但
Hartree 近似仅适于全同玻色子系统，因其不满足泡利不相容原理，所以
不适于全同费米子系统。针对全同费米子系统，
Fock[3]和Slater[4]提出了Hartree-
Fock 近似，此近似将波函数写成N 个规范正交单粒子波函数 j 的Slater 行列
http://www.math.nus.edu.sg/~bao/thesis/Zhang-Yong.pdf
第
1 章引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1
问题背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2
研究现状. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3
研究内容. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1
快速高效数值方法及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2
两类紧致差分格式的最优误差估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3
各向异性外势下三维方程组的降维分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4
内容的结构安排. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
第
2 章快速高效数值方法及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1
基态解和梯度流方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1
梯度流方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2
梯度流的谱方法离散. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3
梯度流的差分方法离散. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
动力学计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1
时间分裂谱方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2
半隐差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3
一维和三维泊松位势的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
快速卷积法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2
正弦谱方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3
傅立叶谱方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4
二维泊松位势的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1
泊松方程的人工边界条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2
二维泊松位势的数值算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5
数值结果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1
基态解的数值方法比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2
动力学的数值方法比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3
三维方程组的数值研究. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6
本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV
目录
第
3 章两类紧致差分格式的最优误差估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1
两类数值方法和主要结果. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1
紧致差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2
两类紧致差分数值方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Crank-Nicolson
紧致差分格式的误差分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3
半隐紧致差分格式的误差分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4
数值结果分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5
本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
第
4 章各向异性外势下三维薛定谔-泊松方程组的降维分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1
从三维到二维降维分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2
从三维到一维降维分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3
等效位势的数值方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1
面绝热模型中的等效位势. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2
面密度模型中的等效位势. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3
线绝热模型中的等效位势. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4
数值结果分析及面密度模型的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.1
从三维到二维的数值结果分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.2
从三维到一维的数值结果分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.3
二维模型的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.4
面密度模型的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5
本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
第
5 章结论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1
论文主要工作和总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2
研究发展趋势. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
参考文献
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
致谢
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
声明
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
V
主要符号对照表
主要符号对照表
t
时间
i
虚数单位
x
空间变量
R
n n 维欧式空间
~
普朗克常量
区域
r
梯度
=
r r Laplace 算子
(
x; t) 波函数
(x) 泊松位势
-
g(x) 基态
G
d
(x) d 维空间的Laplace 方程格林函数
GFDN
离散归一化梯度流
CNGF
连续归一化梯度流
BSFC
向后欧拉正弦谱+快速卷积方法
BESP
向后欧拉正弦谱方法
BEFP
向后欧拉傅立叶谱方法
BEFD
向后欧拉差分方法
TSSP
时间分裂正弦谱方法
TSFP
时间分裂傅立叶谱方法
SIFD
半隐差分格式
CNCFD Crank-Nicolson
紧致差分格式
SICFD
半隐紧致差分格式
SAM
面绝热模型
SDM
面密度模型
LAM
线绝热模型
VI
第
1 章引言
第
1 章引言
1.1
问题背景
多粒子量子系统是由多个粒子通过相互作用形成的微观系统，它广泛存在
于半导体物理、等离子物理、凝聚态物理和分子动力学等领域， 对它的科学研
究有重要的理论意义和应用价值。本文所研究的薛定谔
-泊松方程组是对多粒子
非相对论量子系统的一种单粒子波函数近似。
N 粒子非相对论量子系统的波函
数
(x1; x2; : : : ; xN; t) 满足如下线性薛定谔方程：
i
~
@
@
t = HN :=
26666664
~2
2
m
X
N
j
=1
xj +
X
N
j
=1
V
ext(xj) +
X
1
j<k N
1
j
xj xkj
37777775
; (1-1)
( ; t = 0) = 0(x1; x2; : : : ; xN); (1-2)
其中
HN 为哈密顿量， 为复值函数， 0 为初始波函数，~ 为普朗克常量，m 为
粒子质量，
Vext 为外场，xj 2 R3 为第j 个粒子所处的位置。
一般来讲，线性方程
(1-1) 没有解析解，并且当粒子个数N 10 时，方程(1-
1)
的直接数值模拟已因现有计算能力限制而无法实现。对粒子数远多于此的实
际问题，如半导体
(其电子数量级在103 到1026 之间) ， 通常的做法是，利用不
同的波函数近似来简化方程，通过求解简化的方程
(组) 来逼近原问题。若波函
数满足
Hartree 近似[1]，即 (x1; ; xN) 可写成N 个规范单粒子波函数 k 的直
积
(x1; ; xN) =
Q
N
k
=1 k(xk) ，利用变分方法可推导得到定态的薛定谔-泊松方程
组
[2]。但Hartree 近似仅适于全同玻色子系统，因其不满足泡利不相容原理，所以
不适于全同费米子系统。针对全同费米子系统，
Fock[3]和Slater[4]提出了Hartree-
Fock
近似，此近似将波函数写成N 个规范正交单粒子波函数 j 的Slater 行列式，
即
(x1; ; xN) =
1
p
N
!
det(
k(xj)) j;k=1; ;N: (1-3)
在
Hartree-Fock 近似下，能量泛函E = h ; HN i 的临界点对应着定态Hartree-
Fock
方程组的解， 定态Hartree-Fock 方程组是由N 个规范正交单粒子波函
数
j 组成的[2]，
~2
2
m j + Vext j + j + (Vexc ) j = Ej j; j = 1; ; N; (1-4)
1
第
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