熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量

熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量

第13卷第1期 量子电子学

1996年2月 CHINESE JOURNAL OF QUANTUM ELECTRONICS

 

、『nI．13 N0．1

Feb．，1996

 

相干态双模Jaynes．Cummings

模型中的场熵

 

刘翔方卯发

(瑚南师范大学物理系 长抄410081)

 

摘 要

 

本文研究了初始处于耦合SU(1，1)相干态的双模双光子J-C模型中场墒的特性，具体讨论了场

 

(1 态参致以及原子叠加态与场态之间的相对位相对场熵演化的影响。结果表明．当原子处于相干陷阱态

 

(相对位相为零)，场态参数㈦ 1时，原子与场将退耦处于纯态。

 

关键词：耦台SU(I，1)塑王垄 竖双模双光子J—c模型·

 

l 引 言

原子相干陷阱态

 

毛 双 一c艘

 

。年j|

 

熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量。近来，不少作者研究了二能级原子与单模场相

互作用J C模型中的场熵(原子熵) - ，Phoenix和Knight[ 】推导出一个计算单光子J C模型中场

约化密度算符的本征态、本征值的一般方法，并给出了场与原子相同的描述纯态程度的熵函数。

最近，方卯发等人[21研究了原子相干性对场熵的影响，当原子处于相干陷阱态(场态与原子态的

相对位相为零)、且初始平均光子数很大时，熵值趋于零，原子与场将处于退缠绕的纯态DI。另

 

外Dung和Huyen在文献[4]中的结果表明，双光子过程中，当tl=【K+ )Te，t2=cK+}) ，

 

t。=KTe(K=0．1，2，-．：Te=吾为原子反转的再生周期)时，原子与场将处于纯态(熵值趋于

 

零)。不过，这些文献的研究仅考虑单模场的情形。本文中，我们将研究耦合so((1，1)相干态双

模双光子J C模型【 】场熵的时间演化。

 

2 耦合SU『1，1)相干态双模J C模型

 

考虑一双模场，消灭(产生)算符分别为a (a})、a2(a})，数态分别为In }、l z}。双模场

 

完全希尔伯特空间数态基为 ，n )=ln }0 ln )。

su(1，1)李代数算符：

 

K0= (a}al+a}a2+1) K+=a}a ， K一=a1a2 (1)

 

su(1，1)相干态由双模压缩算符：

 

s )=exp( 寸a}一 alaz) (2)

 

收稿日期： 1995 02 24

修政日期： 109 阱nB

 

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一～ 量．主 皇 兰 ! 堂

作用在双模数态lq,0)(即模I中有 个光子，模2处于真空态)上产生，式(2)中参数 ：

 

{ xp(一 ) 其中。。( <∞．n≤ 2 ．则耦合相干态为：

s( 0)= t ‘ 】【1 n耋=0 [ J] I／2 ⋯，n) ㈣

 

其中，f=一tanh(i)exp(一z )，即0< l<1。

 

二能级原于与双模场相互作用系统的有效哈密顿量陋=1】为 『：

 

H Wos=+ (a a-+j1)+ 。(a2+~2 d- )+ (a a}s～+a a s+) ( )

 

s 、s±为原子鼹自旋算符，g为原子与场之问的耦台常数， 。奠f原子跃迁频率， 。和

为两模场频，考虑原子与场共振情形，即： 。= t+ ，可将 分解为：

 

n= 口(K0+sz)十e△ f51

，：=e(K+S一+K—s+) f61

 

式中： e=(u 。)／2 △=a a 。不难证明： 【矾，Ⅱ =o：因而系统在相互作用绘景

中的时问演化算符：

m】=cos(btt K～K+) K ! =!

 

V K K

 

?t22 c【】 ( K+K一)

 

⋯+cxp(-i~) ，8j

 

式中： 0 ．0 2 。初始时刻，原子和场处于非耦合状态(纯态)，

系统密度算符为

p：0)= (0)0 ，(0)， (0)= ，纠( 1． ，(0) )( 目I

则任意时刻系统的约化场密度算符为

，(±)= afu )p㈣ (t))

 

l )(m 』+l )( l+『 )(v21 f—l )( I

+f口11) t2I 12) 11f+ 21)扣22l+f"22)( 2lf

 

二lG)(Gl+』 )( f f91

其中：

 

lG)= )一 )=一8 )一i sln 8 (一 ) )

 

一c 。s ；Σ exI ( 州c。s ^ )l +")

i[I 2 p(一 Σ pf n ) in tA )ln+q_1l n一1)

 

；至{

 

儿

 

=

 

H

 

e

 

中

 

其

 

第1期 刘 翔等： 耦台su((1，1)相干态双模Jaynes·Cummings模型中的场熵 15

 

J _1tl2I)+ )=cos l ， )+i sln~exp(一 ) q)

 

+ sin 2exp(一i )ΣL~exp(一 n )c0s( ^n)ln+ )

 

k 叫 ]1

3 场 熵

场熵可以通过场的约化密度算符来定义【“

 

曲(￡)=一T ，扣，(￡)1n( ，(i)))

 

因而，场熵可由场约化密度算符的本征值 来计算

为求出 ，可将场约化密度矩阵本征函数写为

 

l ，)= G)+ l

 

则由(9)式可得

 

P，(f)l ，)=((Clc)+(cIs) )川c)+((sI )+(sIc) ) Is)

 

其本征值为：

 

= <ClC)+(cls) =(sis}+(slc)

作如下代换：

 

(ClS)-l(cls) xp( 1

 

=sinh (x)

 

一x ( )

x= 丽((∞I) (sI

 

!：exp(士 )·exp( ／ )

p卜z ／2) =4-

 

则场约化密度矩阵的本征值和本征函数为

 

= <clc}4-ex )l(cls)l=<SIS)4-cxp(+5)l(CF>

= {(( f }+ f )-k{ ((cf )一( i ) +~I(cls}I J

- ，。赢{f [ c 1]]C}~-exp[一i1(i ± )]ls))

 

fl01

 

(12)

 

(13

 

(I4)

(15)

(16)

 

(171

 

— — — — — —

 

— ～ 量 至 鱼 至 堂 13卷

以下对(12)式决定的场熵的时问演化函数进行数值计算，并具体给出分析讨论结果

 

4 讨 论

如图1 4中展示了部分参数 、口、 以及相对位相 ： + )为不同值时

 

间， 场熵的时

演化

 

4

 

I

r

 

_

 

围1 场熵 ，(t】的时间演化( ：0

 

． 2． =0)(a】 ：0(h1 =5(c) =10

围2 场熵 ，㈣的时间演化( 一Ⅱ． 7、目：0】( ) 一0III]口=5(c) ：10

1j原子处于激发态 =0)时， l、口值对场熵的影响 图L一3)。

⋯．

 

图 ( 卜。( )中，口 0(模态为双模压缩真空态)， 值分别为O

 

．2、O．7、0．9。由图中可见：场熵演

化呈现有规律的周期性振荡。在原子反转的再生时问及其1／2时捌( ：

 

、 ： f +{1 、

)，场熵出现最小值，此刻，场和原子几乎回到纯态；在 ： +{1 、 f + 1 ，

 

场熵达到最大值0 3，场态处于统计混合态，此时通过对原子的 测

 

， 最大限度、地获 于

孥的信息。随着 l值的增大， = 处的场熵最小值逯渐增大，出现在 和《处的两个峰

 

一

 

一

 

川Ⅲ叫 一

 

第1期 刘 翔等： 飙合SH((1．1)相干态双模Jaynes-Cummlngs模型中的场熵 17

图3 场熵s，(z)的时间演化( =0．9．口=o)(n)口=0(b) =5(c)目=10

 

图4 场熵 ( )的时间演化 =0．口=；， =0)(a) =0．2(b) =0．7(c) =o,9

 

由图1(b)～3(b)、图1(c)~3／c)中 值分别为5、lo)， 值越大，场熵演化越具等幅周期性

振荡，出现最小和最大的时间与 =0的情形基本一致。上述这些情形与单模双光子J c模型场

熵的演化完全不同[ -．- 然而，单模J—c模型双光子过程中的原子反转演化IS]与本文所研究的

模型中[61的较为相似，这说明：场熵比原子反转更能反映场与原子之间的耦合特性，困为场熵

包含了约化密度矩阵的高阶统计矩。

2)原子处于相干陷阱态(0=吾，卢=( + )=0)时， 、q值对场熵的影响。

图4(a)～4(c)中， q-O、 值分别为0．2、0．7、0 9，由图中注意到，这三种情形下的场熵特

性分别与图L(a)～3(a)中呈现的现象极为相似，但振荡振幅要小些，特别当 =0．9时，振幅尤其

小(见图4(c))。我们的计算结果还表明， 不为零时， 值对场熵有同样影响，从上述分析来

看，很显然，当原子处于相干陷阱态(0=；．卢=0)且 一1时，场熵为零，原子与场将处于退

 

缠绕的纯态。

 

＆ ● 1 一

 

l8 量子电子学 13卷

 

参 考 文 献

 

l Phoenix S J D，Knight P L．Phys．Rev．，1981，A44：6923~6029

 

2 Fang Maofa，Zhou Guanghui．Phys．L ．，1994，A184(1)：397~492

 

3 Gea-Banacloche J．Phys．Rev．，1991

 

，

 

A44：5913~593l

 

4 DungⅡT，Huyen N D．Phys．Rev．，1994，A49((1)：473~489

5 Gerry C C．J．Opt．Soc．Am．．1991，B8(3)：685~69fl

6 Gerry C C，Welch IL F．J．[Ip ．Soc．Am．，1992，B9(2)：290~297

7 Zaheer K，ZubMry M s．P^ ． ．．1989，A39(4)：2900~2004

8 周聃．胡志林，彭金生光学学报．1990，19(9)：837~844

 

Evol ution of Field Ent ropy of a Two—Mode Jaynes．Cummings

 

Model Interacting with Correlated su(z，1)Coherent State

 

LiuXiang Fang M aofa

 

(Department of Physics，Hunan Normal University Changsha 410081)

 

Abstract

 

In tifs paper．the evolution of the field entropy of a two—m ode J—C modal in—

 

teracting with correlated su(1，1)coherent state is investigated The influences of the

 

parameter of the field state mad the relative phases between the atomic superposition

 

state and the field state on the evolution of the field entropy is discnssed It is shown that

when the relative phase equals 2ero and the field state param eter 1，the atom and

the field are in a di sentangled pure state．

 

Key wo rds：correlated suo】1)coherent state two—mode two—photon J-C model，field

 

entropy,atomic coherent trapping state

 

刘 翔 女． 30岁。讲师。19BB年研究生毕业后任教于潮南师范大学物理系至每从事光学、原子物理等科目的

 教学和实验工作。