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“OCPASchool’06Yangzhou”Lecture TD1-4 7/27/06
粒子橫向運動線性動力學
簡 介
An Introduction to Transverse Linear Dynamics
劉祖平
中國科學技術大學 國家同步輻射實驗室， 合肥 230029
一、引言——若干基本概念
§1.1 关于束流和粒子动力学
△何谓束流：本课程中，“束流”(Beam)指由大量运动状态十分相似的带电粒子组成的
粒子流。这些粒子的动量P
r
(包括能量和运动方向)几乎相同，空间分布也很集中，正在作基
本上整体有序的运动。
几个“要件”：一，带电粒子，对于同步辐射(以下简称SR)光源，多半指电子。二，
大量，一般达到约1010 个的量级。三，十分相似或整体有序，下文还要解释，粗略地说，
如果作热运动的粒子群可比喻为市场上的人群，束流就好比整齐行进中的军队。相似程度越
高，我们说束流的品质越好，“理想程度”越高，“热运动温度”越低。
束流是物质的一种特殊形态。它当然不同于气体、液体、固体、等离子体等常见的物质
形态。虽然大自然也造就了粒子射线，其强度和品质远远无法与加速器形成的“人造”束流
相比，可谓“巧夺天工”。本课程谈到的束流都是人造束流。它是人类为了在物质结构的深
层或曰微观世界认识自然、改造自然而创造的武器。
△何谓粒子动力学：以束流为研究对象的物理学分支名为“束流物理学”，与诸如凝聚
态物理、等离子体物理、基本粒子物理等并列，有时较宽泛地称为加速器物理学。束流物理
学的基础是束流中的粒子在一定的电磁场作用下运动的规律，称为粒子动力学。
本课程讨论的横向粒子动力学不关心粒子能量的变化，而侧重于如何以电磁场约束粒子
的横向轨迹，使束流按使用者的要求传输或满足其他要求。此部分常称为“束流光学”(Beam
Optics)，原因是：束流的运动规律与光的传播规律相似，人们对束流运动的要求与设计光学
系统时对光束的要求也相似。“电磁透镜”、“色散”等看似古怪的名词由此而来。
所谓“线性”，指：只考虑“不理想状态”的标志的一阶量，下文还要解释。
束流光学的基础物理知识包括经典理论力学、电动力学和狭义相对论。
常用数学工具有：微积分、微分方程求解、线性代数方法(在线性近似下描述粒子运动和
状态的分布)、复变函数论和数学物理方程(描述场)。
△理想粒子和任意粒子：“理想粒子”是一大群彼此十分相似的粒子的“代表”，它
的状态是理想的。其他所谓“任意粒子”的状态则与理想粒子有差异。
何谓粒子的状态？就本课程而言，每个粒子可视为“质点”，因为不必考虑其自身的构
造和量子力学效应，并认为其尺度远小于粒子之间的距离。在三维实空间中，根据理论力学，
单个粒子的状态应该用三个位置坐标和动量的三个分量表示，共六个自由度。粒子的状态、
与理想粒子的异同用6 个变量形容。粒子运动时，状态随时间t 变化。
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理想粒子总处于“理想状态”：经过理想的位置，具有理想的动量，(假定外加电磁场
也是理想的，)所以一直走在理想的轨道上。加速器设计的第一步是确保理想粒子将按设计
者的愿望运动。理想粒子的运动规律简单易知。比如合肥的HLS(Hefei Light Source)环，用
12 块各弯转30 度圆弧的磁铁加上两两之间的直线段构成环形，要让能量为800MeV 的理想
电子沿此轨道运动，略有普通物理知识就能完成必要的计算。
然而，“不太理想”、也“不太不理想”的任意粒子呢？我们知道，绝大多数粒子的状
态多少有些不同于理想粒子。另一方面，作为束流家庭的一员，任意粒子的不理想程度应该
足够小。
与理想粒子稍有差异的粒子如何运动？其运动是否受到足够的约束，或者说是否稳定？
笔者称这个问题为束流物理学的“第一基本问题”。
§1.2 关于粒子的坐标
△坐标系和不理想程度：为了观察、描述粒子的运动，需要建立坐标系，它是粒子表
演的“舞台框架”。
本课程采用“曲线正交坐标系”，坐标原点总是固定在理想粒子身上，随束流一起运动。
所以，坐标原点是沿着理想粒子的轨道前进的。该轨道称为理想轨道或参考轨道，一般由直
线段和圆弧段组成。按最常见的情况，我们假定理想轨道位于同一个水平面上，该平面称为
轨道平面，也叫弯转平面。等效的说法是：假定理想粒子所有的弯转都是水平弯转。
坐标系的三个坐标轴相互正交。本课程中，z 轴总是沿着理想轨道或其切线，指向理想
粒子前进方向，在前为大；x 轴在水平面内，与z 轴垂直，指向“环外”，在外为正；y 轴
垂直于轨道平面，在上为正(见图1-1)。有了坐标系，任一时刻，某任意粒子的位置可由x, y,
z 三个坐标变量标志。它的动量的三个分量也有了明确的含义。一定意义上，三个动量分量
分别标志三个位置变量的瞬时变化率。
图1-1 曲线正交坐标系
因为理想粒子总在坐标原点，坐标变量及其变化率的大小是单个任意粒子的不理想程度
的定量表述。
研究粒子运动时，我们始终关心它的坐标变量的大小和变化规律。此时可把上述坐标系
想象为一辆“过山车”，我们坐在其中心即理想粒子的位置上，看着身边的其他粒子相对于
我们如何运动，外偏还是内移、升高还是降低、超前还是落后。我们希望它们不会渐行渐远，
最好是在我们周围来回振荡。要注意的一点是，因为这辆车在行进，有时还走在弯曲的轨道
上，我们之所见可能与在实验室坐标系中看到的有所不同。
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△纵向坐标：z 轴即理想粒子的前进方向称为纵向。纵向不理想程度用两个量描述：与
理想粒子的纵向位置差和动量差。
纵向就是束流整体的前进方向。束流全体成员的动量应基本都在纵向，用近似式表述，
即：任意粒子的 Pz≈P, 或 vz≈v＝βc。此处的P 指粒子总动量，v 指粒子速度，下标z 表
示z 向分量，β是v 与光速c 之比。若非如此，粒子将分道扬镳，不成其为束流。
任意粒子的纵向动量差大致就是总动量差，它与理想粒子动量Po (即束流的标称动量)
之比应该是绝对值很小的数。定义动量相对偏差δ：
δ＝
o P
ΔP
＝
o
o
P
P −P
(1.1)
为纵向动量不理想程度的标志。当然也可以用能量差或速度差，对于速度接近光速的相对论
性电子，相对能量差可认为等于相对动量差，速度差则太小了。
纵坐标z 通常用来标明理想轨道上一点的位置，数值是从某“起点”沿理想轨道量到该
点的路程长度，单位一般用m。笔者喜欢用zd 标志纵向位置不理想程度，它是任意粒子对
理想粒子的纵向相对位置，单位是mm 或cm，在前为正，它也不会很大。只有当束流经过
随时间快速变化的场例如高频腔的时候，zd 的不同才有意义。也有人用时间差或相位差标
志纵向位置差，前者用到粒子经过某点的时间，后者用到粒子到达交变电磁场时该场的相位，
它们与zd 只差一个确定的系数(请注意时间差的符号与位置差相反，后到为正)。
纵向不理想程度的变化称为纵向运动。
△横向坐标：横向指与z 轴正交的方向，包括：x 方向，指粒子偏外或偏内，又称水平
方向；y 方向，指粒子偏上或偏下，又称垂直方向。两个横向共四个状态参量。一般情况下，
两个横向相互独立，例如x 坐标的大小并不影响y 坐标如何变化，可以分别研究。
理想粒子的横向坐标值和横向动量恒为零，所以粒子的横向坐标及其变化率标志它的横
向不理想程度。其变化谓之横向运动。
为行文简洁，不特指某个横向时，本课程常用u 代表x 或y。
任意粒子的u 是它的横向位置偏差。Pu 是横向动量偏差。当Pu 不为零时，粒子的飞行
方向与理想轨道之间有一个夹角，u 有变大或变小的趋势。研究横向运动时，我们常关心粒
子的轨迹u(z) ，也就是以轨道位置z 为自变量、粒子横向坐标u 如何变化的规律。加速器
物理文献多用 ' 代替 d /dz ，即对z 的微商。u' 是u 沿前进方向的变化率。
u' ＝
dz
du
＝
z
u
v
v
＝
z
u
P
P
(1.2)
本课程用u 和u' 作为u 方向标志不理想程度的两个状态参量。u' 是绝对值不大的数，
与Pu 大致成正比，其数值等于粒子轨迹与z 轴的夹角的正切，因为该角很小，可看作就是
该夹角，单位为mrad (毫弧度)。u' 也是粒子轨迹在u 方向的斜率，文献中有时称为粒子的
运动方向(相对于理想粒子，向外或向内、向上或向下)。
§1.3 关于相空间
△相空间：理论力学用“相空间”作为研究质点状态的工具，它用状态参量，即位置和
动量(或与之相关的量，如u'、δ)为坐标轴。对于我们研究的三维空间质点运动问题，完整
的相空间是六维的。这样的空间当然只存在于学者的想象中，用于状态即所谓“相”的变化
的理论分析。为区别起见，仅以位置为坐标的空间称为“实空间”。本课程中，六维相空间
的6 个坐标分别是：x, x' , y, y' , zd 和δ。
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显然，任意粒子在某时刻的状态对应于六维相空间中的一点。当粒子运动时，状态随时
间变化，该点就在相空间中移动，称为“相运动”。多数情况下这种移动是连续的，偶尔也
会“跳跃”，例如受到某冲量作用时，粒子位置不变，动量发生跃变。若粒子通过一段距离
或若干元件，其状态从某个“初态”变换到另一个“终态”，它在相空间中的对应点从一点
移到另一点。用数学语言，叫做粒子的运动等效于相空间中的一个单值变换。
假定电磁场是“理想场”，无论束流走到何处，理想粒子的6 个状态参量恒为零，总是
与原点对应。所以相空间的变换保持原点不变。
高维相空间可以分解成或称为“投影”到较低维数的“子相空间”，常用的子相空间大
多是二维或三维的，我们这些生活在三维实空间的凡人就比较容易想象和用图形描画了。
关于各状态参量的单位，笔者习惯上三个位置皆用mm，两个角度即u' 用 mrad，动量
相对偏差δ则用千分之一(10－3 )。优点是许多计算公式可直接代入，不必换算单位。
横向运动相空间用的四个状态坐标是位移或斜率，都是粒子轨迹的几何参量，笔者称之
为“几何相空间”，以区别于“物理相空间”，后者的坐标是位置和动量，如u 和Pu 。SR
光源中束流能量不变，用几何相空间比较方便。物理相空间适于处理更复杂的情况，例如当
束流被加速时。
△相空间中的束流：引入相空间的目的之一是描述束流整体的状态和运动规律。
束流包含大量粒子，在相空间中对应于许多点集合而成的点群，其中当然应包括原点。
每个点到原点的“距离”大致标志对应的粒子的综合不理想程度。大多数点应该围绕在原点
附近，离得太远的粒子是理想程度最差、最可能丢失的。事实上，SR 光源中的束流在相空
间对应的点群满足一定的统计规律，其分布没有明显的边界线，而有大致以原点为核心、从
内向外、由密而疏相差悬殊的密度分布，基本上表现为高斯分布。
我们可以研究这个点群的质心，求出它的六个状态坐标，它们标志着束流中心的不理想
程度，也就是平均不理想程度。我们往往更关心点群的“不一致性”，意思是它在相空间中
的分布范围宽或窄。统计学经常需要描述这种性质。令符号＜f＞代表对束流中全部粒子的
某一参量f 求平均，σf 代表该参量的“标准偏差”或“均方根(rms)值”，定义式：
＜f＞＝ Σ f
Ne
1
(1.3)
σf ＝ < ( f −< f >)2 > (1.4)
式中Σ表示对束流的全体电子的f 求和，Ne 是电子总数。
所以，＜u＞是束流中心的轨道偏移，＜u' ＞是束流中心的方向偏差，＜δ＞是束流的
平均动量相对偏差。式(1.4)则描述了束流包络、发散角、发射度、动量分散、束团长度等一
类物理量的含义，分别说明如下：
包络(Envelope)σu ，代表u 方向束流分布的尺度。该词本义是束流横截面最大半径，
但这个解释对高斯分布不合适，不妨理解为“典型半径”。σx 和σy 分别称为束团的(半)
宽度和(半)高度(“半”字常省略)。
发散角(Divergence)σu ' ，代表u 方向粒子轨迹(半)张角的大小，可理解为束流继续前行
的发散趋势。
发射度(Emittance)εu ，是描述束流横向性质的重要物理量。它综合描述u 和u' 的分布，
正比于u 方向的二维u-u' 几何相空间中的束流集合所占的大致“面积”。该词本义来自对
光源发光特性的评价。二维相空间发射度的单位是m rad (米弧度)或其派生单位，如mm mrad
(毫米毫弧度)和nm rad (纳米弧度)。发射度之所以重要，一是因为理论上它在束流传输中是
不随位置变化的常数；二是根据其定义式，它总满足下式后半部的不等式：
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εu ＝ 2 2
'
2 −< (u−< u >)(u'−< u'>) > u u σ σ ≤ σu σu (1.5)
当我们对束流横向运动加以约束时，往往希望其包络和发散角足够小。这一愿望受到了
不等式(1.5)和εu 是有限不变常数的限制。例如欲得到“平行束”，要求发散角小，则包络
必大；欲“聚焦于某一点”，包络要小，发散角又必大，正是“鱼与熊掌不可得兼”。这种
位置与动量的不确定度的关系颇相似于近代物理的“测不准原理”。
动量分散(Momentum Spread)σδ，代表束流动量相对分散的程度，也写作σP /Po 。对相
对论性电子，它等于相对能量分散(Energy Spread)，简称能散。
束团长度(Bunch Length) zd σ ，习惯上写作σz ，代表束流中一个束团的(半)长度。
以上这几个量描述粒子群作为一个集体的不理想程度，或者说不一致性，代表多数粒子
的某种分布宽度。这些量越小，说明这群粒子的状态相互差异越小，或者说束流的相密度越
大，品质越高。
束流运动时，它对应的相空间点群作集体的相运动，其分布状况和一些参量，比如束流
中心轨道偏移、包络、发散角，可能随之变化。相空间概念和束流整体相运动的图像是粒子
动力学的重点之一。
§1.4 关于粒子运动方程和常用假设
△粒子运动方程：带电粒子的6 个状态参量随时间t 的变化规律服从洛伦兹公式和位置
-动量关系，恰好6 个方程(一个向量方程相当于三个方程)：
dt
d P
r
＝Ze (E
r
＋ vr
×B r
) (1.6)
P r
＝ mvr
＝m
dt
d rr
(1.7)
式中Z 是粒子带的电荷数，其他符号皆为物理学常用符号，不加注。
如果电磁场是已知的，粒子运动方程可解。数学上，方程有无穷多解，初始状态与之结
合便得定解。或者说，对于粒子的任一初态，运动方程唯一地确定了任何时刻的粒子状态。
根据这些方程，已知的电磁场给定了前文提到的相空间单值变换。
利用式(1.7)，粒子的动量或其等效参量可表示为位置参量的某种一阶导数。代入式(1.6)，
将电磁场写成位置的函数，粒子运动方程是位置参量的联立二阶微分方程，揭示位置的二阶
导数依赖于轨道位置z 和粒子状态(位置及其一阶导数)的变化规律。特别，处理横向运动时，
一般消去t，以轨道位置z 为自变量，方程变成轨迹方程，方程的解描述横向坐标u 如何随
z 改变，称为粒子的轨迹。
我们希望纵向和两个横向的运动能分开处理，“分而治之”。三个方向之间若有关联，
称为耦合(Coupling)。一定条件下，粒子运动可以是无耦合的，不同方向的变量彼此无关，
数学上表现为运动方程可完全分离变量，联立方程简化成独立的单变量方程。有耦合时，不
同方向间的不理想程度互相影响，相空间的分布亦彼此相关。
因为相对动量δ不同，粒子横向轨迹往往有差异，这种耦合称为“色散”。此词来自光
学，得名于光子能量与颜色的关系以及异色光通过媒质时散开。束流运动一般有色散。
△常用假设：处理粒子运动方程时，我们将用到束流物理学的几种常用假设。在此预加
说明，以便读者了解有关公式成立的条件和局限性。
其一，小量假设。假定粒子的不理想程度如u, u' 和δ都是小量，其高次幂可以忽略。
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如果略去二次以上项，只考虑不理想程度的一次项，称为“线性”假设，相应的粒子动力学
研究称为线性动力学理论。例如，因为
P＝ 2 2 2
z x y P + P + P ＝Pz
1+ x'2 + y'2 ＝Pz ( 1＋
2
1
x' 2 ＋
2
1
y' 2 ＋ …) (1.8)
我们不区分P 与Pz 的根据就是线性假设。采用线性假设时，因为诸如xy, xy' , xδ等项都被
略去，除了色散之外不存在其他耦合，特别是x 方向与y 方向之间没有耦合。
其二，单粒子假设。假定粒子相互间、束流与环境间的作用远小于外加场的作用，予以
忽略。粒子的行为如同它是单个粒子，在外加电磁场约束下只身旅行，对束流中的大量粒子
伙伴视而不见。
其三，理想场假设。假定外加场完全符合设计要求，忽略其“缺陷”；有时还对之作利
于数学处理的简化，即使实际情况必不尽然。典型的例子如“中平面假设”和“区间常数假
设”。前者假设水平弯转平面是磁场的对称面，磁场在该平面内只有By 分量。而后者假设
磁场的参量在元件有效区间内是常数，只在元件边界跃变。
其四，微扰假设和冲量假设。有时，例如要分析磁场缺陷的影响，某个通常予以忽略的
因素不宜忽略，则一般借助这两个假设处理。前者假定该因素也可视为小量，运动方程原来
的解基本照旧，仅需要在该因素的“微扰”下加以不太大的、与该因素“强度”大致成比例
(线性)的修正。后者则假定该因素可当作只在短时间或短距离内起作用的“冲量”，将其影
响“浓缩”于一点，粒子的动量在此有跃变，而位置不会骤然改变，所以轨迹可能有折转，
但保持连续。
如果这些假设(主要是前三个)皆成立，粒子运动方程就简单了。用数学语言形容：方程
只含变量(及其一阶、二阶导数)的一次项，所以是线性方程；方程基本上无耦合项，所以是
单变量方程；方程的常数项为0 (理想场、单粒子假设成立，理想粒子各状态参量恒为0，所
以变量恒等于0 必定是方程的一个解)，是齐次方程。
△粒子运动方程有稳定解的条件：总之，采用前述假设，粒子运动基本方程一般可以
简化为单变量的齐次线性二阶微分方程。以X 代表变量，方程标准形式是：
X'' ＋A X' ＋F X ＝ 0 (1.9)
式中系数A 和F 可能是常数，也可能是随轨道位置z 变化的参量。熟悉高等数学的读
者应知道常系数二阶线性方程如何求解和解的形式。在下文就具体方程进行深入分析之前，
先对此式略作抽象的评论：
X＝0 是方程的一解，称为X 的平衡位置或理想状态。
若系数F 或其某种平均值大于0，X'' 常与X 异号，说明每当变量X 偏离平衡位置时出
现“矫正力”，运动有稳定的围绕平衡位置的振荡解，与三角函数类似，X 保持有限。系数
F 确定振荡的频率，振幅和相位则由初始条件决定。若F≤0，没有矫正力或反有“助推力”，
X 必将趋于无穷，运动是不稳定的。
若系数A 或其某种平均值大于0，X'' 常与X' 异号，说明存在与运动速度相反的耗损
性阻滞力，运动的振幅有负指数函数衰减因子，振荡渐趋消亡，X 向平衡位置收缩。系数A
确定衰减的快慢。若A＝0，振荡不衰减，长期维持。若A＜0，振荡不断增强，振幅越来越
大，运动也不稳定。
其实这种稳定性判据的适用面极广。世间悠悠万物，只要能保持相对的稳态，无论一位
走钢丝的人、一座建筑物、一台电子学仪器、一个经济体系，都能列出类似式(1.9)的“运动
方程”，在一定范围内满足上述稳定性条件。加速器的粒子运动也不例外。至此，原则上，
前述束流物理第一基本问题已经不难解答。我们必须使粒子运动基本方程中的系数(也许在
某种平均或积分的意义上) F＞0，A≥0。
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粒子动力学线性理论承认前述假设，前人已经研究得很透彻，不仅运动方程显得简洁、
标准化，而且有形式完美的解。
真实的世界总比经过简化的理论复杂，也更丰富多彩。加速器工作者常常不得不考虑，
实际上前述假设并不严格成立：高阶项的影响若不能忽略，称为“非线性效应”；耦合存在，
不同变量之间相关；场不尽理想，常数项不为0，束流中心轨迹与参考轨道并不重合，称为
“轨道畸变”；较强的束流产生的场不可忽略，其作用称为“空间电荷效应”或“束流不稳
定性”；等等。这些正是学者深入研究的课题。
二、粒子横向运动的基本方程
§2.1 预备知识
△再看坐标系：上一章介绍了本课程所用的坐标系的大致情况，请再看图1-1，注意该
坐标系在某一点zo 附近的细节。
坐标系的z 轴是理想粒子的轨道，它可能是曲线。轴上的zo 点是理想粒子必经之点。
考虑一般情况，理想粒子轨道在这里的曲率不是零，或者说z 轴在该点的曲率半径ρ不是无
穷大。本课程假设所有弯转平面都是水平面，x 轴指向环的外侧，所以此处参考轨道圆弧的
圆心O 点在x 轴负方向，到zo 点的距离为ρ。在zo 点，三个坐标轴的元向量的取向分别是：
z er
沿z 轴的切线指向前方； x er
沿其法线指向外侧， y er
则垂直于弯转平面指向上方。三者是
“正交”的。假设图中任意粒子的坐标是(x，y，zo )，zo 点是粒子在z 轴上的投影(此时的三
坐标轴交点)，则以空间中某点为参考点(向量原点)，该粒子的位置向量是：
rr
＝ o rr
(zo )＋x x er
＋y y er
(2.1)
式中 o rr
(zo )是zo 点的位置向量。
这个坐标系的特点是：有弯转时，坐标轴元向量z er
和x er
不是常向量，所以运动方程的
形式与一般直角坐标系下不同。当“自变量”z 有微小增量dz 时，粒子的z 坐标或“影子粒
子”沿z 轴向前移动，同时坐标系的x 轴和z 轴皆旋转一小角度dφ＝dz /ρ。
写成关系式，是：
d o rr
(z)＝dz z er
，d x er
＝dφz er
，d y er
＝0，d z er
＝－dφx er
(2.2)
或者，各个向量对自变量z 的微分(符号 ' 代表对z 微分)是：
( o rr
(z))'＝ z er
，( x er
)'＝
1
ρ z er
，( y er
)'＝0 ，( z er
)'＝－
1
ρ x er
(2.3)
式(2.1)到(2.3)是这个曲线正交坐标系的特征的数学语言表述，它描述的空间有些“弯
曲”。该特征在对粒子横向运动的分析中频有表现。
△粒子的速度：在这样的坐标系中，任意粒子的速度有何特点？
机械地利用上述公式和符号~v z ＝
dt
dz
，就得到相应的运动学关系：
vr
＝
dt
d rr
＝
dt
d z
( rr
)'＝~v z [(1＋
x
ρ
) z er
＋x' x er
＋y' y er
] (2.4)
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v＝~v z [(1＋
x
ρ
)2＋x' 2＋y' 2 ]1/2 ≈~v z (1＋
x
ρ
＋
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