非相对论量子力学粒子数的自动守恒。就是说，该理论 只研究粒子在各种位势下的运动， 只研究粒子在各种位势下的运动，不涉及不同种类粒子之 间的转化问题

10_相对论量子力学

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第十章 相对论量子力学 §10.1 引 言 §10.2 Klein-Gordon方程 方程 §10.3 Dirac方程 方程 §10.1 引 言 一、非相对论量子力学概括评论 二、向相对论量子力学推广的思路 及遇到的困难 一、非相对论量子力学概括评论 以前的量子力学是以薛定谔方程为基本动力学规律 的理论，是非相对论性的量子理论。形式上， 的理论，是非相对论性的量子理论。形式上，坐标表象 中的薛定谔方程可以这样来得到： 中的薛定谔方程可以这样来得到：从经典非相对论粒子 的能量——动量关系式出发，经过“一次量子化”程式， 动量关系式出发， 的能量 动量关系式出发 经过“一次量子化”程式， 并将得到的算子方程作用到表征微观粒子状态的波函数 显然，如此得到的方程是伽利略变换不变的， 上。显然，如此得到的方程是伽利略变换不变的，但不 是洛仑兹变换不变的。 是洛仑兹变换不变的。 值得强调指出， 值得强调指出，除特殊奇性位势需代以边条件表达之 外，任何位势的薛定谔方程均自动蕴含着关于波函数模平 方的连续性方程。这个方程显示了的定域守恒性质， 方的连续性方程。这个方程显示了的定域守恒性质，说明 薛定谔方程中波函数的模平方有资格作为概率解释， 薛定谔方程中波函数的模平方有资格作为概率解释，并表 明非相对论量子力学粒子数的自动守恒。就是说， 明非相对论量子力学粒子数的自动守恒。就是说，该理论 只研究粒子在各种位势下的运动， 只研究粒子在各种位势下的运动，不涉及不同种类粒子之 间的转化问题。所以， 间的转化问题。所以，它虽然是个非经典的非相对论性理 力学”理论。 论，却是一个标准的 “力学”理论。 总结说来， 总结说来，非相对论量子力学的前提中含有四条逻辑要 非相对论性的“低能量” 素：i) 非相对论性的“低能量”——粒子运动所涉及的势能 粒子运动所涉及的势能 和动能都远低于粒子的静止能量； 传统的“ 和动能都远低于粒子的静止能量；ii) 传统的“力学理论范 畴”——只考虑粒子在力（势场）作用下的时空运动，不考 只考虑粒子在力（势场）作用下的时空运动， 只考虑粒子在力 虑粒子产生、湮灭、不同种类粒子之间的转化；iii)（ 虑粒子产生、湮灭、不同种类粒子之间的转化；iii)（只要 系统不和外界交换粒子）运动中自动保持“粒子数守恒” 系统不和外界交换粒子）运动中自动保持“粒子数守恒”； 定域描述” iv) “定域描述”方式 定域描述 方式——这意味在理论上可以将粒子定域描 这意味在理论上可以将粒子定域描 述到几何点的精度 点的精度。 述到几何点的精度。抛开非相对论量子力学在多大范围和多 精确程度上与实验符合问题不谈，单纯就“低能量” 精确程度上与实验符合问题不谈，单纯就“低能量”、 “力 学范畴” 粒子数守恒” 定域描述” 学范畴”、“粒子数守恒”、 “定域描述”这四条内在逻辑 要素而言，不难看出它们之间的关系是相容相洽的。 要素而言，不难看出它们之间的关系是相容相洽的。 二、向相对论量子力学推广的思路及其困难 为了使已建立的量子理论可以应用到高能粒子， 为了使已建立的量子理论可以应用到高能粒子，必 须推广它，使之合乎狭义相对论的原理。 就是说， 须推广它，使之合乎狭义相对论的原理。 就是说，应当 寻找代替非相对论薛定谔方程的、具有洛仑兹变换协变 寻找代替非相对论薛定谔方程的、 微观粒子的相对论性动力学方程。 的、微观粒子的相对论性动力学方程。具体途径就是上 引出”薛定谔方程的“一次量子化”程式。 面“引出”薛定谔方程的“一次量子化”程式。在量子 理论早期发展过程中， 理论早期发展过程中，这个思路曾经主导过建立相对论 量子力学的过程，以为只要改进薛定谔方程， 量子力学的过程，以为只要改进薛定谔方程，使之具有 洛仑兹变换协变性， 洛仑兹变换协变性，就能提供关于微观粒子相对论性力 学运动的正确描述。 方程和Dirac方程就 学运动的正确描述。Klein—Gordon方程和 方程和 方程就 是那时沿此思路所得的两个产物。 是那时沿此思路所得的两个产物。 首先提出的Klein—Gordon方程，原本作为非相对论单粒 方程， 首先提出的 方程 子方程——薛定谔方程向相对论性单粒子方程的推广。说是 薛定谔方程向相对论性单粒子方程的推广。 子方程 薛定谔方程向相对论性单粒子方程的推广 单粒子”方程有两层含意： 它是通过一次量子化办法， “单粒子”方程有两层含意：i，它是通过一次量子化办法， 模拟经典单粒子的能量-动量关系建立起的； 模拟经典单粒子的能量-动量关系建立起的；ii, 其中波函数 的模平方应当具有空间概率密度分布的解释。但是， 的模平方应当具有空间概率密度分布的解释。但是，人们立 即发现存在许多难以合理解释的困难（详细见下）。 ）。这些困 即发现存在许多难以合理解释的困难（详细见下）。这些困 难使得K—G方程不适合作为单粒子的状态方程。这导致20年 方程不适合作为单粒子的状态方程。 20年 难使得 方程不适合作为单粒子的状态方程 这导致20 代末和30年代初的一段时间内放弃了Klein—Gordon方程。 代末和30年代初的一段时间内放弃了 方程。 30年代初的一段时间内放弃了 方程 当时，Dirac为了克服 当时， 为了克服Klein—Gordon方程的那些困难， 方程的那些困难， 为了克服 方程的那些困难 特别是关于概率密度不正定的困难和时间二阶导数问题， 特别是关于概率密度不正定的困难和时间二阶导数问题，以 便得到对氢原子精细结构的相对论量子力学解释，他于1928 便得到对氢原子精细结构的相对论量子力学解释，他于1928 年提出了一个单粒子方程——后来称作 后来称作Dirac方程。 方程。 年提出了一个单粒子方程 后来称作 方程 Dirac方程解决了氢原子光谱精细结构问题。特别是，自 方程解决了氢原子光谱精细结构问题。特别是， 方程解决了氢原子光谱精细结构问题 然地导出了电子的1/2自旋， 1/2自旋 然地导出了电子的1/2自旋，并且避免了概率密度不正定的困 难以及对时间二阶导数的困难。然而， 方程和Klein— 难以及对时间二阶导数的困难。然而，Dirac方程和 方程和 Gordon方程一样，仍然存在负能态解。为了解释它，Dirac引 方程一样， 方程一样 仍然存在负能态解。为了解释它， 引 入了正电子理论，并取得了预言的证实。然而， 入了正电子理论，并取得了预言的证实。然而，这个被称作 “Dirac海”的无穷大密度的正电子真空背景，在单粒子 海 的无穷大密度的正电子真空背景，在单粒子Dirac 方程理论范畴内毕竟是外来强加的东西， 方程理论范畴内毕竟是外来强加的东西，不是理论本身逻辑 发展的自然结果。更何况，占据了所有负能态、无所不在、 发展的自然结果。更何况，占据了所有负能态、无所不在、 密度无限大的正电子海的存在总会产生一个难以圆满回答的 疑问——这个电荷密度为均匀无穷大的负能量电子海，其平 这个电荷密度为均匀无穷大的负能量电子海， 疑问 这个电荷密度为均匀无穷大的负能量电子海 均电磁场效应竟然为零！这无论如何，总是难以理解的。 均电磁场效应竟然为零！这无论如何，总是难以理解的。 话又应当说回来， 话又应当说回来，Dirac方程的单粒子图像仍能适用于一 方程的单粒子图像仍能适用于一 些有限的情况。 些有限的情况。