一個向量 r = gamma

=> energy density E/V = T⁰⁰ = nmv⁰v⁰ = r²nmc² = rmc²/V , V = volume

=> E = rmc²

原PO的 m 在這裡是 rm , 因為這裡的 m = rest mass
[ 這篇文章被編輯過: Lucky~ 在 2010-03-12 18:31:33 ]

Lucky大大, 我想問你喔, 我們可不可以拿delta函數來把古典力學的m_ov²/2代換成m_oc²?
而在速度遠小於光速的時候 v<<c
所以 ∫(m_ov²/2)δ(c-v)dv≒∫(m_ov²/2)δ(c)dv=m_ov²/2...............也就是回到古典的結果. dv的變化區間我略了
當速度逼近光速則速度在v=c的地方取值 m_ov²/2變成約m_oc²? (大約、估計)
當然我知道相對論性例子 總能量-靜能=動能。
很好奇此問題, 希望大家可以回復一下

11:millitiz榮譽點數27點(大學理工科系)張貼:2010-03-18 01:02:31:地點美國威斯康辛Madison [回應上一篇]

Quote:

在 2010-03-17 23:47:47, Hydrogen Dioxide 寫了:
Lucky大大, 我想問你喔, 我們可不可以拿delta函數來把古典力學的m_ov²/2代換成m_oc²?

而在速度遠小於光速的時候 v<

所以 ∫(m_ov²/2)δ(c-v)dv≒∫(m_ov²/2)δ(c)dv=m_ov²/2...............也就是回到古典的結果. dv的變化區間我略了

當速度逼近光速則速度在v=c的地方取值 m_ov²/2變成約m_oc²? (大約、估計)

當然我知道相對論性例子 總能量-靜能=動能。

很好奇此問題, 希望大家可以回復一下

或許我不大理解 delta function, 但是那公式看起來怪怪的

從wikipedia page,

$\int f(x)\delta(x-x_0) dx = f(x_0)$

so for your case, call $v = x \ c = x_0 \ f(x) = \frac{m_0 v^2}{2}$

Since delta function is even,

$\delta(c-v) = \delta(v-c)$

Therefore

$\int\frac{m_0 v^2}{2}\delta(c-v) dx = \frac{m_0 c^2}{2}$

而就物理上來說,這公式到底說什麼呢?

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-18 01:03:22 ]

12:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-19 17:35:41:地點台灣台北 [回應上一篇]

哈囉~
我想先等一下再討論, 剛好有點事
我算出來的 = m_oc²
1/2 被積分 $2 int _o ^ epsilon$ 的2吸收。

Quote:

在 2010-03-18 01:02:31, millitiz 寫了: $\int\frac{m_0 v^2}{2}\delta(c-v) dx = \frac{m_0 c^2}{2}$

如果是古典速度v<<c
所以 $c-v \approx c$
表示在c那一點
面積=∫δ(c)dv=1
∴ ∫δ(c)mv²/2 dv=E_k

13:millitiz榮譽點數27點(大學理工科系)張貼:2010-03-20 03:49:26:地點*美國威斯康辛Madison [回應上一篇]

Quote:

在 2010-03-19 17:35:41, Hydrogen Dioxide 寫了:
哈囉~

我想先等一下再討論, 剛好有點事

我算出來的 = m_oc²

1/2 被積分 $2 int _o ^ epsilon$ 的2吸收。
如果是古典速度v<

所以 $c-v \approx c$

表示在c那一點

面積=∫δ(c)dv=1

∴ ∫δ(c)mv²/2 dv=E_k

I think there is something really suspicious about the way you evaluate your delta function. First of all, sorry, it was my typo, I meant "dv" instead of "dx" in the function you quoted. Also, although I left it out, the integration that you quoted integrates from negative to positive infinity (It's just a convention) - so the whole space.

Then let's start to look at the statement you provided.

What delta function do is simply restricting the v.

So in this case,

$\delta (c-v) = 1, if v = c; \delta (c-v) = 0 , if v \neq c$

Therefore, if we evaluate v = $v_0$ << c, the delta function will split 0 out! (ok, to think delta function this way is actually maldefined - nevertheless, it still serves our purpose for right now.)

To be more formal, we can look in the integration form.

So let's evaluate v from $v_0$ to $v_1$ , which both of them are small than c.

then,

$\int\limits_{v_0}^{v_1} \delta (c-v) dv = 0$

I just want to point out that, you can't assume v << c, then do the integration over all possible v!

Cheers!

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-20 03:52:28 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-20 03:53:15 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-20 03:55:55 ]

14:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-20 19:46:10:地點台灣台北 [回應上一篇]

當變化區間在v₁,v₂之間
則 δ(c-v) dv=∞ ,c=v
δ(c-v) dv=0 , c >> v (或c≠v)
但積分(找面積): $\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$
以上這是數學, 物理上只有靜止值量零的粒子才能達到光速, c=v的式子在這裡, 不能用。
我的議題是 若令f(v)≡mv²/2 以Dirac delta function做轉換, 則會如何?
由危機百科:
$\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$
我上面說的變化範圍在v1,v2
而光速夾在兩者之間 v₁<c<v₂ 相對論不允許超光速, 所以要用2∫去換 (我相信這沒有人敢protest如果有歡迎提出)
，而且delta函數正好是個行為良好的even函數。
f(v)≡mv²/2
∴
∫δ(c-v) dv=1 , c >> v .....................................................................(1)
2∫f(v)δ(c-v) dv=2f(c) , v₁<c<v₂
=> 2∫mv²/2δ(c-v) dv=2f(c)=mc² , E=mc²
由於v₁<c<v₂ 所以表示物體運動有E=mc²的關係是在裡面
T=E-mc²=Mc²-mc²=γmc²-mc²=mc²(γ-1)
回到古典當然是v<<c 或者v-->0 ∴c-v≒c
由 : $\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$
∴∫mv²/2δ(c-v) dv= ∫mv²/2δ(c) dv , 或v₁<c<v₂
由(1)那拭,
∫δ(c-v) dv=1= ∫δ(c) dv
===> mv²/2= ∫mv²/2δ(c) dv=T

v-->0
mv²/2--->0
古典的時候(v<<c, v-->0) mv²/2 丟進去讓delta function作轉換還是自己。
歡迎提出不同見解。

15:millitiz榮譽點數27點(大學理工科系)張貼:2010-03-21 11:16:07:地點美國威斯康辛Madison [回應上一篇]

Quote:

在 2010-03-20 19:46:10, Hydrogen Dioxide 寫了:
當變化區間在v₁,v₂之間

則 δ(c-v) dv=∞ ,c=v

δ(c-v) dv=0 , c >> v (或c≠v)

Thanks for correction.

Quote:

但積分(找面積): $\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$

以上這是數學, 物理上只有靜止值量零的粒子才能達到光速, c=v的式子在這裡, 不能用。

我的議題是 若令f(v)≡mv²/2 以Dirac delta function做轉換, 則會如何?

由危機百科:

$\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$

我上面說的變化範圍在v1,v2

而光速夾在兩者之間 v₁₂ 相對論不允許超光速, 所以要用2∫去換 (我相信這沒有人敢protest如果有歡迎提出)

.
In fact, I am going to protest

.
Instead of using $v_1$ $v_2$ , I am going to use plus minus $\epsilon$ to make life easier.
would you mind to write out your range/limits for your $2\int$ ? I will assume that the range is $\epsilon$ to c? If so, there is a big problem. because the equality
$\int\limits^{+\epsilon}_{-\epsilon} f(v) \delta(v-v_0) dv$
is true only if v $\in$ the open neighborhood ( $c-\epsilon$ , $c+\epsilon$ ). However, by setting the range to be $\epsilon$ to c, the set you integrated over is ( $c-\epsilon$ ,c) union (c, $c+\epsilon$ ). Or in other word, you are integrating $c-\epsilon$ < $c+\epsilon$ . And that definitely exclude the point {c}. Then by the earlier part, this should be zero. However, if I misinterpreted what you meant by $2\int$ , just say so. This is not the first time I had the wrong guess.
Second, v is just a variable. You can do the integration assuming v << c. But then you cannot integrate the range from $v_1$ to $v_2$ . Or, you can integrate it over $v_1$ to $v_2$ , but then you cannot assume v<<c.
Because you already restrict your possible v to be something smaller than c. How could you integrate it somewhere around c?
These are my comments,
Comments, too, thanks.

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-21 11:18:37 ]

[ 這篇文章被編輯過: millitiz 在 2010-03-21 11:22:47 ]

16:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-03-22 14:31:59:來自國立中正大學 [回應上一篇]

我想你可能沒有清楚delta function, 這函數不是數學家發展出來的. 是Dirac發明的.
∫f(x) δ(x-x_o)dx=f(x_o) , -ε<x<+ε
這表示f(x)被delta function篩選出來, 變成f(x_o)
也就是f(x)由於delta function的序列表達(如 δ_ε(ｘ)＝lim_ε->0 ε／［π(x²+ε²) ］
而被擠到橫軸x_o那點上往上衝。然後依據函數的定義所以f(x=x_o) 因為我們輸入了對應的x_o此數值
並不是真的在積分。
以前我第一次看到這函數的時候以為慘了, 不會積, 後來物數老師列了許多習題, 我才發現原來不是在積分.
譬如, 我們有一個函數教作e^ikx, -ε<x<+ε
我們問: ∫e^ikx δ(x)dx=?
答案居然是1
因為 e^ikxx=0套入也可以說 e^ikx出去不是不可以而是要先裝入x=0才能出去積分號外
並不用積分或者說這「積分」是假的。

17:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-02 23:26:50:來自國立清華大學 [回應第14篇]

0.0

投影?

能用文字敘述一下"為何"要用dirac-delta去轉換嗎?

18:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-09 17:26:37:來自國立中正大學 [回應上一篇]

1.其實Dira delta function也是一種做投影的動作,
如果有修過量子力學,
$<x | y> : = \delta (x-y)$
當然前面我用delta function去做mv²/2的轉換, 是把物體的動能擠到v=c的附近
這種擠壓函數的動作看起來像在玩數學, 但實際上, Delta function並不是數學家發明的
她是物理學家發明的
2.而狹義相對論中接近光速物體的動能會很接近她的靜止能量E=m_oc² 甚至超過E=m_oc²

19:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-14 15:07:39:來自國立清華大學 [回應上一篇]

從狹義相對論中已經知道能量 E=rmc² 可以用泰勒展開成 E=mc²+mv²/2+3mv⁴/8c²+...

那上面用dirac-delta把能量 E 投影到 v->c 的話, 等於是在找 E 在 x⁰ 的投影量

{ E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+... , 其中 x=v²/c² }

所以你得到了 < E|x⁰ >=mc²

嗯... 我的意思是問說, 你得到這個結果要做啥? (還是你有講了我沒看懂?)

20:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-14 23:24:29:地點台灣台北 [回應上一篇]

相對論中的Ｍｉｎｋｖｏｓｋｙ　ｓｐａｃｅ：（x^o, x¹, x², x³）
x⁰不是時間嗎?

∫mv²δ(v-c)/2 dv = mc²並沒有投影到時間。
應該是縱座標ｖ＝ｃ投影到橫坐標ｖ，不過還有待確認。
還有狹義相對論中的能量表達式 E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...
可以寫成 complete set嗎?
如果可以當然是可以做內積的動作啦然後就如你所說：< E|x⁰ >=mc² 。
這就是量子力學
(是否Dirac作相對論性量子力學是這樣? 這我不知道...)
如果不可以, 那可以做內積嗎???

21:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-16 07:47:57:來自國立清華大學 [回應上一篇]

哦哦, 我這裡的 x 只是單純表達一個變數而已, 不是（x⁰, x¹, x², x³）

x⁰ = 1 ...XD

泰勒展開式是建立在 complete set 上嗎? 如果是就是囉!

Quote:

在 2010-04-14 23:24:29, Hydrogen Dioxide 寫了:
相對論中的Ｍｉｎｋｖｏｓｋｙ　ｓｐａｃｅ：（x^o, x¹, x², x³）

x⁰不是時間嗎?

∫mv²δ(v-c)/2 dv = mc²並沒有投影到時間。

應該是縱座標ｖ＝ｃ投影到橫坐標ｖ，不過還有待確認。

還有狹義相對論中的能量表達式 E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...

可以寫成 complete set嗎?

如果可以當然是可以做內積的動作啦然後就如你所說：< E|x⁰ >=mc² 。

這就是量子力學

(是否Dirac作相對論性量子力學是這樣? 這我不知道...)

如果不可以, 那可以做內積嗎???

22:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-17 19:07:52:地點台灣台北 [回應上一篇]

前述中提到 :
狹義相對論中的能量表達式 E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...
這表達式是利用二項式定理 $(a+b)^n = \Sigma_{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} a^k b^{n-k}$ 展開, 怎麼會是泰勒展開呢?
可以請Lucky~說一下為何要用Taylor展開?

我在物理系這麼久, 如果沒有估錯, Taylor展開應該是推導n階可導函數, 在平衡點附近時的穩定現象. (穩定平衡不穩定平衡...) 如y=y_o
我記得有老師說過, 不是所有的問題都可以用泰勒展開.

23:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-18 04:15:44:地點台灣台北 [回應上一篇]

那我只好請你務必親自動手算一遍:

究竟 r = (1-x)^1/2 = 1+(1/2)x+(3/8)x²+... 是泰勒還是二項式展開囉...

Quote:

在 2010-04-17 19:07:52, Hydrogen Dioxide 寫了:
前述中提到 :

狹義相對論中的能量表達式 E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...

這表達式是利用二項式定理 $(a+b)^n = \Sigma_{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} a^k b^{n-k}$ 展開, 怎麼會是泰勒展開呢?

可以請Lucky~說一下為何要用Taylor展開?

24:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-20 14:33:50:來自國立中正大學 [回應上一篇]

我是有點看不懂你說的 x0 , x1, x2, ....這些
不過如果我沒記錯你說這是隨便的參量
不曉得是不是x=v/c???
如果是泰勒展開因為他是無窮級數分母會有階乘的東西產生
我看到的適用二項式定理把 $(1-x)^{-1/2}$ 展開成 : $mfrac{dx_4}{ds}=imleft[{1+frac{1}{2}frac{v^2}{c^2}+frac{3}{8}frac{v^4}{c^4}+cdots} ight]$
r = (1-x)^1/2 = 1+(1/2)x+(3/8)x²+... 是泰勒還是二項式展開囉...
應該是r = (1-x)^-1/2 吧!!!
[quote] 在 2003-07-22 03:43:00, LungZeno(龍珠) 寫了:

Quote:

在 2003-07-20 23:23, 藏寫了: 請問E=MC^2 是由哪幾個公式所導出來的呢?

Conservation of momentum in Newton: $Deltasummbox{mv}=0$
Conservation of momentum in relativity: $Deltaleft{sum_n mfrac{dx_i}{ds} ight}=0$ (i=1,2,3,4)
$cdot.cdot$ $ds^2=d(ct)^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$
$.cdot.$ $frac{ds}{d(ct)}=frac{sqrt{c^2-v^2}}{c}$
$.cdot.$ $mfrac{dx_4}{ds}=mfrac{d au}{ds}=mfrac{d,(ict)}{ds}=imfrac{d,(ct)}{ds}$
$=imleft[{1-frac{v^2}{c^2}} ight]^{-frac{1}{2}}$
By Binomial Thecrem, $mfrac{dx_4}{ds}=imleft[{1+frac{1}{2}frac{v^2}{c^2}+frac{3}{8}frac{v^4}{c^4}+cdots} ight]$
^..^. v is much smaller than c. (v<<c)
$.cdot.quad mfrac{dx_4}{ds}simeq{imleft[{1+frac{1}{2}frac{v^2}{c^2}} ight]}$
$cdot.cdotquad Deltaleft{sum_n mfrac{dx_4}{ds} ight}=0$
$Deltaleft{sum_n imleft[{1+frac{1}{2}frac{v^2}{c^2}} ight] ight}=0$
multiplied by constant $c^2$ and removed constant i(pure imaginary unit)
$.cdot.quad Deltaleft{sum_n (mc^2+frac{1}{2}mv^2) ight}=0$
$cdot.cdot$ in elastic collision, m is unchange
$.cdot.quad Deltasum_n mc^2=0$
and $Deltasum_n (frac{1}{2}mv^2)=0$ which is classic conservation of kinentic energy.
Or $Deltaleft{sum_n mc^2frac{c}{sqrt{c^2-v^2}} ight}=0$
When v=0,

Quote:

在 2010-04-18 04:15:44, Lucky~ 寫了: 那我只好請你務必親自動手算一遍:

究竟 r = (1-x)^1/2 = 1+(1/2)x+(3/8)x²+... 是泰勒還是二項式展開囉...

Quote:

在 2010-04-17 19:07:52, Hydrogen Dioxide 寫了:
前述中提到 :
狹義相對論中的能量表達式 E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...
這表達式是利用二項式定理 $(a+b)^n = Sigma_{n} frac{n!}{k!(n-k)!} a^k b^{n-k}$ 展開, 怎麼會是泰勒展開呢?
可以請Lucky~說一下為何要用Taylor展開?

感覺Lucky~對物理很有興趣但是沒有甚麼研究所歷練的經驗, 物理學家是要人去挑釁既有學理，而不是挑釁前輩
我真的看了你以上的留言和寫的數學真的很想說清交大學的物理的人很弱。
寫這個是甚麼東西？ E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+... 她寫的

r = (1-x)^1/2 = 1+(1/2)x+(3/8)x²+... 是泰勒還是二項式展開囉...
你寫錯了
是(1-x) ^-1/2
然後這是甚麼東西? E=(mc²)x⁰+(mc²/2)x¹+(3mc²/8)x²+...
就跟你說式二項式定理你還不信

你寫的　（１－ｘ）^１／２要修正成（１－ｘ）^－１／２，不要寫錯了然後來糾正人，莫名其妙。
後來我發現她的ｘ＝ｖ^２／ｃ^２，跟龍珠大大寫的一樣，你的展開結果正確，但是用錯定理，
是二項式定理啦～
不是泰勒展開，
你不要大一學了微積分就自以為很了不起，得意忘形把定理的名字竄改，忘了高中數學。
（搞不好連高職數學都不如）。

你寫的　（１－ｘ）^１／２要修正成（１－ｘ）^－１／２，不要寫錯了然後來糾正人，莫名其妙。
後來我發現她的ｘ＝ｖ^２／ｃ^２，跟龍珠大大寫的一樣，你的展開結果正確，但是用錯定理，
是二項式定理啦～
不是泰勒展開，
你不要大一學了微積分就自以為很了不起，得意忘形把定理的名字竄改，忘了高中數學。
（搞不好連高職數學都不如）。

有關以二項式定理展開 $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ , x=v²/c²：(連這個也不會的人真的要好好思考, 未來的走向, 物理所電機所的電動力學常用到二項式定理, 而電動跟狹義相對論(部分人士的最愛)有關 )
[quote] 在 2003-07-22 03:43:00, LungZeno(龍珠) 寫了:

Quote:

在 2003-07-20 23:23, 藏寫了: 請問E=MC^2 是由哪幾個公式所導出來的呢?

Conservation of momentum in Newton: $\Delta\sum\mbox{mv}=0$
Conservation of momentum in relativity: $\Delta\left\{\sum_n m\frac{dx_i}{ds}\right\}=0$ (i=1,2,3,4)
$\cdot.\cdot$ $ds^2=d(ct)^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$
$.\cdot.$ $\frac{ds}{d(ct)}=\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{c}$
$.\cdot.$ $m\frac{dx_4}{ds}=m\frac{d\tau}{ds}=m\frac{d\,(ict)}{ds}=im\frac{d\,(ct)}{ds}$
$=im\left[{1-\frac{v^2}{c^2}}\right]^{-\frac{1}{2}}$
By Binomial Thecrem, $m\frac{dx_4}{ds}=im\left[{1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^2}{c^2}+\cdots}\right]$
^..^. v is much smaller than c. (v<<c)
$.\cdot.\quad m\frac{dx_4}{ds}\simeq{im\left[{1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}}\right]}$
$\cdot.\cdot\quad \Delta\left\{\sum_n m\frac{dx_4}{ds}\right\}=0$
$\Delta\left\{\sum_n im\left[{1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}}\right]\right\}=0$
multiplied by constant $c^2$ and removed constant i(pure imaginary unit)
$.\cdot.\quad \Delta\left\{\sum_n (mc^2+\frac{1}{2}mv^2)\right\}=0$
math_failure (math_unknown_error): \cdot.\cdot\ in elastic collision, m is unchange
$.\cdot.\quad \Delta\sum_n mc^2=0$
and $\Delta\sum_n (\frac{1}{2}mv^2)=0$ which is classic conservation of kinentic energy.
Or $\Delta\left\{\sum_n mc^2\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}\right\}=0$
When v=0,

25:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-21 07:58:18:來自國立清華大學 [回應上一篇]

anyway, 我沒有要挑釁你的意思... 不曉得你是自卑還是有什麼特殊原因要這樣想

x=(v/c)² 一開始我就有打了, 負號少打是失誤

是二項式沒錯, 先前想錯了又沒動手算就叫你去算, 真是老大對不起!!

討論就到此為止吧, 避免淪為筆戰, 我也懶得看你在這裡擺學長的架子酸人

[ 這篇文章被編輯過: Lucky~ 在 2010-04-21 09:52:00 ]

26:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-22 22:13:38:地點台灣嘉義 [回應上一篇]

Quote:

在 2010-04-21 07:58:18, Lucky~ 寫了: anyway, 我沒有要挑釁你的意思... 不曉得你是自卑還是有什麼特殊原因要這樣想

x=(v/c)² 一開始我就有打了, 負號少打是失誤

是二項式沒錯, 先前想錯了又沒動手算就叫你去算, 真是老大對不起!!

討論就到此為止吧, 避免淪為筆戰, 我也懶得看你在這裡擺學長的架子酸人

[ 這篇文章被編輯過: Lucky~ 在 2010-04-21 09:52:00 ]

http://forum.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=20125
arfken page 752, an example on it

27:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-23 05:21:53:地點台灣新竹 [回應上一篇]

感謝, 確實是個好例子!

28:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-04-23 14:53:05:來自國立中正大學 [回應第25篇]

Quote:

在 2010-04-21 07:58:18, Lucky~ 寫了: anyway, 我沒有要挑釁你的意思... 不曉得你是自卑還是有什麼特殊原因要這樣想

不是你說得這個原因~ 每個人都會犯錯, 物理討論前要深思熟慮, 不然很容易誤入歧途
1/2 還是-1/2打錯這都是小事
重點是物理觀念~
相對論E=mc²跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示是一種分布才能知道鄰域在哪裡不是嗎)
所以, 位能可做Taylor expansion 動能和總能不行

29:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-26 04:21:19:地點台灣台北 [回應上一篇]

Quote:

在 2010-04-23 14:53:05, Hydrogen Dioxide 寫了:相對論E=mc²跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示是一種分布才能知道鄰域在哪裡不是嗎)

所以, 位能可做Taylor expansion 動能和總能不行

所以你的意思是說Taylor expansion只能對空間而不能對時間?

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phymath999

Thursday, February 21, 2013

相對論E=mc2跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示是一種分布才能知道鄰域在哪裡不是嗎)

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相對論E=mc2跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示 是一種分布 才能知道鄰域在哪裡 不是嗎)

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相對論E=mc2跟動能有關, 動能是個瞬間值, 不像位能那樣式儲存在空間中的能量 (這表示是一種分布才能知道鄰域在哪裡不是嗎)