用奇异拉氏量描述的系统，称为奇异系统．奇异
系统存在着固有约束，在物理学的许多领域里，广泛
存在着奇异系统．粒子物理的发展表明，描述自然界
基本相互作用的电磁场、Yang—Mills场、引力场、超对
称、超引力、超弦等理论中的系统，都是奇异系统．因
此，研究和处理约束成为规范理论中的基本问题之
一
，
它在现代量子场论中，特别是规范场和引力场的
量子化中占有重要地位．对此类系统的正则量子化
的研究始于Dirac，他提出了Dirac括号以进行正则
量子化
http://file.lw23.com/4/4c/4ca/4caa7518-a617-4ab6-a764-e3daf807bde9.pdf
第53卷第7期2004年7月
1000．3290／2004／53(07)／2094-06
物 理学 报
ACTA PHYSICA SINICA
Vo1．53，No．7，July，2004
⑥2004 Chin．Phys．Soc．
约束系统量子化中Dirac方法与Faddeev．Jackiw
方法的等价性*
隆正文 ’ 刘 波 ’ 李子平 ’
(贵州大学物理系，贵阳 550025)
(北京工业大学应用物理系，北京 100022)
f2003年4月25 日收到：2003年9 月24 日收到修 稿)
对约束系统量子化中Dirac方法和Faddeev．Jackiw方法进行了讨论，并对它们的运动方程、正则量子化的等价
性进行证明．找出了两种方法中约束的对应关系．
关键词：Faddeev—Jackiw方法，Dirac方法，约束系统，正则量子化
PACC：1110E，0420F
1．引 言
用奇异拉氏量描述的系统，称为奇异系统．奇异
系统存在着固有约束，在物理学的许多领域里，广泛
存在着奇异系统．粒子物理的发展表明，描述自然界
基本相互作用的电磁场、Yang—Mills场、引力场、超对
称、超引力、超弦等理论中的系统，都是奇异系统．因
此，研究和处理约束成为规范理论中的基本问题之
一
，
它在现代量子场论中，特别是规范场和引力场的
量子化中占有重要地位．对此类系统的正则量子化
的研究始于Dirac，他提出了Dirac括号以进行正则
量子化．此种方法已成功地对许多重要的系统进行
量子化¨ ]，并一直引起人们的研究兴趣 ．但它是
基于哈氏体制的，而Faddeev．Jackiw(FJ)方法是基于
拉氏体制的一种正则量子化方法 ．Barcelos—Neto和
Wotzasek进一步提出在FJ方法中也有约束时的处
理办法 J．由于这种方法简单，计算量少，不需区分
初级约束与次级约束以及第一类约束和第二类约
束，几何意义明显等优点，也没有Dirac猜想这样的
假设，因而自提出以来，就引起人们极大的兴趣，已
被用于许多系统的量子化，如Yang—Mills场 、超对
称 ’ 、非线性d模型 、超引力¨。。以及超弦¨¨等许
多重要的物理系统中．在所有这些系统中，用FJ方
法进行量子化所得的结果与用Dirac方法得到的结
果一致．但在FJ方法中，处理约束的方法是辛算法，
而辛算法主要是一种思想和做法，并没有严格的数
学证明．Costa和Girotti 以及Govaerts 分别证明
了辛矩阵非奇异时(即FJ方法中不存在约束时)FJ
方法与Dirac方法的等价性．本文将讨论辛矩阵奇异
时，Dirac方法与FJ方法的等价性问题．
2．动力学方程的等价性
现在对FJ方法 作简单介绍．设系统的一阶拉
氏量为
L=n ( )拿‘一V( )， (1)
其中 为辛变量，重复指标表示求和．FJ方法是从
一
阶拉氏量出发，但这并不是一个很严格的限制．很
多物理系统是由二阶拉氏量描述的，对此类系统可
以引入辅助场来扩大位形空间，以使二阶拉氏量转
化为一阶．通常辅助场取为正则动量，但这并不是必
须的 ．将(1)式代入Euler—Lagrange运动方程，得
》a 一 a 一 a 、 -一 o’， (、2。 )
即
= ，
(3)
其中
aⅡ； aⅡ
一
’
当辛矩阵，=( )非奇异时，(3)式等价于
’国家自然科学基金(批准号：10247009)及贵州省自然科学基金(批准号：20013024)资助的课题
’E-mail：longshe@hotmail．130111
7期 隆正文等：约束系统量子化中Dirac方法与Faddeev．Jackiw方法的等价性
．
(4)
定义辛变量之间的广义括号(或称FJ括号)为
{ ‘， } = ， (5)
然后将广义括号过渡到算符对易式，实现正则量
子化．
对于Dirac方法n ，由(1)式，与 ‘相应的正
则共轭动量为
㈦． (6)
因为o ( )中不含拿，从(6)式不能解出毒，于是可得
Dirac方法中体系的初级约束
=
P。一0。( ) 0， (7)
其中“ ”表示弱等于零．
在相空间( ‘，P )中， ‘，P 间的基本Poisson括
号为
{ ‘， }=0， {P。， }=0，
{ ，PJ}=一{PJ， }= ． (8)
初级约束 (略去上标0)之间的Poisson括号为
{ ， }={P ，一o ( )， ，一o ( )}
：
ai
a ‘
一 a ： ． (9)
与一阶拉氏量(1)式相应的正则哈密顿量为
日 ( )=P。拿 —L= V( )． (10)
所以体系的总哈密顿量为
日T= 日 +M‘ = V( )+M‘ 。， (11)
其中／2, 为与约束 相应的拉氏乘子．由初级约束
的自洽性条件
。
=
{ ，H }= { ，V( )+ ，}=0，(12)
可得
= ．
体系的正则运动方程为
拿‘= ，H }= ，
= u
j{ ‘，P，一aj( )}= M ，
P．={P ，H }= {P ，V( }+uj{P ，
a ( ) a
一
+ ‘
由(13)和(14)式，可得
(13)
(14a)
一
0j}
(14b)
‰ = ． )
(15)式与(3)式相同．这就证明了FJ方法中的运动
方程与Dirac 7Y~-致．此时并不要求辛矩阵( )
司逆．
3．约束的对应关系
当辛矩阵( )奇异时，由初级约束 的自洽性
条件导致的(13)式解不出所有的拉氏乘子／2, ．设辛
矩阵( )的零模为 (a=1，2，⋯，m)，即
( ) f=0， (16)
由(13)和(16)式，得
：
(v ’) 鱼 ：(v ’) 鱼 =0
d 芒 a C
(口= 1，2，⋯，m)． (17)
由(3)和(16)式，也有
n：：(v ’) 鱼 ：(v ’)j鱼 =0
a芒 a C
(口=1，2，⋯，m)． (18)
将以上各量加上上标(0)，以表示各量的初始值(后
面也如此)．从(17)和(18)式可知，FJ方法求得的第
零级约束1-2<o~’就是Dirac方法中的次级约束 ．
求出第零级约束后，按照辛算法 ，将n ’乘
以拉氏乘子(辅助场的时间导数) ，再加到一阶
拉氏量(1)式的正则1形式部分中，并令辛势 中
约束强等于零，得到第一次迭代后的一阶拉氏量
“ 为
n’
： 0
∞( ’)毒 h+n 一Vn’( ’)，
(19)
其中
‘ ’( ‘。’)= ‘。’( ‘。’)I n(D】
： 0 ．
引入辅助场后，体系的辛变量扩充为
‘ ¨
：
{ ‘。¨，2< o’}． (20)
“ 可写为
‘”
： 0
’( 佃’)拿n¨ 一Vn’( 佃’)， (21)
其中
0
”( ‘∞)： 0 ∞( ‘∞) (i= 1，2，⋯，n)，
0
"( 佃’)=1-2<。
o’( 佃’) (i= n+1，⋯，n+m)．
(22)
与 ‘ ’和 ‘ ’相应的运动方程为
㈣ Ⅲ
： ，
(23)
其中第一次迭代后的辛矩阵／”的元素为
))= 一 ． (24)
如果／"正规，则就可以用／”之逆进行正则量子
2096 物 理 学 报
化，辛算法结束．如果．，‘”仍然奇异，设其零模为
( )(卢=1，2，⋯，m )，m，为 ”的零模数，结合运
动方程(23)，可得FJ方法中第1级约束为
㈨)： ( ㈤ ：0
( = 1，2，⋯，m，)． (25)
求出FJ方法中第1级约束后，再按辛算法对其进行
处理，这样不断迭代下去．直至Ⅳ 步，这时会出现两
种情况：1) 肿正规，辛算法停止；2) 奇异，又无
新的约束出现，这时需选规范条件．现在讨论情况
1)．此时，FJ方法中辛算法求得的各级约束为
( )， ( )，⋯， ： ”( )．(26)
共有Ⅳ 级约束．其中因为． ∞只是 ‘。’的函数，其零
模也应只是 ‘。 的函数， = ( )，V‘。 也只含
‘。
．
所以，从(18)式求出的第零级约束 ’也只含
，
n =n ( )．由(24)式求出的 ”也只含
‘。’
，
其零模 ’因此也应只含 ‘。 ．
第Ⅳ 次迭代后的辛变量集为
‘ ‘
：
{ ‘。 ‘， ， 1 ，⋯， ： 一”}， (27)
其中 为与第 级约束 相应的辅助场，第Ⅳ
次迭代后的一阶拉氏量 ’为
‘
： 口
∞( (0 )拿(0h+ ( (0 )
+ ( ) +⋯
+ ：N-I)~( N-I)一V‘ ( )
：口 ( ‘。 )拿‘ H—V‘ ( ‘∞)， (28)
其中第Ⅳ次迭代后的正则I形式的分量为
⋯● 一
●
n
j 川( )= ( )．
第Ⅳ 次迭代后的辛矩阵 的矩阵元为
日 =日 +u‘ ?=V( )+u ?， (33)
其中u 为与约束 ：相应的拉氏乘子．由初级约束
?的自洽性条件 ?=0，得
： ．
(34)
当辛矩阵
． ∞奇异时，由上式解不出所有的拉氏乘
子u‘，可得出次级约束为
。 )： ： ( ：0
(a= I，2，⋯，m)． (35)
可以看出，Dirac方法中的次级约束就是FJ方法中
的第零级约束．根据Dirac—Bergmann算法，次级约束
( ’)的自洽性条件又有可能导致新的次级约束
( ‘。 )： ( ‘。 )： { ( ‘∞)，H }
： ：
z
“ “ —
： 0． (L 36)
由 ( ‘。 )的自洽性条件，又有可能导致新的次级
约束．这样Dirac．Bergmann算法不断进行下去．直至
“( ‘。’)是已求出的约束的线性组合，即再也求不
出新的约束为止．这样，在Dirac方法中求出(1)式描
述的系统的各级约束为
( ‘。 )， ( ‘。 )，⋯， ：( ‘∞)． (37)
现在证明FJ方法中各级约束就等于Dirac方法中相
应的各级约束，即
( (0 )： ( (0 )，
( (0 )： ( (0 )，
"( )： ：( )， (38)
且z=N，即FJ方法中的约束个数等于Dirac方法中
的次级约束个数，辛算法求出的各级约束与Dirac一
(29) Berg眦 n算法求出的相应的各级次级约束不仅相
等，两种算法的终止条件也相同．从(35)式可知
／ c ‘。 )： 一 ，c3。)
下面证明
‘∞
=
‘。
，
( )正规时，辛算法结束．正则量子化规则为 ( ‘。 )： ( ‘。 )，
[拿 ¨，拿㈨ ]=i ( )： ． (31)
第Ⅳ 次迭代后的辛变量集 ’和一阶拉氏量L ’所
描述的体系等价于原来 ‘。 和 ‘。’所描述的体系．
这是辛算法的观点．
在Dirac方法中，(1)式所描述的一阶拉氏量体
系存在初级约束
=
P。一n ( )一0． (32)
体系的总哈密顿量为
因为在方程(13)的n个方程中已经包含了m个不
含拉氏乘子u‘的约束方程(35)，所以可在方程(13)
中令约束 ( ‘。’)强等于零，这类似于辛算法对
约束的处理，从而得到剩余的n—m个关于u 的独
立方程(外加m个 ( )I ㈤：。=0，即0=0，对
u‘的解无影响)
： ．
(39)
、 、，
0 0
／ ● ＼ ／
∞ n ∞ 。
= =
) )
∞ ∞
( (
(黜 n (舍 §口 。
7期 隆正文等：约束系统量子化中Dirac方法与Faddeev．Jackiw方法的等价性
“
(1)
““
：= l 一 ao丽o~) “]Jl =l a 0J]l
：
一 a ‘ ) ．’ (41)
解出所有的拉氏乘子u ．设／D的零模为 ( )
(卢=1，2，⋯，m。)，m。为／”的零模数，结合方程
))_( =0
( )= ( )．
；： ；：{ ( 。 )，日 }：u‘
=u —— 万『．一=： U ·． (4斗3j )
△ =
。) a
⋯
a ：
一
a ‘0 i — a ‘0 i
a
a 。
⋯
0
a ：
a i。j
而由(30)式可知／ 为
( ‘。 )的个数．利用第二次迭代后的辛矩阵
．
，‘
的矩阵表达式，类似于
( )= ”( ∞ )
的证明，同样可以证明
( ∞ )= ；( ∞ )．
如此不断继续下去，就可以证明FJ方法中的各级约
束等于Dirac方法中相应的各级次级约束．直至辛矩
阵／M正规时，FJ方法中求不出新的约束，同时
Dirac方法中所有的拉氏乘子u 都可解出，也不会
导致新的次级约束．辛算法与Dirac．Bergmann算法
同时结束．
由以上的证明可知，FJ方法中各级约束是系统
的运动方程导致的约束，是Lagrange约束，而Dirac
方法中初级约束是由拉氏体制转换到哈氏体制过程
中出现的，是体制原因导致的约束．Dirac方法中次
级约束才是系统真正的约束，即由系统的运动方程
导致的约束，辛算法与Dirac．Bergmann算法有着类
似的更为深刻的本质．
4．广义括号与Dirac括号的等价性
当辛矩阵厂 正规时，求解Dirac方法中各级约
束间的Poisson括号组成的矩阵，A =({ ， })，
其中
。
=
( ?， ( ∞)， ( 。 )，⋯， ：( ∞))．
(45)
利用(9)和(38)式，得
一
an ~
o
~)
丽
a Ⅳ。’
a 川
一
a ‘o ‘
0
(46)
物 理 学 报
／ =
an
a ‘。j
a ! 。
a ‘。’
a a '1
一
丽⋯一 丽
0
(47)
比较(46)与(47)式，可知△一=( )一，因而Dimc
方法中各级约束为第二类约束．对只含第二类约束
的系统，可引人Dirac括号
{F，G}。= {F，G}一{F， }△ 。{ ，G}，(48)
其中 指标取遍所有的约束．辛变量 ∞ 之间的
Dirac括号为
{ ‘， ，}。：一{ ‘， }△=f { ?， }
=
△ = ( )
=
{ ‘。 ， ‘。 ，} ． (49)
于是证明了辛变量之间的广义括号和Dirac括号等
价，因而两者的正则量子化规则也相同，但用辛方法
更简单．
当辛矩阵． 奇异时，且所有的第，v级约束
n -0，需对每一个恒等于零的约束引人规范条件
A。( 佃’)=0，规范条件应满足
0
然后再用 ¨”的逆进行FJ正则量子化
≠ 0， (50)
在Dirac方法中，由(46)和(47)式，有
det I{ 。， }I：detA=det厂 ：0， (51)
这表明不是所有的约束都是第二类约束．设△ 的零
模为v：(1D=1，2，⋯，m )，m 为△ 或 M的零模个
数，则所有约束 可线性组合成第一类约束
。
(v：)。．对每一个第一类约束 。(v；)。(1D=1，2，⋯，
m。)也引人规范条件A ( )=0，此时体系的所有
约束(包括规范条件)为
： ：( ．，A )． (52)
在Dirac方法中规范条件应满足
a以。
一
a
0
=
de 肌” ≠ 0
．
(53)
这个要求与FJ方法的要求(50)式一致．引人规范条
件后，／¨”≠0，又变为第一种情况．而第一种情况，
本文已证明这两种方法等价．
5．结 论
本文已对FJ和Dirac方法的等价性进行了证
明．FJ方法计算量少，不需区分初级约束与次级约
束以及第一类约束和第二类约束，几何意义明显，也
没有Dirac猜想这样的假设．它进行量子化只需对矩
阵求逆．因而用它来对约束系统进行量子化可以避
免Dirac方法的一些缺陷．
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束系统及其对称性质(北京：北京工业大学出版社)第314
页]
⋯
7期 隆正文等：约束系统量子化中Dirac方法与Faddeev—Jackiw方法的等价性 2099
Equivalence of the Dirac method and the Faddeev．Jackiw method
in the quantization of constrained systems
Long Zheng—Wen )十Liu Bo2) Li Zi
—
Ping2)
”(Department ofPhysic~，Guizhou University，Guiyang 550025
，
C臃M)
(Department ofApplied Physics＆ ，lg Polytechnic University，＆ ，lg 100022， W)
(Received 25 April 2003；revised manuscript received 24 September 2003)
Abstract
We have discussed the Dirac method and Faddeev—Jackiw method in she quantization of constrained systems
．
The
equivalence of motion equation and canonical quantization in the two methods has been proved，and also the COn．esp0ndence
relation of constraints found．
Keywords：Faddeev—Jackiw method，dirac method，constrained systems，canonical quantization
PACC：1110E，0420F
Proj~t 8upported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No．10247009)，and the Natural Science F0undad0n 0f Guiz}lou Province
。
China (Grit No．20013024)．
tE-mail：longshc@ hotmail． corn
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