第44 卷2008 年第1 期
西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)
Vol
.4 4 2 008 No. 1 Journal of Northwest Normal University (Natural Science)
收稿日期
: 20 07?07?23 ; 修改稿收到日期: 2007?11?03
基金项目
: 国家自然科学基金资助项目(1 0575082) ; 甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS061?A25?013 ) ; 西北师范大学科
技创新工程资助项目(
NWNU?KJCXGC?0 3?17)
作者简介
: 高秀云( 1980—) , 女, 甘肃古浪人, 硕士研究生. 主要研究方向为非线性物理.
* 通讯联系人,
E?mail :duanws @ nwnu. edu. cn
非线性薛定谔方程的新精确解
高秀云
, 段文山*
(西北师范大学物理与电子工程学院, 甘肃兰州 7 300 70)
摘 要
: 通过行波变换把非线性薛定谔方程化为关于其振幅的第四种椭圆方程, 由此直接得到了该方程的3 组精确
解
. 在求解过程中巧妙地引入一个变量代换后,又将非线性薛定谔方程化成了关于其振幅的第三种椭圆方程, 从而又
得到了该方程的
2 组新的精确解.
关键词
: 非线性薛定谔方程;行波解; 孤立波解; 周期波解
中图分类号
: O 415 文献标识码: A 文章编号: 100 1-988Ⅹ( 2008)01-0043-04
New exact solutions for nonlinear Schr
dinger equation
GAO Xiu
?yun , DUANWen?shan
(
College of Physics and Electronic Engineering ,Northwest Normal University, Lanzhou 730070 , Gansu , China)
Abstract
: By using travelling wave transformation , nonlinear Schr dinger(NLS) equation is reduced to a
forth elliptic equation on the amplitude of NLS equation
, and three classes of exact solutions are got .
Particularly
, a third elliptic equation for the amplitude of NLS equation is obtained after using a special
variable transformation
, and two classes of new exact solutions are got again .
Key words
: nonlinear Schr dinger equation ; travelling wave solution ; solitary wave solution ; periodic
wave solution
非线性薛定谔方程是数学物理中一类重要的非
线性演化方程, 在量子力学、非线性光学、电磁
学、等离子体理论、固体物理以及玻色?爱因斯坦
凝聚等众多领域中得到了广泛应用,故对该方程的
求解进行研究有着重要的物理意义.关于非线性薛
定谔方程的求解,学者们提出了许多精巧的方
法
[ 1? 6 ] , 如Riccatic 方程映射法,Hirota 法,分数变
换法, 双曲函数展开法,
Jacobi 椭圆函数展开法,
行波解法等等.其中, 求行波解是求解非线性薛定
谔方程的一种有效而重要的途径. 文献[ 6 ]利用行
波变换法, 对非线性薛定谔方程进行了详细的求
解,得到了3 组精确孤立波解, 但在求解过程中需
要较大量的分析和说明, 计算起来比较烦琐. 在文
献[ 6 ]启发下,笔者变换行波解的形式, 由此直接
得到了关于非线性薛定谔方程振幅的第三种椭圆方
程,使其求解更为直接和简便, 不仅得到了2 组与
文献[ 6 ]的结果相一致孤立波解, 而且求得了1 组
新的精确周期波解. 尤其, 在求解过程中巧妙地引
入一个变量代换后, 又将非线性薛定谔方程化成了
关于其振幅的第三种椭圆方程, 从而又得到了该方
程的2 组新的精确解.
1 行波变换及方程的求解
非线性薛定谔方程又称为立方薛定谔方程, 简
称为
NLS 方程, 其一般形式为
i
∂ u
∂
t + α∂2 u
∂
x2 + β u 2 u = 0 , ( 1 )
其中α和β分别称为频散系数和
Landau 系数.
43
西 北 师 范 大 学 学 报
(自然科学版) 第44 卷
Journal of Northwest Normal University
(Natural Science) Vol. 44
设方程( 1 )行波解的形式为
u
= φ(ξ)ei[θ(ξ) + n t] , ξ = x - cg t , ( 2 )
式中
cg 为行波速度. ( 2 )式代入( 1 )式, 得
[(αφ″ + βφ
3 + cgφθ′ - nφ - αφθ′2 ) +
i
(2αφ′θ′ - cgφ′ + αφθ″)]ei[θ(ξ) + n t] = 0 .
在上式中消去
ei[θ(ξ) + n t] ≠0 项, 并令实部和虚部分
别等于零得
αφ″+ βφ
3 + cgφθ′- nφ - αφθ′2 = 0 , ( 3 )
2αφ′θ′ -
cgφ′ + αφθ″ = 0 . ( 4 )
设θ为ξ的一次函数, 则由( 4 )式可解得
θ′ =
1
2α
cg . ( 5 )
对( 5 )式积分并取积分常数为零得
θ(ξ) =
1
2α
cgξ. ( 6 )
( 5 )式代入( 3 )式得
αφ″+ βφ
3 - n -
1
4α
cg
(
2 )φ = 0 .
上式两边同乘以φ′, 积分并取积分常数为零得
αφ′
2 +
1
2
βφ
4 - n -
1
4α
cg
(
2 )φ2 = 0 .
将上式变形可得
φ′
2 = φ2 1
α
n -
1
4α
cg
(
2 ) -
β
2α
φ
[ 2 ] . ( 7 )
( 7 )式是第四种椭圆方程,它有如下3 种形式的解
情况
1 α、β同号
φ(ξ) =
2α
β
asech aξ ( a2 > 0) , ( 8 )
其中
a2 =
1
α
n-
1
4α
cg
(
2 ) .
情况
2 α、β异号
φ(ξ) = - 2α
β
acsch aξ (a2 > 0) , ( 9 )
其中
a2 =
1
α
n-
1
4α
cg
(
2 ) .
情况
3 α、β异号
φ(ξ) = -
2α
β
acsc aξ ( a2 > 0) , (10)
其中
a2 = -
1
α
n-
1
4α
cg
(
2 ) .
2 变量代换及方程的求解
若将( 4 )式积分并取积分常数为
c, 则可得
θ′ = 1
2α
cg ± c1
2α
1
φ
2 (其中c1 = e2 c ) . (11)
(11)式代入( 3 )式得
αφ″+ βφ
3 - n -
1
4α
cg
(
2 )φ- c1
2
4α
1
φ
3 = 0 .
两边同乘以φ′, 积分并取积分常数为
c2 得
αφ′
2 +
1
2
βφ
4 - n - 1
4α
cg
(
2 )φ2 + c1
2
4α
1
φ
2 + 2c2 = 0 .
令
y= φ2 , 则化为
y
′2 = - c1
2
α
2
-
8
c2
α
y +
4
n
α
-
cg
2
α
2 ( )y2 -
2β
α
y3 .
(12)
(12)式是第三种椭圆方程,它存在两种形式的解.
情况
1 α、β同号
φ
2 (ξ) = m + 2k2 sech2 pkξ, (13)
其中
m= nβ
,
p=
β
α
,
k=
1
2
- 2
mcg
2
αβ
.
将(13)式代入(11)式可解得
θ(ξ) = -
arctan 2k α βtanhpkξ
c
g ( ) (14)
或
θ(ξ) =
arctan 2k α βtanhpkξ
c
g ( )+
c
gξ
α
. (15)
情况
2 α、β异号
φ
2 (ξ) = m - 2k2 sech2 pkξ, (16)
其中
m= nβ, p= -
β
α
,
k=
1
2
2
m+
c
g
2
αβ
.
将(16)式代入(11)式可解得
θ(ξ) =
β
- β
arctanh
2k α βtanhpkξ
c
g ( )(17)
或
θ(ξ) =
- β
β
arctanh
2k α βtanhpkξ
c
g ( )+
c
gξ
α
.
(18)
3 讨论
( 8 )、( 9 )、(10)、(13)、(16)式就是非线性薛定
谔方程振幅的解, 其中( 8 )式和(16)式为孤立波,
( 9 )式为奇异孤立波, 而(10)式为周期波. 将上述
五式及相应的θ分别代入( 2 )式就可求得非线性薛
定谔方程( 1 )不同形式的解. 例如, 在一定的参数
取值下, 将( 8 )式和( 6 )式代入( 2 )式可得到包络
孤立波解; 将( 9 )式和( 6 )式代入( 2 )式可得到奇
异包络孤立波解; 将(10)式和( 6 )式代入( 2 )式可
得到周期波解; 将(16)式和(17)式代入( 2 )式可得
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200 8 年第1 期 高秀云等: 非线性薛定谔方程的新精确解
2008
No. 1 Newexact solutions for nonlinear Schr dinger equation
到扭折孤立波解, 而将(16)式和(18)式代入( 2 )式
也可得到周期波解. 图1 和图2 分别给出了( 8 )式
所表示的振幅的孤立波解及与其相对应的方程( 1 )
的包络孤立波解的图像, 其中α= 1. 28 ,β = 1 ,
n
= 5 ,cg = 5 ; 图3 和图4 分别给出了( 9 )式所表示
的振幅的奇异孤立波解及与其相对应的方程( 1 )的
奇异包络孤立波解的图像, 其中α= 1. 28 ,β= - 1 ,
n
= 5 ,cg = 5 .
图1 非线性薛定谔方程振幅的孤立波解
Fig
1 Solitary wave solution for the amplitude
of nonlinear Schr
dinger equation
图2 非线性薛定谔方程的包络孤立波解
Fig
2 Envelope solitary wave solution
of nonlinear Schr
dinger equation
图3 非线性薛定谔方程振幅的奇异孤立波解
Fig
3 Singular solitary wave solution for the amplitude
of nonlinear Schr
dinger equation
图4 非线性薛定谔方程的奇异包络孤立波解
Fig
4 Singular envelope solitary wave solution
of nonlinear Schr
dinger equation
图5 和图6 是在α= - 1. 68 ,β= 1 ,
n = 0. 1 ,
c
g = 5的情况下(10)式所表示的振幅的周期波解及
其所对应的方程( 1 )的周期波解的图像; 图7 和图
8 分别为(16) 式所表示的振幅的孤立波解及其和
(17)式所对应的方程( 1 )的扭折孤立波解的图像,
其中α= 2 ,β= - 1 ,
n= - 0. 1 ,cg = 0. 6 .
图5 非线性薛定谔方程振幅的周期波解
Fig
5 Periodic wave solution for the amplitude
of nonlinear Schr
dinger equation
图6 非线性薛定谔方程的周期波解
Fig
6 Periodic wave solution of nonlinear
Schr
dinger equation
图7 非线性薛定谔方程振幅的孤立波解
Fig
7 Solitary wave solution for the amplitude
of nonlinear Schr
dinger equation
图8 非线性薛定谔方程的扭折孤立波解
Fig
8 Kink solitary wave solution of nonlinear
Schr
dinger equation
45
西 北 师 范 大 学 学 报
(自然科学版) 第44 卷
Journal of Northwest Normal University
(Natural Science) Vol. 44
图9 和图10 分别为(16)式所表示的振幅的孤
立波解及其和(18)式所对应的方程( 1 )的周期波解
的图像, 其中α= - 2 ,β= 1 ,
n= 0. 095 ,cg = 0. 6 .
图9 非线性薛定谔方程振幅的孤立波解
Fig
9 Solitary wave solution for the amplitude
of nonlinear Schr
dinger equation
图10 非线性薛定谔方程的周期波解
Fig
1 0 Periodic wave solution of nonlinear
Schr
dinger equation
4 结语
在行波约化的前提下, 用映射法求解非线性演
化方程是一种非常有效的途径. 本文通过行波约化
法将非线性薛定谔方程化为两个变量的方程组, 再
利用解方程组的方法巧妙地将方程组化为椭圆函数
方程,最后利用椭圆函数解映射得到原方程的行波
解.然而得到的结果仅仅是初等函数表达的解, 没
有深入得到更多用
Jacobi椭圆函数等特殊函数表
达的解. 事实上, 在不同的行波变换下, 这部分解
已经有较多的文献报道
[ 7? 1 0 ] . 因此, 对此方程的求
解值得进一步加以研究.
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(
责任编辑 孙晓玲)
46
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