近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写

．由于

近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写，因此，我们依照经典统计法中把整个力学系

统的运动状态用子相宇中N 个点的分布来确定的描述方法，引入{ {分布的概念去描写整个系统的状态

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第18卷第5期

 

2002年10月

商丘师范学院学报

 

JOURNAI OF SHANGQIU TEACHERS CoI I EGE

 

Vo1．18 No．5

October，2002

 

理想费米气体的热力学性质

 

尹 国 盛

(河南大学物理系，河南开封475001)

 

摘 要：用量子统计的方法讨论了理想费米气体的热力学性质，指出了费米气体在高温时趋于经典极限，在低

 

温时以一个有限的费米球存在

 

关键词：费米气体；热力学性质；状态方程

中图分类号：O414．2 文献标识码：A 文章编号：1008—2662(2002)05—0015—04

 

The thermodynamic properties of the ideal fermi gas

 

YIN Guo—sheng

 

(Department of Physics，Henan University，Kaifeng 475001，China)

 

Abstract：They are discussed from a viewpoint of quantum statistics．It is found that the ideal Ferm i gas tends tO

 

the classical limit at high temperature and exists in the way of a Fermi ball at low temperature．

 

Key words：fermi gas；thermodynamic property；state equation

 

1 问题的提出

 

假设一个粒子系统是由N 个粒子组成，这些粒子是全同的、不可分辨的，并且这些粒子遵从泡利不相容

原理，因而不能有两个粒子处于同一个动力学的态，整个系统的波函数必然是反对称的(满足所有这些要求

 

的粒子叫做费米子)．同时假设粒子间的作用可以略去，即认为这些粒子是整个力学系统的近独立子系．由于

 

近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写，因此，我们依照经典统计法中把整个力学系

统的运动状态用子相宇中N 个点的分布来确定的描述方法，引入{ {分布的概念去描写整个系统的状态，

 

即把能量为e的本征态的粒子数以 表示，而{ }分布满足Σ” =N，Σ” e=E，式中N是总粒子数，E

 

是总能量，E= p2／2m 是单粒子态的能量， =0，1

 

2 主要结果

 

为便于讨论．先引入巨配分函数

 

三(z，V，丁)=ΣzNQN(V，丁) (1)

 

式中Z：exp(一a)=exp(1~／kT)是易逸度，QN是正则系统的配分函数，在这里是确定的量，对理想气体有

 

QN(V，丁)=Σe一 =ΣwI }e一 ”t (2)

 

E

 

。

 

I

 

其中 ： 1／kT，W { }表示对应于{ }分布的态数

 

收稿日期：2001—12—04

作者简介：尹国盛(1955一)，男，河南淮阳人，河南大学副教授，主要从事热力学的研究

16 商丘师范学院学报 2002芷

 

= ㈥

将(2)、(3)两式代入(1)式有

 

三(z，V，T)=ΣzN[Σ e—p ]

 

N 0

 

，

 

l

 

这里第二个求和号加了一撇，表示在进行这个求和时，要受到Σ =N的限制．然而，第一个求和是对所有

 

可能的N 求和．这两个求和后的结果等于各 彼此独立地对所有可能的N 求和．

 

因为 z te—p,c =(Ze- ) =Ⅱ (Ze- ) t

所以 E(z，V，丁)：Σ[Σ II(Ze一 ) c]=II(1+Ze一 )． (4)

 

” 0

 

E

 

j e ‘

 

又因为Tds=d U+PdV一Σ fdn ，

5-1d[1nE+ (U一 )]=dU+Σz dz 一 d ．

 

将此二式比较并考虑到 = 、 = U —TS+PV，则有1n三= PV／kT，若令其恒等于Y，则

 

j，三lna： = _ln[Ⅱ (1+ )=Σln(1+ )． (5)

所以 N：z( ) =Σ[e +1 (6)

 

u：一(器)z，y=Σe[e +1 (7)

 

若体积足够大，粒子的能级将非常接近，(5)、(6)两式的求和可换成积分，再定义

 

(z)= ， 0≤ z≤ 。。， (8)

 

并引入表示由粒子“内部结构”而产生的权重因子j，—— 退化度，则有

 

= z(Z)，1

v = z(Z)． (9)

 

这里，一( )为伽马函数，z= ， =h[2rcmkT]一主，U = V／N．从(9)式中消去Z即可得到理想费米气体的

 

状态方程，这便是我们所要利用的基本公式，通过适当的运算，可得

 

内能

U = (3NkT／2)f5／2(Z)／f3／2(Z)， (10)

压强

P =2 u／3 V， (11)

比热

 

Cv= (3Nk／4)[5f5／2(Z)／f3／2(z)一3f3／2(Z)／f1／2(Z)]， (12)

自由能

F ： NkT[1nZ—f5／2(Z)／f3／2(z)]， (13)

 

熵

 

S = Nk[5f5／2(Z)／f3／2(z)一lnZ]， (14)

焓

H = (5NkT／2)f5／2(Z)／f3／2(z)， (15)

自由焓

 

= NkTlnZ， (16)

巨热力势

 

= ～ NkTfs／2(Z)／f3／2(Z)． (17)

Σ

 

p

—

 

e

 

Σ

 

Z

 

Σ

 

Σ

 

第5期 尹国盛：理想费米气体的热力学性质 17

 

只要求出Z ： Z( ，丁)，利用(8)式，并代入(9)～ (17)式，便司得出用粒子数密度 和温度丁表不的

 

状态方程及各热力学函数的具体值．

对于小z，可将(8)式积分中的被积函数展开为z的级数

 

(z)=z一厶蒡 +厶爹 ⋯⋯(18)

 

所以，当Z很小时，有 (Z)≈ Z．

当Z很大时，可引入变数t： lnZ，于是

 

』 ，

 

对于t很大的情况，有

 

F (￡)≈I xn-idx=tn／ ，

J 0

 

所以， (t)≈ ￡ ／r( +1)，

下面讨论两种特殊情况：

(1)高温和低密度情况( ／gV《1)

当气体的密度很低且温度很高时，粒子间的平均距离(V ／)比热波长 大得多，这时的气体为非简并

的，此时有f3／2(z)= ),3／gV《1，即Z《1，亦即当z一0时， (z)一Z，故可取(18)式的首项， (z)

= Z，通过运算便可得出

P = NkT，Z = na ／g，U ： 3NkT／2，P = NkT／V，Cy=3Nk／2，F ：NkT[1n(n2t Ig)一1]，S=

Nk[5／2一In(na ／g)]，H =5NkT／2， ：NkTln(na g)， =一NkT．

这些结果和经典结果完全一致．可见：Z一0的极限就是费米体系的经典极限．

如果参量Z虽比1小，但又不接近于零，此时只能借助于基本公式对Z的级数展开，并通过基本方程将

热力学函数对Z的幂展开式转换为以简并判据na 为宇量的幂展开式，这里不再赘述．

(2)低温和高密度情况( ／gV》1)

在这种情况下，粒子的平均热波长 比粒子间平均距离大得多，因此，量子效应表现显著，特别是泡利不

相容原理起显著作用，这时的气体为简并的．对(9)式中 (Z)可用渐近展开式．

㈩= [1+ ( 一1) 6

 

t2+ ( 一1)( 一2)( 一3 77r4

 

+．．⋯]， (19)

于是有

 

z)= (1nz) [1+等(1n +．．．．．．]， (20)

 

2(z)= (1nz) [1+ zr2(1

nz)一2+．．⋯]， (21)

 

j 4 It" u

 

f1／2(z)= (1nz) [ 一 zr2

1 ／ 2(z)= — (1nz)主[1 一 (1nz) 一 +⋯．．⋯⋯． (22)

 

将(20)～(22)式分别代入(9)～(17)式，只要注意函数乘积中应保留的幂次，就可得其具体表示式．在

 

实际应用中，多用 (丁)三志丁lnz来表示z，展开参量为志丁／￡F，取其一级近似为 =￡F[1一襄( ) ]，而

 

≈( )j 三eF为零级近似，称为费米能．则有

P= 2 F[1+等( ⋯．]' (23)

 

U

 

= 3￡F[1+箸( ⋯．]， (24)

一

 

Cv

 

一

 

~r

 

2

 

(k

 

￡

 

T1)

 

Nk 2 F ， (，2⋯) ￡ ’ 、-一，

18 商丘师范学院学报 2002正

 

H = ￡F[1+5

l

 

~

2

 

(k

 

￡F

 

T) +．．⋯(26)

 

(27)

 

(28)

 

： ￡F(1一n

 

．

 

2

 

，

 

(kT) ]

 

， (29)

』 l EF

 

1"2 ：一 ￡F[1+5

1

w

2

 

(k

 

￡

 

T ) +．．⋯]

 

． (30)

在(23)、(24)两式中令k一0即得基态结果．值得注意的是，在绝对零度下，理想费米气体的压强不为

零．而是P： 2 ￡ ／5，这是泡利不相容原理的结果．由于这一原理，只有一个具有零动量的粒子，其它粒子均

具有有限的动量，从而产生了“零点”压．由(25)、(27)式知，在很低的温度下，当丁一0时，C 一0、S一0，这

符合热力学第三定律．

总之，费米气体在高温时趋于经典极限，在低温下以一个有限的费米球存在．事实上，如果每个粒子占据

各量子态的“权力”是不相容的，那么，即使在绝对零度下，我们都不可能使它们凝聚于一个单一的量子态

中，最多只能让它们按能级(或量子态)分“权”，而且按“后来者居上”的方式逐一地堆积，直到堆完所有粒子

为止．因此，费米体系即使在绝对零度下，仍存在基态压强、基态能以及单粒子基态动量，总之，仍存在基态运

动．此外，费米体系在低温下将因粒子问对占据量子态的排斥效应，而显得更易于逃逸，因而逃逸度z可以大

于零，从而允许化学势 为正．并且，当丁一0K 时，熵S和比热Cy皆一致地趋于零，遵从热力学第三定律．

参考文献：

 

[1]王竹溪．统计物理学导论fM]．北京：人民教育出版社，1979．

[2]马本望，等．热力学与统计物理学[M]．北京：人民教育出版社．1981．

[3]费曼R P，等．费曼物理学讲义[M]．上海：上海科技出版社，1981．

[4]雷克L E，黄昀，等译．统计物理现代教程[M]．北京：北京大学出版社，1984

[5]章立源．量子统计物理学[M]．北京：北京大学出版社，1986．

[6]尹国盛，等．大学物理精要[M]．郑州：河南科技出版社．1997．

[7]赵凯华，罗蔚因．新概念物理学教程[M]．北京：高等教育出版社，1998．

 

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