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◆◇研究成果報導◆◇
用電腦研究臨界現象
作者:物理研究所研究員胡進錕
一九九四年七月中央研究院舉行院士會議，孔祥重院士曾在院士
會議期間發表專題演講。他提到台灣很會製造電腦，可惜不太會應
用電腦。孔院士指出一個值得我們努力的方向：用電腦協助各種工
作，包括研究工作。本文想簡單介紹一下，我們如何應用電腦研究
臨界現象以及得到的一些成果。
在一大氣壓，水會在攝氏 100 度汽化為水蒸汽，若將壓力逐漸增
高，水變為水蒸汽的汽化溫度也逐漸增高，但水和水蒸汽的密度差
則逐漸減少。當壓力增加至 218 大氣壓，汽化溫度增加至攝氏 374
度，水和水蒸汽的密度差降為零。218 大氣壓和攝氏374度分別稱為
水的臨界壓力和臨界溫度。在臨界點附近水由透明變為不透明，比
熱和壓縮係數會趨近於無限大。其它的液體也有類似的臨界現象。
除了液體汽化有臨界現象以外，二元合金（如銅鋅合金）、鐵磁性
物質、吸附於晶體表面的原子、超流體、超導體等也有臨界現象。
為了描述各種物理量在臨界點附近趨近於零或無限大的行為，科學
家就定義了各種臨界指數，例如自發磁性強度（無外加磁場時，磁
鐵的磁性強度）的β，相關長度（用於表示隔多遠的分子會互相影
響）的γ等等。
科學家由多年來研究臨界現象，得出兩個重要觀念：普適性
(universality)和尺度轉換不變性(scaling)。先說普適性的由來和
內涵。臨界現象最有名的模型就是易行模型（Ising model），它可
以用來做為流體、二元合金、鐵磁性物質、吸附於晶體表面的原子
等問題的模型，它假設每一晶格點有一個分量為二的自旋，兩個在
最鄰近晶格點的自旋會相互耦合。一九五二年楊振寧院士算出正方
型晶格易行模型自發磁性強度的準確解並發現β等於八分之一，他
說這是他所從事極艱鉅的計算工作之一。同一年張承修發現將長方
型晶格上易行模型水平耦合常數和垂直耦合常數改變，β仍是八分
之一。他推測只要空間維度是二，易行模型的β永遠是八分之一。
後來其它晶格（如平面三角形、六角形）易行模型的準確計算証實
這一推測，這是臨界指數普適性觀念的萌芽。以後實驗及理論上的
研究都發現臨界指數具有普適性，即許多不同的系統具有同一組臨
界指數。臨界指數相同的系統稱為在同一個普適性類別，例如同一
空間維度但晶格不同的易行模型屬於同一個普適性類別，又例如同
一空間維度的二元合金、液態氣態共存系統、以及易行模型也在同
一個普適性類別。
臨界現象另一個著名的模型就是展透模型。「展透」譯自英文
percolation，含有由系統一邊伸展至另一邊的意思。茲考慮在晶格
G 的鍵展透模型，G有N個晶格點，E條最鄰近的鍵，每條鍵有連通和
不連通兩種狀態，因此晶格G共有二的E次方種不同的組態，稱為G之
次圖。每一連接最鄰近點的鍵有p 的機率被接通，有1-p 的機率不
被接通。凡是被連通鍵接在一起的點就是在同一集團，由晶格一邊
伸展至另一邊的集團叫展透集團，其他的集團叫非展透集團。晶格
點屬於展透集團的比率叫展透或然率，以P 表示，它是展透問題的
秩序參數。空間至少存在一個展透集團的或然率叫存在或然率，Ep
以表示。若G 上每一點有p s的機率被粒子占住，有1-p s的機率空
著且兩個最鄰近的粒子視為同一集團，則我們就有位置展透模型。
當p或p s 由小變大，到某一臨界點p c 附近也會有臨界現象。我們
也可以定義各種臨界指數。同一空間維度但晶格不同的鍵和位置展
透模型也屬於同一個普適性類別。
茲以有限系統在臨界點附近的行為說明尺度轉換不變性的觀念。
假設有一個熱力系統的物理量Q 在臨界點Tc 附近隨溫度T 的變化可
以用臨界指數a 表示。在臨界點Tc 附近，我們可以用T-Tc, 有限系
統的線性長度L，以及相關長度的臨界指數γ定義一個尺度變數x．
根據有限大小尺度轉換不變性的理論，在臨界點附近Q乘以L的（a/
γ）次方只是x的函數，此函數可以用f(x)表示，換句話說，如果有
很多個線性長度不同的系統，以Q乘以C的（a/γ）次方做縱座標對
橫座標x繪圖，不同線性長度系統的數據，會落在同一條曲線f(x)上
面。同一空間維度不同類型的晶格，例如二度空間的方型，三角型
，和六角型晶格，f(x)並不相同，即f(x)並不具有普適性。
一九八四年，Privman和臨界現象理論大師Fisher提出非普適參數
和普適尺度函數的觀念。Privman和Fisher (PF)認為若前述縱座標
和橫座標分別多乘一個非普適參數g 和D，且不同的晶格選用不同的
g 和D，則不同晶格的數據，可以用相同的尺度函數F(y)表示，此處
y=Dx，F(y)就是普適尺度函數。PF理論提出來以後，二十多年來並
未得到証實。
一九九二年十一月筆者在物理評論和物理評論通訊(Physical
Review Letters, PRL)發表二篇論文，提出階層蒙地卡羅模擬法
(Histogram Monte Carlo Simulation Method, HMCSM)。傳統的蒙
地卡羅模擬法只能在一些孤立點算出物理量。用HMCSM則可以算出物
理量隨物理系統參數的連續變化。一九九三年以後，筆者一直想用
HMCSM找出PF 提出的普適尺度函數。
一九九四年冬天，筆者利用到波士頓執行中美合作計畫之便，於
感恩節期間開車到加拿大Montreal，拜訪Montreal大學Saint Aubin
教授，討論有關展透問題。由討論中得知，Saint Aubin教授及其合
作者曾提議自由邊界條件時，當方型晶格，平面三角型晶格，和平
面六角型晶格的寬高比分別為1，√3/2，和√3時，這些晶格上的位
置和鍵展透模型，在臨界點的Ep都等於0.5。Saint Aubin及其合作
者並未研究Ep在臨界點以外的行為。從加拿大回美國後，我乃用電
子郵件找清華大學物理系博士班學生林財鈺和本所博士後研究學者
陳昭安合作，使用HMCSM研究方形、三角形和六角型晶格上的位置和
鍵展透模型。我們採用Saint Aubin等人提議的晶格寬高比，同時考
慮自由邊界條件和週期邊界條件，不但算Ep也算P。我們發現只要採
用極少數的非普適參數，就可令平面上六種展透模型的Ep 和P 有共
同的普適尺度函數且非普適參數和邊界條件無關。不同的邊界條件
，普適尺度函數頗不相同，在臨界點，自由邊界條件的Ep等於0.5，
但週期邊界條件的Ep 等於0.93。這個研究結果於一九九五年七月十
日刊於PRL。
曾經和Stauffer合寫「展透理論導論」的以色列學者Aharony讀到
我們的論文以後，和他的學生Hovi 合寫一篇「短評」寄給PRL 。他
們在自由邊界條件得到和我們一樣的普適尺度函數，但是週期邊界
件卻得到極不相同的尺度函數，我收到Aharony 和Hovi 的短評後，
推測兩個研究組用的所謂「週期」邊界條件並不完全相同。我們考
慮晶格的水平方向和垂直方向都具有週期邊界條件，這是研究相變
模型經常使用的邊界條件，而Aharony 和Hovi只考慮一方向有週期
邊界條件，另一個方向則用自由邊界條件。為了驗証這個推測，我
用HMCSM計算方型晶格鍵展透模型，晶格水平方向是週期邊界條件而
垂直方向則是自由邊界條件，結果得到與Aharony 和 Hovi 同樣的
尺度函數，此結論再度顯示尺度函數和邊界條件有極敏感的依賴關
係。Aharony 和Hovi 的「短評」和我的「答覆」同時在一九九六年
五月十三日刊於PRL。
一九九五年三月，筆者在哈佛大學物理系演講“臨界現象的普適
尺度函數”。講完以後，該系Halperin 教授告訴筆者他最近和合作
者提出一個低溫量子Hall 效應導電率的理論，該理論認為導電率和
臨界點的展透集團數有關，因此臨界點的展透集團數是一個值得研
究的量。我想既然要研究展透集團數，就不能只限於臨界點上，也
應研究臨界點以外，並且要研究展透集團數是否有很好的尺度轉換
不變性。一九九五年夏天，我將以前用HMCSM 研究方晶格展透模型
的程式改了一下，以便計算水平長度為L 垂直長度為M 的晶格上，
由上至下出現n個展透集團的機率Wn，n=0,1,2......。結果發現 Wn
有很好的尺度轉換不變性，可以定義對應於Wn的尺度函數Fn。我進
一步想，既然平面晶格六種展透模型的存在或然率Ep可以有普適尺
度函數，也許平面六種展透模型的Wn也可以有普適尺度函數。為了
驗証這想法，我請林財鈺先生計算三角型和六角型晶格鍵和位置展
透模型的Wn，結果証實六種平面展透模型的Wn果然有普適尺度函數
，這個研究結果發表於一九九六年七月一日的PRL。
除了用電腦研究相變數模型的普適尺度函數以外，我們也用電腦
輔助研究相變模型配分函數根的分佈。根據統計力學，如果能算出
相變模型的配分函數，就能算出它的自由能、熵、內能、比熱等物
理量，而如果能知道配分函數的所有根，也就能知道配分函數主要
性質，因此配分函數根之分佈是極為重要的。一九五二年李政道和
楊振寧院士曾研究外加磁場作用B下易行模型配分函數根之分佈而提
出極著名的李楊定理。該定理說以B 的某一函數Z(B)為變數，易行
模型的根會分佈於Z(B)複數平面的單位圓上。
易行模型每一個自旋有二個分量。如果將自旋的分量由二個擴充
為q個（q為整數），且假設兩個最鄰近的自旋只有當它們的分量相
同時才有耦合能量，如此就定義了q 狀態Potts模型，它是易行模型
的推廣。美國東北大學伍法岳教授知道我提出的HMCSM可以算出
Potts 模型近似的配分函數以後，希望我以HMCSM計算Potts模型配
分函數根之分佈。伍教授提議以Potts耦合常數K的函數x(K)為變數
，而不是以李楊所用的Z(B)為變數。這種情況，根的分佈在學術界
還沒有人提出明確的命題。我想根是極敏感的量，最好是用有限晶
格準確的配分函數求根，因此就找本所博士後研究學者陳企寧合作
，請他用電腦求出有限方型晶格Potts 模型準確的配分函數，並求
這些配分函數的根。結果我們發現在x(K)實數部分大於零的半平面
上，q狀態 Potts 模型配分函數的根都分佈於x(K)的單位圓上。我
們推測這是個普遍的現象。我們也嚴格證明，當q 趨近於無限大時
，所有的根都分佈於單位圓上。我們的結果於一九九六年一月八日
以二篇論文同時刊於PRL。
總之，由於電腦的幫助，我們於一九九五年七月至一九九六年七
月總共在極著名的期刊PRL 發表了五篇統計物理的著作。這說明了
統計物理與數值模擬是個值得中央研究院和國家科學委員會大力支
持並且可以在我國發展的研究方向。
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