结构化学中碰到上图所示的波函数，实数解和复数解是怎么联系到一起的，ψ211与ψ21-1的轨道波函数怎么写呢？请高手给予解答，thx!
提问者采纳
2012-12-16 01:42
你这问题好早以前就看到了，只是嫌麻烦不想回答，貌似没人能搞定嘛…… 这是氢原子轨道的解，我实在不想把它完整打出来。。。 你随便找一本物质结构方面的书或者是量子力学的教材也行，解氢原子的薛定谔方程，都会有，这个是非常基础的东西。 首先这是一个2p轨道的波函数，那个py的意思是其轨道的对称轴是y轴， 氢原子波函数可以分解成径向和角向的，径向函数的解Rnl，n是主量子数，l是角量子数， 其角向的解释球谐函数Ylm，l是角量子数，m是角动量z分量， ψ211实际上就是R21乘以Y11，ψnlm就是主量子数为n，角量子数为l，角动量z分量为m的特征波函数。 径向方程的解本身是实函数，但是求解的球谐函数Ylm是有可能为复数的， 这里面Y11和Y1-1对应的球谐函数里面分别是-kexp（iΦ）以及kexp（-iΦ），你可以查数学的公式，前面的系数k=（√3／8π）sinθ， 显然-exp（iΦ）-exp（-iΦ）=-（sinΦ+iconΦ+sin（-Φ）+icos（-Φ））=-（2icosΦ）=-2icosΦ 这显是一个复数解。 但是我们知道，对于一个波函数，我们要对其进行归一化，同时，我们知道对于一个波函数，其乘以一个常系数不影响其解的概率分布情况。 因此，并不是解的本身是一个复数，而是我们习惯上是希望得到一个实数解，这里乘以一个常系数是不影响其波函数，但是通过除以i可以将波函数化成一个实函数，这是我们想要的比较方便的解。 当然，也可以从另一个角度来理解这个问题，曾谨言的《量子力学》书上有这样一个证明，如果一个函数是薛定谔方程的解，那么这个函数的复共轭同样是薛定谔方程的同一个本征值下的解。因此，如果一个薛定谔方程的解有复数，那么利用上面的关系，对同一个本征值的本征解及其复共轭求差，得到的仍然是该本征值的解，只是这个解是特征解的线性组合。这里py波函数就是p轨道特征解ψ211和ψ21-1的线性组合，由于其具有相同的本征值，所以这也是p轨道的一个解。当然实际上这里ψ211之类是以z轴来考虑的，因此得到的本征解是用z分量的本征解的线性叠加来组成，如果你考虑pz，那么就是一个本征解就可以表述了。（px、py、pz本质上是一样的，只是由于定义了方向，因此各自具有取向，你可以看看三者在空间的分布情况，是一样的。） 啰啰嗦嗦扯了好多，不知道你能看懂多少，希望对你有帮助吧~
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