phymath999: qm01 量子諧振子一維案例，能量是量子化的。維基態能階是一維基態能階的倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態

Saturday, February 9, 2013

qm01 量子諧振子一維案例，能量是量子化的。維基態能階是一維基態能階的倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態

一維案例，能量是量子化的。 $N$ 維基態能階是一維基態能階的 $N$ 倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 $N$ 維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態

量子諧振子

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在量子力學裏，量子諧振子（英语：quantum harmonic oscillator）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。

[编辑] 一維諧振子

[编辑] 哈密頓算符與能量本徵態

能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵（n = 0 到 7）。橫軸表示位置 x 。此圖未經歸一化。

在一維諧振子問題中，一個質量為 m 的粒子，受到一位勢 $V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 。此粒子的哈密頓算符為

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

其中 x 為位置算符，而 p 為動量算符 $\left(p = -i \hbar {d \over dx} \right)$ 。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，我們必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：

$H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$ .

我們可以在座標基底下解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$n = 0, 1, 2, \ldots$

最先六個解（n = 0 到 5）展示在右圖。函數 $H_n$ 為厄米多項式 (Hermite polynomials)：

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作 H 。相應的能階為

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)$ 。

束縛本徵態之機率密度 |ψ_n(x)|² ，從最底部的基態（n = 0）開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置 x ，而較亮的色彩代表較高的機率密度。

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」(quantized)，而只能有離散的值——即 $\hbar\omega$ 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，我們將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當 n = 0 ）不為零，而是 $\hbar\omega/2$ ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations) 且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points)，其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

[编辑] 階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許我們能抽得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，我們定義算符 a 與其伴隨算符 (adjoint) a^† ：

$\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}$

算符 a 並非厄米算符 (Hermitian) ，以其與伴隨算符 a^† 並不相同。
算符 a 與 a^† 有如下性質：

$\begin{matrix} a \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n} \left| \phi _{n-1} \right\rangle \\ a^{\dagger} \left| \phi _n \right\rangle &=& \sqrt{n+1} \left| \phi _{n+1} \right\rangle \end{matrix}$

在推導 a^† 形式的過程中，我們已用到算符 x 與 p （代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

$\begin{matrix} x &=& \sqrt{\hbar \over 2m\omega} \left( a^{\dagger} + a \right) \\ p &=& i \sqrt{{\hbar}m\omega \over 2} \left( a^{\dagger} - a \right) \end{matrix}$

x 與 p 算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：

$\left[x , p \right] = i\hbar$ .

方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為

$\left[A , B \right] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ AB - BA$ .

利用上面關係，我們可以證明如下等式：

$H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)$

$\left[a , a^{\dagger} \right] = 1$ .

現在，讓 $\left|\psi_E\right\rangle$ 代表帶有能量 E 的能量本徵態。任何右括向量 (ket) 與自身的內積必須是非負值，因此

$\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0$ 。

將 a^†a 以哈密頓算符表示：

$\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0$ ,

因此 $E \ge \hbar \omega / 2$ 。注意到當 ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) 為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而 $E = \hbar \omega / 2$ 。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（n = 0）。
利用上面等式，我們可以指出 a 及 a^† 與 H 的對易關係：

$\begin{matrix} \left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\ \left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger \end{matrix}$ .

因此要是 ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) 並非零右括向量，

$\begin{matrix} H (a \left| \psi_E \right\rangle) &=& (\left[H,a\right] + a H) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (- \hbar\omega a + a E) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (E - \hbar\omega) (a\left|\psi_E\right\rangle) \end{matrix}$ .

類似地，我們也可以指出

$H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle)$ .

換句話說，a 作用在能量為 E 的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 $E - \hbar \omega$ 的本徵態，而 a^† 作用在能量為 E 的本徵態，產生出另一個能量為 $E + \hbar \omega$ 的本徵態。因為這樣，a 稱作降算符而 a^† 稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a 與 a^† 也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於我們的能量量子。
給定任何能量本徵態，我們可以拿降算符 a 作用在其上，產生了另一個能量少了 $\hbar \omega$ 的本徵態。重複使用降算符，似乎我們可以產生能量本徵態其能量低到 E = −∞ 。不過這樣就就與早先的要求 $E \ge \hbar \omega / 2$ 相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，我們標示作 $\left| 0 \right \rangle$ （勿與零右括向量混淆），使得

$a \left| 0 \right\rangle = 0$ （即 a 對 $\left| 0 \right\rangle$ 作用後產生零右括向量 (zero ket)）。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，我們還指出了

$H \left|0\right\rangle = (\hbar\omega/2) \left|0\right\rangle$ 。

最後，透過將升算符作用在 $\left| 0 \right \rangle$ 上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合 $\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}$ 使得

$H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle$ ，

這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態， $a \left| 0 \right\rangle = 0$ 變為

$x\psi_0(x) + \frac{\hslash}{m \omega} \frac{d \psi_0 (x)}{dx} = 0$ 。

所以，

$\frac{d\ln \psi_0 (x)}{dx}= - \frac{\hslash}{m \omega} x + \text{ Constant}$ 。

這個方程式的解為，經過歸一化，

$\psi_0(x)= \left({m\omega \over \pi\hbar}\right)^{1 \over 4}e^{ - m\omega x^2/2\hbar}$ 。

[编辑] 自然長度與能量尺度

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果我們以 $\hbar \omega$ 為單位來測量能量，以及 $\left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2}$ 為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：

$H = - {1\over2} {d^2 \over du^2 } + {1 \over 2} u^2$ ,

且能量本徵態與本徵值變成

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)$

$E_n = n + {1\over 2}$ .

為了避免混淆，在此文中我們不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被運用到。

[编辑] 案例：雙原子分子

主条目：雙原子分子

在雙原子分子中，自然頻率可以發現為[1]：

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m_r}}$

其中

$\omega = 2 \pi f$ 為角頻率，

k 是共價鍵勁度係數

$m_r$ 是約化質量。

[编辑] $N$ 維諧振子

一維諧振子很容易地推廣到 $N$ 維。在一維中，粒子的位置是由單一座標 x 來指定的。在 $N$ 維中，這由 $N$ 個位置座標所取代，我們以 $x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N$ 標示。對應每個位置座標有個動量，我們標示為p₁, ..., p_N。這些算符之間的正則對易關係為

$\begin{matrix} \left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\ \left[x_i , x_j \right] &=& 0 \\ \left[p_i , p_j \right] &=& 0 \end{matrix}$ .

系統的哈密頓算符為

$H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)$ 。

從這個哈密頓量的形式，我們可以發覺， $N$ 維諧振子明確地可比擬為 $N$ 個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數 $x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_N$ 是 $N$ 個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為 $N$ 個項目，每一個項目只相依於一個位置坐標。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數 $\{n\}$ ，一個 $N$ 維諧振子的能量本徵函數 $\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle$ 等於 $N$ 個一維本徵函數 $\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle$ 的乘積：

$\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle=\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i} \rangle$ 。

採用階梯算符方法，定義 $N$ 組階梯算符，

$a_i = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right)$ ，

$a^{\dagger}_i = \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right)$ 。

類似前面所述的一維諧振子案例，我們可以證明每一個 $a_i$ 與 $a^{\dagger}_i$ 算符將能量分別降低或升高 $\hbar\omega$ 。哈密頓量是

$H = \hbar \omega \, \sum_{i=1}^N \left(a_i^\dagger \,a_i + \frac{1}{2}\right)$ 。

這量子系統的能階 $E$ 是

$E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]$ ；

其中，正整數 $n_i$ 是 $|\psi_{n_i} \rangle$ 的量子數。
如同一維案例，能量是量子化的。 $N$ 維基態能階是一維基態能階的 $N$ 倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 $N$ 維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定 $n=n_1+n_2+n_3$ 。每一個 $n$ 相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予 $n$ ，我們首先選擇一個 $n_1$ 。那麼， $n_2+n_3=n - n_1$ ，我們有 $n - n_1+1$ 個值，從 $0$ 到 $n - n_1$ ，可以選擇為 $n_2$ 的值。 $n_3$ 的值自動的設定為 $n - n_1 - n_2$ 。因此，簡併度是

$d_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 。