由于描述费米子
的波函数具有反对称性，处在同一自旋态的两个费
米子不可能有3 波散射，因而通常反映其相互作用
低溫原子碰撞－兩個原子到分子的誕生－
psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/v27/367.pdf
弱相互作用费米气体的热力学性质!
苏国珍陈丽璇
（厦门大学物理系，厦门!"#$$%）
（&$$! 年! 月#’ 日收到；&$$! 年’ 月&& 日收到修改稿）
根据赝势法导出无外势时弱相互作用费米气体的化学势、内能和定容热容的解析表达式( 在此基础上，采用局
域密度近似研究谐振势中弱相互作用费米气体的热力学性质，探讨粒子间相互作用对系统性质的影响(
关键词：费米气体，相互作用，赝势法，局域密度近似，热力学性质
!"##：$%&$，#&!$，!#&$)
!国家自然科学基金（批准号：#$&*%$%#）和厦门大学校级自选课题基金（批准号：+$*$$,）资助的课题-
#- 引言
自#..% 年以来，囚禁超冷玻色气体实验的成
功［#—"］以及囚禁超冷费米气体实验的进展［*—.］，极
大刺激了人们对超冷量子气体进行理论研究的兴
趣(相比而言，对稀薄玻色气体的理论研究是大量
的［#$—#*］，而对费米气体的研究就较少［#,—&$］( 费米气
体虽然不能像玻色气体那样在低温下发生玻色/ 爱
因斯坦凝聚现象，然而简并的费米气体系统的低温
行为也值得关注，何况在适当的条件下费米子还能
形成库柏对，有玻色系统所具有的一些宏观量子效
应，如超导、超流等等［&#］(
量子气体粒子间都存在弱相互作用，这种相互
作用对系统的性质产生重要的影响( &$ 世纪%$，"$
年代，著名的美籍华人物理学家黄克逊、杨振宁和李
政道等首次将#.!" 年费米提出的“赝势法”应用于
研究弱相互作用玻色气体，解析地求解了非理想玻
色气体的热力学性质［&&—&%］( 他们的研究成果对其后
非理想玻色气体的理论研究产生重要的影响( 不论
是求解非线性薛定谔方程（01233/4567893:55 方程）或
是作数值运算，都是在黄、杨、李等人研究的基础上
考虑相互作用项的影响( 然而，有关粒子间相互作用
对费米气体性质的影响，研究还相对较少( 这大概与
费米系统本身所具有的特性有关( 由于描述费米子
的波函数具有反对称性，处在同一自旋态的两个费
米子不可能有3 波散射，因而通常反映其相互作用
的3 波散射振幅为零，而下一级的; 波散射在低能
情况下又非常弱，所以常将费米系统看作理想的系
统( 然而，对于那些具有超精细能态结构的费米子系
统，情况就大不相同( 此时，处在两个不同超精细能
态上的费米子，由3 波散射将产生较强的相互作用(
例如"<5原子有" 个超精细能态，原子间由于存在3
波散射而产生吸引相互作用，其3 波散射长度!"
= &#"$!>
［#.，&"］（其中!>
为玻尔半径）( 对于这类费米
系统，由3 波散射产生的相互作用显然不能忽略，从
而研究系统性质时进一步考虑粒子间相互作用的影
响是有必要的(
本文运用赝势法和局域密度近似研究弱相互作
用费米气体的热力学性质( 主要内容有：（#）根据由
赝势法求出的非理想费米系统的能谱，导出无外势
时弱相互作用费米气体的化学势、总能和定容热容
的解析表达式(（&）在此基础上，进一步采用局域密
度近似研究谐振势中弱相互作用费米气体的热力学
性质(（!）对所得结果作进一步讨论，着重探讨各热
力学量随温度的变化规律以及粒子间相互作用对系
统性质的影响(
&- 原理与计算
$%&% 无外势的情况
考虑一限定在体积" 中的# 个弱相互作用，自
旋#?& 的费米子组成的系统( 通过赝势法可导出系
第%! 卷第’期&$$’年’月
#$$$/!&.$?&$$’%!（$’）?$.,’$*
物理学报
@AB@ 4C+DEA@ DEFEA@
G2H(%!，F2(’，@;15H，&$$’!
###############################################################
&$$’AI5J( 4IK3( D2L(
统的能谱为［!"，!#］
! $!!
（ "%!
% "&!
）#!
!$
% ’!%!!
$& ’% ’& ， （(）
式中" %
!
（ " &
!
）表示处于动量为! 的量子态且自旋
向上（向下）的粒子数，’%（’& ）表示自旋向上（向
下）的总粒子数，$ 为单粒子质量，! $ (（) !!），( 为
普朗克常量，% 为粒子间二体相互作用的* 波散射
长度，满足弱相互作用条件
% )"" (， % "()+ " (， （!）
其中"$ !!!# ! )$), *（),
为玻尔兹曼常数，* 为温
度）为热波长，" $ ’) & 为粒子数密度-
根据（(）式可得系统的配分函数
+ $ ! ｛"%!
，"&!
｝ ./0{&#[!!
（ "%!
% "&!
）#!
!$
% ’!%!!
$& ’% ’] } &
$! ’’% $ 1
{ ./0 & [ # ,1 （ ’% ）% ,1 （ ’& ’% ）
% ’!%!!
$& ’%（’& ’% ] } ） ， （+）
式中# $ (（) ), *），! ｛"%!
，"&!
｝
为对所有满足!!
（ "%!
%
"&!
）$ ’的分布｛"%!
，"&!
｝求和，仿照黄克逊、杨振宁
等处理非理想玻色气体的方法，我们引进,1 （ $）
$ &（()#
）23!｛$!
｝
./0（&#!!$!#! )!$）表示限定在体
积& 中的$个“无自旋的”、无相互作用的费米子所
组成的一个“虚构系统”的自由能［!"，!#］，其中!｛$!
｝
为
对所有满足!"$! $$的分布｛$!
｝求和-
由（+）式得系统的自由能
, $ & (#
23! ’’% $ 1
{ ./0 & [ # ,1 （ ’% ）% ,1 （ ’& ’% ）
% ’!%!!
$& ’%（’& ’% ] } ） - （’）
对于含有大量粒子的宏观系统，（’）式中和式的对数
可近似等于和式中最大项的对数，并可以证明在满
足)41 % 5!)!（其中)41 $（+!! "）()+ $#!$!41 )! 为对
应于费米能级!41
的波数）的条件下，’% $ ’)!
时（’）式求和项最大［!"，!#］- 对弱相互作用系统，总有
)41 % 5!)!，所以（’）式可表示为
, $ !,1
（ ’)!）%!%!! ’!
$& - （6）
对于’)! 个“无自旋（自旋简并度- $ (）”、无相互作
用的费米子组成的“虚构系统”，其自由能［!"，!#］
,1 （ ’)!）$ ’!
), * 23.1 & /6)! （ .1
）
/+)! （ .1 [ ] ）
， （7）
式中费米积分
/0
（ 1）$ (
%（ 0）$8
1
20&( 92
1&( 32 % (
1 %& (
! 8
4 $ (
（& (）4&( 14
40
，
（"）
且具有性质
1 9/0
（ 1）
91 $ /0&( （ 1）- （#）
这里.1
表示该“虚构系统”的逸度，满足以下关
系［!"，!#］：
" $ ’& $ !"
+ /+)! （ .1
）- （:）
比较（:）式和理想费米系统（自旋简并度为-）的基
本方程［!"，!#］
" $ ’& $ -"+ /+)! （ .1
） （(1）
可知，.1
既可表示’)! 个“无自旋（ - $ (）”、无相互
作用的费米子组成的“虚构系统”的逸度，也可表示
’个自旋()!（ - $ !）的费米子组成的理想费米系统
的逸度- 综合（6），（7）和（:）式，可得弱相互作用费米
气体的自由能
, $ ’, *[ & !
"+ "/6)! （ .1
）% 23.1 % (!
%"! "] -（((）
根据（:）和（((）式可求出系统的化学势、内能和
定容热容分别为
& $ ), *［23.1 % %"! "］， （(!）
5 $ ’, * +
""+ /6)! （ .1
）% (!
%"[ ! "]， （(+）
6& $ ’,
(6
’/6)! （ .1
）
/+)! （ .1
）& :’/+)! （ .1
）
/()! （ .1 [ ] ）
，（(’）
式中.1
由（:）式决定-
当温度较高时，.1%(，（:）和（(!）—（(’）式中的
费米积分可以按（"）式展开成级数形式- 而当系统的
温度很低时，.1
可能变得很大，这时可应用;<==.>?
@.29 引理将费米积分对大宗量23.1
作渐近展开［!"］，
/0
（ .1
）$
（23.1
）0
%（ 0 % ( [ ）( % 0 （ 0 & (）!!
7
(
（23.1
）! % ] ⋯-
（(6）
将（(6）式代入（:）和（(!）—（(’）式，可将低温极限下
’期苏国珍等：弱相互作用费米气体的热力学性质:#6
系统的化学势、总能和定容热容表示为温度的显函
数，其结果分别为
! ! !"# $ %!&
$&
"
" ( ) "#
&
’(
)!$*&
#
" [ ] "#
， （$+）
$ ! ),
%!"# $ ’,!&
$&
"
" ( ) "#
&
’&#
-!$*&
#
" [ ] "#
，（$.）
&’!!&
& %(/
"
" ( ) "#
， （$(）
式中!"# !（#& *&)）（)!& * ）&*) 为理想费米系统
的费米能［&.］，""# ! !"# * (/
为费米温度，""# !
!&!#& *)(/ ""# 0以上推导过程中只保留到小量"* ""#
的二次项0 由（$+）和（$.）式可得非理想费米系统的
费米能和基态能分别为
!" ! !"# $ ’(
)!$*&
#
" ( ) "#
， （$-）
$# ! ),
%!"# $ ’&#
-!$*&
#
" ( ) "#
0 （&#）
从以上诸式可明显地看到相互作用对系统热力学性
质带来的修正0
!"!" 谐振势约束的情况
现考虑一约束在谐振外势
’（ !）! $&
)（$&
++& ’$&
,,& ’$&-
-&） （&$）
中的弱相互作用费米气体，式中+，, 和- 为粒子的
位置坐标，$+
，$,
和$-
为谐振势沿三个坐标轴的角
频率0
当有外势存在时，粒子在空间的分布是不均匀
的，粒子数密度* 是空间位置! 的函数0 若系统的粒
子数足够大，粒子的能级间隔远小于粒子的动能，我
们可以将空间分成许多小格0 同一格中外势可看作
常数，因而每个小格可视为一个含有大量粒子数的
均匀子系统，在! 处小格内的粒子数密度*（ !）也为
常数，称为局域密度0 这样的理论处理方法称为局域
密度近似0 从已有的实验数据发现，对于粒子数足够
大的宏观系统，局域密度近似是一种很好的近似方
法［&-，)#］0
由统计物理知识可知，处于外势中的非均匀系
统达到平衡时，系统的化学势应该处处相等［&-］，且
可表示为
! ! !12 ［ *（ !）］’’（ !）， （&&）
式中!12 ［ *（ !）］为! 处的“内化学势”，在局域密度
近似下它等于无外势时密度为*（ !）的均匀费米系
统的化学势0 由（$&）和（&&）式可得
! ! (/ "［32-12
#
（ !）’#"& *（ !）］’’（ !），（&)）
式中-12
#
（ !）满足
*（ !）! &"
) .)*& ［ -12
#
（ !）］0 （&4）
根据（&)）和（&4）式，若保留到小量#*" 的一次项，
-12
#
（ !）和*（ !）可分别表示为
-12 （ !）"-567［%%’（ !）］
{ 8 $ % &#"
.)*&
｛-56［7 %%’（!）］｝}，（&,）
*（ !）"
&"
) .)*&
｛-567［%%’（ !）］｝
{ 8 $ % &#"
.$*&
｛-56［7 %%’（!）］｝}，（&+）
式中- ! 567（%!）为系统的逸度0
类似地，非均匀系统空间! 处的能量密度/（ !）
可表示为
/（ !）! /12 ［ *（ !）］’*（ !）’（ !）， （&.）
式中/12 ［ *（ !）］为“内能量密度”，在局域密度近似
下它等于无外势时密度为*（ !）的均匀费米系统的
能量密度0 根据（$)），（&,），（&+）和（&.）式可得
/（ !）! (/ { " )"
) .,*& ［ -12
#
（ !）］’$&
#"& *（& !）}
’*（ !）’（ !）
"
(/ "
" { ) ).,*&
｛-567［%%’（ !）］｝
’&%’（ !）.)*&
｛-567［%%’（ !）］｝
% 4#"
［ . &
)*&
｛-567［%%’（ !）］｝’%’（ !）.)*&
8 ｛-567［%%’（ !）］｝.$*&
｛-56［7 %%’（!）］｝］}0
（&(）
（&+）和（&(）式分别给出了外势中弱相互作用费
米系统的粒子数密度和能量密度在空间的分布0 将
外势的表达式（&$）代入（&+）和（&(）式，并对空间积
分可得系统的总粒子数和总能的表达式
% !#*（ !）9!
! ( (/ " ) #$ [ )
&.) （ -）% 4#
" 0)*&，$*&，)*& （ -）] ， （&-）
$ !#/（ !）9!
! (/ "( (/ " ) #$ [ )
+.4
（ -）% $4#
" 0)*&，$*&，,*& （ -）] ，
（)#）
式中
-(+ 物理学报,)卷
! !（!!!"!#
）!"#，
$"，#，$
（ !）$ !
%（$）"%
&
%"
（ !&’’）%#
（ !&’’）’$’ (’! # $
! %
%
(，) $ !
（’!）() )!() )
(")#（ ( ) )）$
， （#!）
且具有性质
! ($"，#，$
（ !）
(! $ $"，#，$’ （ !）* （#+）
（#&）式以系统的逸度# 作为中间变量给出系统
总能的解析表示，其中逸度# 由总粒子数的表达式
（+,）确定* 从（+,）式可看出，系统的逸度# 与相互作
用有关* 为了使我们的结果能更明显地反映出由于
相互作用而带来的修正，我们引进系统的“无相互作
用逸度”#& * 根据（+,）式可知，#&
满足
* $ +( +- , ) &!
#
%# （ #&
）* （##）
由（+,）和（##）式可得
# & #& ! ) +-
’$#"+，!"+，#"+ （ #&
）
%+ （ #& [ ] ） * （#.）
将（#.）式代入（#&）式和( $ +- ,/0#，同时结合（##）
式，可将( 和. 表示为#&
的函数，其结果为
( $ +- , /0#& ) +-
’$#"+，!"+，#"+ （ #&
）
%+ （ #& [ ] ）
， （#1）
. $ *+- { , #%. （ #&
）
%# （ #&
） ) - [ ’2$#"+，!"+，#"+ （ #&
）
%+ （ #&
）
’3$#"+，!"+，1"+ （ #&
）
%# （ #& ] } ） * （#2）
给定外势和总粒子数下系统的热容可由下式计
算：
/ $ (.
(, $ !.
! ( ) , #&
) !.
!# ( ) & ,
(#&
(, * （#3）
根据（##），（#2）和（#3）式可求得
/ $ *+ { -
!+%. （ #&
）
%# （ #&
） ’,%# （ #&
）
%+ （ #&
） ) - { ’#&$#"+，!"+，#"+ （ #&
）
%+ （ #&
）
’2#
+
$#"+，!"+，1"+ （ #&
）
%# （ #&
） ’!4%! （ #&
）%# （ #&
）
% ++ （ #&
）
$#"+，!"+，!"+ （ #&
）
%! （ #&
） ’$#"+，!"+，#"+ （ #&
）
%+ （ #& [ ]}} ） * （#4）
与无外势时的处理方法类似，当系统温度极低，
使得#&’! 时，以上表达式中的费米积分%0
（ #&
）可
按（!1）式对大宗量/0#&
作渐近展开* 相应地，函数
$"，#，$
（ #&
）可表示为
$"，#
，$
（#&
）&
!
%（")!）%（#)!）%（$"）/0 #&
&
（/0 #& ’’）")#
5 [! )"（" ’!）"+
2
!
（/0#& ’’）+ ) ] ⋯5 ! )#（# ’!）"+
2
!
[ （/0#& ’’）+ ) ] ⋯’$’ (’$ %（" )# ) !）（/0#&
）")#)$
%（" ) !）%（# ) !）%（" )# )$ ) !）
5{!)
［"（"’）)#（#’）］（")#)$）（")#)$’）
（")#）（")#’）
5"+
2
!
（/0#&
）+ ) } ⋯* （#,）
将（!1）和（#,）式代入（##），（#1），（#2）和（#4）式，可
得约束在谐振势中弱相互作用费米气体的化学势、
总能和热容在低温极限下的解析表示，其结果分别
为
( $ 1 { 6& ! ’"+
#
,
, ( ) 6&
+
) !&+.
#!1"#"+
-
’6&
5 ! ’!1"+
#+
,
, ( ) 6& [ ] } +
， （.&）
. $ #.
*1 { 6& ! ) +"+
#
,
, ( ) 6&
+
) 4!,+
+4#1"#"+
-
’6&
5 ! ) +3"+
#+
,
, ( ) 6& [ ] } +
， （.!）
/ $ *+- "+ ) !+4"!"+
#1
-
’( ) 6&
,
,6&
， （.+）
式中16& $&!（#*）!"#为谐振势约束下理想费米系统
的费米能［!4］，,6& $ 16& " +-
为费米温度，’6& $
+"&( + "2+- ,6& * 由（.&）和（.!）式可得系统的费米能
和基态能分别为
16 $ 16& ! ) !&+.
#!1"#"+
-
’( ) 6&
， （.#）
.& $ #.
*16& ! ) 4!,+
+4#1"#"+
-
’( ) 6&
* （..）
从以上诸式可明显地看到相互作用对谐振势约束费
米系统热力学性质带来的修正*
#7 结果与讨论
根据（,），（!+）—（!.）及（##），（#1），（#2）和（#4）
式可分别得到无外势及谐振势约束两种情况下系统
的化学势、总能和热容与温度的关系，相应曲线如图
!—图# 所示，其中嵌入图给出因粒子间相互作用所
引起各热力学量的变化量与温度的关系* 从图中可
.期苏国珍等：弱相互作用费米气体的热力学性质,43
以看出，在无外势的情况下，若只计及二体相互作用
的! 波散射，相互作用使得系统的化学势和内能发
生变化，但不影响定容热容" 粒子间的相互作用仿佛
使得每个粒子本身浮在一均匀势的平台上，它所引
起的化学势和内能的变化量与温度无关" 这一结果
不难理解，因为相互作用对系统影响的大小主要取
决于粒子数密度和散射长度" 对于处在一定体积中
通过刚球势发生相互作用的费米子气体，这两者随
温度的变化都很小" 对于约束在谐振势中的费米系
统，情况则有所不同" 此时粒子间的相互作用不但影
响化学势和总能，还使得系统的热容发生变化" 相互
作用对各热力学量的影响与温度有关，且在低温区
的影响较高温区显著" 这一结果的物理意义也是明
显的" 从（#$）式可知，对于约束在谐振势中的费米
子，温度的变化将直接影响粒子数密度在空间的分
布" 在低温区，粒子热运动的动能较小，外势的作用
使得粒子较集中地分布在外势中心! % & 附近，从而
使得相互作用所带来的影响较大；在高温区，粒子热
运动加剧，其在空间的分布趋于分散，因而使得相互
作用的影响较小" 从图中还可看出，在任何温度下，
排斥相互作用（ ! ’&）总是使得系统的化学势和内
能增大，而吸引相互作用（ ! ( &）总是使得化学势和
内能减小" 然而相互作用对热容的影响则在不同温
区呈现不同的特征" 在低温区，排斥（吸引）作用使得
热容增大（减小）；而在高温区，排斥（吸引）作用使得
热容减小（增大）" 这一结果与文献［)*］的结论相符"
图) 不同散射长度下化学势与温度的关系曲线曲线) 为无
外势，曲线# 为谐振势
虽然本文研究的是弱相互作用费米系统的热力
图# 不同散射长度下总能与温度的关系曲线曲线) 为无外
势，曲线# 为谐振势
图+ 不同散射长度下热容与温度的关系曲线曲线) 为无外
势，曲线# 为谐振势
学性质，其结果也适用于无相互作用的理想费米系
统"只要令! % &，则（)#）—（),）和（)$）—（#&）式分
别简化为
! % "- # ./$&
， （,0）
% % +&"- #
’"+ (01# （ $&
）
% +#
&"- # (01# （ $&
）
(+1# （ $&
）
， （,$）
)* % &"-
)0
,
(01# （ $&
）
(+1# （ $&
）2 *,
(+1# （ $&
）
()1# （ $& [ ] ）
（,3）
和
*44 物理学报0+卷
! ! !"# $ %!&
$&
"
" ( ) "# [ ] &
， （’）
# ! )*
$!"# $ + *!&
$&
"
" ( ) "# [ ] &
， （’）
%& !!&
& $’-
"
" ( ) "#
， （*#）
!" ! !"# ! "&
&(
（)!& )）&.)， （*$）
## ! )*
$!"# / （*&）
（’）—（*&）式正是许多教科书上得到的结果［&0，&(］/
而只要在（)*），（)1），（)(）和（’）—（’’）式中令* !
#，则可得
! ! ’- " 23+#
， （*)）
# ! )$’- " ,’（ +#
）
,) （ +#
）
， （*’）
% ! $’-
$&,’（ +#
）
,) （ +） % ,,) （ +）
,& （ +# [ ] ）
（**）
和
! ! !"# $ %!&
)
"
" ( ) "# [ ] &
， （*1）
# ! )’$!"# $ + &!&
)
"
" ( ) "# [ ] &
， （*0）
% !!& $’-
"
" ( ) "#
， （*(）
!" ! !"# !"#（)$）$.)， （*,）
## ! )’$!"# / （1#）
（*)）—（1#）式与文献［$(］在空间维数) ! )，外势为
谐振势时的结果也完全相同/
’ 结论
本文研究了无外势和谐振势约束两种情况下弱
相互作用费米气体的热力学性质，导出系统的化学
势、总能和热容的解析表达式，并讨论了外势和粒子
间相互作用对系统性质的影响/ 研究结果表明，无外
势情况下粒子间的相互作用在各温度下统一地提高
（ * 5 # 时）或降低（ * 6 # 时）系统的化学势和总能，
但不影响定容热容/ 而在谐振势约束的情况下，相互
作用使得费米系统的化学势、总能和热容都发生变
化，且改变量与温度有关/ 虽然本文所讨论的是弱相
互作用费米系统，其结果在特定条件下也适用于无
相互作用的费米系统，这表明本文的结果更具普
遍性/
［$］ 7389:;<3 = >，?3;@9: A B，=CDD@9E; = B -. */ $,,* 012-)1- !"#
$,(
［&］ -:C829F G G，HCIJ9DD G 7，K<229DD A A -. */ $,,* 3456 / 7-8 / 9-.. /
$% $1(0
［)］ LCMN; O -，=9E9; = P，738:9E = B -. */ $,,* 3456 / 7-8 / 9-.. /
$% ),1,
［’］ ":N98 L Q，ON22NC3 K G，RN22SC33 T -. */ $,,( 3456 / 7-8 / 9-.. /
&’)($$
［*］ UN3 A V，QC< R A，TNW X G -. */ &##$ :1.* 3456 / 02) / %( 11#（N3
G@N39;9）［印建平、高伟建、刘南春等&##$ 物理学报%( 11#］
［1］ KN9IJ9 K Q，O9SSC33 =，-WYY29 G -. */ &##) ; / <=. / - !"#
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