Monday, April 1, 2013

概率分布和效用函数是决策分析的两大基础 ,

Vol. 23 No. 4
概率分布和效用函数是决策分析的两大基础 ,
布和效用函数是决策分析的两大基础



控 制 与 决 策





Control and Decision





 2008 年 4 月





   Apr. 2008
收稿日期 : 2007201207 ; 修回日期 : 2007204228.
基金项目 : 国家自然科学基金项目(70372011 ,70671006 ,70701003) .
作者简介 : 周荣喜(1972 ) ,,江西崇仁人 ,讲师 ,博士 ,从事决策理论等研究 ; 刘善存 (1965 ) ,,河北衡水人 ,
教授 ,博士生导师 ,从事投资决策等研究.
  文章编号 : 100120920 (2008) 0420361206




熵在决策分析中的应用综述





周荣喜1 , 刘善存2 , 邱菀华2





(1. 北京化工大学 经济管理学院 , 北京 100029 ; 2. 北京航空航天大学 经济管理学院 , 北京 100083)





摘 要 : 基于熵在自然科学和社会科学及其交叉学科的研究中具有独特的优势 ,介绍了熵在决策分析的主要研究领
:概率分布、效用函数Bayes 决策、多目标决策、群决策和其他决策问题中的应用现状及其研究成果 , 并对其未来
的发展方向进行了探讨与展望.
关键词 : ; 概率分布 ; 效用函数 ; Bayes 决策 ; 多目标决策
中图分类号 : C934     文献标识码 : A




Survey of applications of entropy in decision analysis





ZHOU Rong2xi1 , L IU Shan2cun2 , QIU Wan2hua2





(1. School of Economics and Management , Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China;
2. School of Economics and Management , Beihang University , Beijing 100083 , China. Correspondent : ZHOU Rong2
xi , E2mail : zrx103 @buaa. edu. cn)
Abstract : Entropy is especially suitable to nature science , social science and their intercross disciplines. Therefore ,
applications and results of entropy are introduced in decision analysis, such as probability distribution, utility
functions, Bayesian decision, multiobjective decision, group decision and other decision problems. And further
applications and research directions are discussed in detail.
Key words: Entropy; Probability distribution; Utility functions; Bayesian decision; Multiobjective decision




1  引  言





  Shannon[1] 于 1948 年提出信息熵概念 ;
Jaynes[2] 于 1957 年提出最大熵原理 ,又称最大熵方
法或极大熵准则. 在随后的半个世纪里 ,熵在自然科
学和社会科学领域中均得到广泛的应用. 如果以篇
名为检索项 ,以熵为检索词 ,仅在 1997~2006 年的
中国期刊全文数据库中可检索到的文章达 2 443
篇 ,并且近几年呈明显增长的趋势.
  本文在查阅国内外有关文献资料的基础上 ,仅
对熵在决策分析的主要领域中的应用状况进行综述
分析 ,并对其今后的研究方向进行探讨.




2  熵在决策分析中的应用



案中找出一个能满足一定目标的合适方案. 概率分
  决策分析是研究不确定性决策问题的一种系统
分析方法 ,其目的是改进决策过程 ,从一系列备选方
布和效用函数是决策分析的两大基础 , Bayes 决策、
多目标决策、群决策是决策分析的主要研究领域 ,熵
在这些方面均有着广泛的应用.
2. 1  概率分布
  对于给定的随机变量 ,如何获取最为合适的概
率分布 ?Jaynes[2] 于 1957 年提出应该按照最大熵原
理(MEP) 选取在一定约束下使得熵能最大化的那
种概率分布作为待选的分布 ,并且指出这是可以作
出的惟一的不偏不倚的选择 ,即该分布 P 是下列规
划问题(ME) 的最优解 :
max H( P) = - log(d P( x) / dx) d P(x) ,
s. t.d P( x) = 1 , d P( x) ≥0;
  ξk ( x) d P( x) = μk , k = 1 ,2 , .
  1978 年 ,Aida 等[3 ] 基于最大熵原理给出了不同
连续概率分布的熵值. Alexis[4 ] 研究了对于任意概
率分布的期望熵值. Thomas[5 ] 通过对 ME中的矩约
束加入上下限 ,从而对具有部分关于自然概率空间
的先验信息的不确定性决策问题提出广义最大熵原
. Kesavan 等将 MEP 和文献[6] 的最小鉴别信息


   控   制   与   决   策
第 23 卷
原理(交叉熵原理) 作了进一步推广[7 ] .
  文献[8211] 研究了不同条件下求解最大熵密
函数的算法. 为了提取决策者关于决策情况的不
确定性信息的联合概率分布 ,Abbas[12 ] 提出一种基
于最大熵方法的利用低阶联合概率估计来获取联合
概率分布的有效途径. Michael 等[13 ] 首次给出已知
四阶矩约束条件下 ,估计偏度和峰度的最大熵方法 ,
并应用于具有时变偏度和峰度的 GARCH 模型中.
2. 2  效用函数
  在决策理论中 ,决策人对后果的偏好次序是用
效用来描述的 ,因此效用函数(价值函数) 是决策分
析的研究基础.Barron 等[ 14 ] 基于最大熵给出一个计
算加性多属性价值模型灵敏度的简单方法. 在此基
础上 ,Soofi 等[ 15 ] 将加性多属性价值模型中的基于
熵的近似等权推广到极小鉴别信息权重. 姜丹等[ 16 ]
定义并构造了效用风险函数效用风险熵的函数
达式 ,分析其主要数学性质 ,阐明效用风险和效用
险熵作为客观状态和决策行动方案的效用风险测度
函数的合理性.Lehrer 等[ 17 ] 通过引入相对熵的概
念 ,研究一个代理人面对序贯决策问题 ,给出了决定
代理人最终是否学会优化自身效用的相对熵形式的
表示条件.
  真正意义上用熵理论研究效用函数还是近几
年. Candeal 等[ 18 ] 研究发现经济学中效用的表示与
热力学中熵的表示之间存在惊人的相似性.
Abbas[ 19 ] 对于决策分析中的一个有序展望集 ,基于
信 息 论 和 熵 给 出 了 一 个 获 取 von
Neumann2Morgenstern 效用值的最优问题选择的
算法. 随后 ,Abbas[ 20 ] 又通过引入效用密度函数
概念 ,提出用最大熵原理确定效用值的新方法 ,并且
基于决策者的偏好行为 ,研究了最大熵效用的含义 ,
给出了应用实例. Yang等[ 21 ] 提出期望效用2熵风险
测度 , 建立基于期望效用 2 熵的决策模型 , 利用该
模型解决了一些著名悖论 , 如 Allais 问题.
Darooneh[ 22 ] 研究多代理保险市场 ,发现通过最大熵
原理得到价格密度函数与通过最大化效用函数得到
的价格密度函数相似的结论.
2. 3  Bayes 决策
  随机性决策问题的基础是设定自然状态的概
率分布和后果的效用函数 ,如果仅仅依靠决策者的
经验对自然状态的先验分布作主观估计 ,其精度远
远不够 ,因此需要通过随机试验去获取自然状态的
信息以修正其先验分布.Bayes 定理提供了一种实
施方法. Bayes 决策就是以 Bayes 定理为工具研究
决策中的概率修正、信息的价值等问题[23 ,24 ] .
  针对传统的 Bayes 决策 ,仅依据信息的费用而
没有考虑信息的准确度以致产生了一些不合理的现
象 ,顾昌耀等提出复熵的概念 ,定义了传递熵 ,并用
其来度量信息准确度 ,使得 Bayes 决策更加客观、合
[ 25 ] . 文献[26 ,27 ] 对此作了进一步改进 ,从而解决
了在后验分布熵相等的情况下传统 Bayes 决策方法
仅依据费用未能解决的问题 ,提高了 Bayes 决策的
准确度. [28] 研究了在拥有先验信息的情况下是否
进行抽样调查这一决策问题 ,提出一种用传递熵进
行事前决策的方法. 在此基础上 ,[29] 得到Bayes决
策中抽样信息的最大期望收益值的新计算公式 ,讨
论了不同准确度抽样信息的条件熵、信息量等性质.
Vetschera[30] 研究决策分析和信息理论中所形成的
度量信息价值方法之间的相似性 ,分析了信息论中
的熵测度在决策分析中的作用. [31] 从信息灵敏
度、价值灵敏度和准确度 3 个方面对信息进行全方
位的比较 ,从另一角度解决了如何判别信息优劣的
问题. [32] 对此作了进一步改进. [33] 针对指数分
布情形 ,分别在平均失效率和失效率分位数的多元
先验信息下 ,讨论了共轭最大熵先验下的 Bayes 估
计问题.
2. 4  多目标决策
  熵用于多目标决策基本集中在 2 个方面 :最大
熵原理用于决策变量是离散的多属性决策 (有限个
方案的多目标决策) 和决策变量是连续型的多目标
决策.
  熵在多属性决策中的应用主要体现在用最大
熵方法确定属性的权重. 文献[14 ,15] 在研究确定
型多属性价值函数时提出用基于熵最大化方法计算
属性权重. 文献[ 34 ] 建议在或的水平 (orness) 测度
一定的情况下 ,利用最大熵方法计算有序加权平均
(OWA) 集结算子的权重. Filev 等[ 35 ] 利用最大熵
方法获取 OWA 算子的权重 ,并得到权重的解析形
式. 而 Fuller 等[ 36 ] 利用拉格朗日乘子方法 ,通过求
解一个约束优化问题得到一个多项式方程 ,从而得
到极大熵 OWA 算子的权重向量. Majlender[ 37 ] 进一
步对于任意或的水平提出一类具有最大 Rényi 熵的
参数化有序加权平均算子.Liu[ 38 ] 提出一类特殊的
满足最大熵原理的参数化加权函数. Kojadinovic[ 39 ]
等在研究基于 Choquet 积分的多属性决策的集结过
程中 , 拓展了熵概念 ,证明了依据 Choquet 积分 , 熵
测度具有非常合理的解释 , 并且满足许多自然性
质.
  国内方面 ,文献[ 40 ] 从相对熵的概念出发 ,给
出了AHP中权重的一种新的计算方法 ,并提出将相
对熵作为判断矩阵是否近似满足一致性条件的一个
指标. [41] 基于熵原理 ,给出 6 种确定判断矩阵一致
263


第 4 期
周荣喜等 :熵在决策分析中的应用综述    
性的熵方法. 尤天慧等[ 42243 ] 针对属性值以区间数形
式给出的不确定性多属性决策中确定属性权重的问
题 ,提出了一种区间数熵权的确定方法 ,并给出一种
确定区间数熵权的误差分析方法. [44] 以优化理论
和最大熵原理为依据 ,给出了一种系统评价指标综
合赋权方法 ———线性组合赋权法. [45] 提出了基于
广义最大熵原理和遗传算法的多指标赋权方法.
  此外 ,文献[ 46 ] 提出了决策分析中一类极大熵
问题的求解算法. 孙棣华等[ 47 ] 提出采用相对熵作为
定量描述决策属性的均衡性的指标 ,并将其应用于
对线性迭加映射模型的修正 ,给出了适用性更广的
基于相对熵的均衡性评价映射模型. 文献[ 48 ] 对于
状态空间为连续型随机变量的不确定性决策问题 ,
运用最大熵原理将其转化为风险型决策问题求解.
  关于熵用于决策变量是连续型的多目标决策
问题 ,主要体现在将最大熵方法用于多目标优化问
题的求解算法. 文献[ 49 ] 研究了多目标 Minimax 问
题的极大熵方法的构成 , 在较弱的条件下证明了极
大熵方法导出的多目标逼近问题的 Fritz2John (FJ)
点列的任一极限点均为原多目标 Minimax 问题的
FJ 点. [50] 讨论了双层多目标决策问题 ,提出将上
层转化为极大熵问题求解 ,下层进行有效性检验 ,并
给出了迭代算法. [51] 采用极大熵解法 ,将多目标
规划转化为一般的可微规划 ,再采用遗传算法求解
多目标规划. [52] 根据多目标优化的基本原理 ,结
合极大熵函数的基本性质 , 提出求解目标规划问题
的极大熵算法 , 并证明了该算法的收敛性. [53] 依
据最优化理论中的 KKT互补条件 ,建立了广义支持
向量机的无约束优化模型 ,并给出了一种有效的光
滑化近似解法的极大熵方法 ,为求解支持向量机优
化问题提供了一种新途径.
2. 5  群 决 策
  对于群决策问题 ,熵主要是用来集结群决策者
的决策信息. 1994 年 ,Levy 等[ 54 ] 基于最大熵推断得
到集结将来事件结果观点的几个公式 , 并且与
Bordley 集结公式进行比较 ,结果表明 ,最大熵方法
能充分利用更多的已有信息. 文献[55] 对专家关于
不确定事件结果的预测的观点集结提出了一个极大
熵框架. [56] 应用拓展熵的概念研究了群组决策支
持水平、个体决策可靠性理论及其应用问题 ,得到水
平和可靠度测度的公式和算法. [57] 针对[56] 中的
专家间的合作程度无法度量 ,对最终决策产生二义
性等问题无法解决 ,提出一种新的群决策系统 - 合
作决策群 ,从理论上证明了决策群模型的有效性 ,
并给出了求解算法. [58] 从相对熵的概念出发提出
了求解群决策中由个体偏好评判值集结群体偏好评
判值的新思路 , 建立了能够集结不同专家偏好评判
值为群体一致或妥协偏好的相对熵模型 , 并给出了
相对熵算法有效性的理论证明及算例. [59] 基于相
对熵概念 ,提出了一种基于不同偏好信息的相对熵
最优化的集成模型 ,给出了模型的解 ,并证明了该集
成方法的有效性.
2. 6  其他决策
  张歧山等[ 60 ] 基于灰熵理论 ,给出了量化不确
定型决策的新方法 ,该方法具有无需补充信息的优
点. 随后 ,张歧山等[ 61 ] 又引入灰熵及灰关联概念 ,给
出了灰熵关联度的定义 ,得到了一种灰关联分析的
新方法. 文献[ 62 ] 给出了一种基于信息熵的决策树
决策树分枝合并算法. [63] 通过运用马尔柯夫信源
熵在刻划随机过程方面的优势 ,实现了航天型号研
制经验不确定性的量化. [64] 建议应用信息熵和其
他熵指数来度量马尔可夫决策的复杂性 ,提出了一
套基于信息理论的复杂性度量方法. 米传民等[ 65 ]
造了基于熵权的灰色定权聚类评估方法的算法等.




3  发展与展望





  爱因斯坦曾称熵定律是整个科学的首要法则.
的确 ,仅决策分析这一研究领域 ,熵就得到了诸多成
功的应用. 从已查阅的文献看 ,国外研究大多集中在
决策分析的两大基础领域 :概率分布和效用函数. 国
内在熵 2Bayes 决策专题研究中取得不少成果 ,但更
多的研究还是偏重于应用. 由于熵是一个既简单又
复杂的工具 ,对于其在决策分析中的应用仍有许多
具有挑战性的问题 ,未来的研究工作可考虑从以下
几个方面展开 :
  (1) 用最大熵原理研究概率分布这一主题至今
仍是方兴未艾. 从 Laplace 等概率准则是最大熵原
理的特例到现在的已知多阶矩约束条件下求其概率
分布. 预计今后的研究偏重于两个方面 :研究不同约
束条件下最大熵概率分布的求解算法和基于熵的多
变量联合概率分布的确定问题.
  (2) 风险与效用是决策分析中两个密不可分的
概念 ,而熵是不确定性的最佳度量 ,因此用熵来度量
风险 ,求解效用函数仍是一个合理的研究思路. 近期
的研究成果[19221 ] 就是一个很好的证明. 将熵用来研
效用函数和风险态度 ,尤其是与不确定性决策新
理论(展望理论或前景理论) 相结合是一个具有挑
战性的创新方向.
  (3) 熵2Bayes 决策研究主要集中在用熵度量信
息价值和衡量信息准确度. 由于人们获取的先验信
息的有限性和不准确性 ,该主题仍将是 Bayes 决策
中的一个重要方向 ,更进一步的研究可考虑与多阶
段动态决策相结合.
363


   控   制   与   决   策
第 23 卷
  (4) 熵用于确定多属性决策中的权重 ,从属性
值实数型到区间型 ,从 Shannon 熵到 Rényi 熵 ,从实
数权重到参数化加权函数. 可以预计 ,对于现代多属
性语言决策 ,熵也将是一个良好的工具. 对于熵用于
多目标决策 ,主要还是集中在应用最大熵原理研究
多目标问题的求解. 近期的研究趋势表现为最大熵
原理与其他方法的结合 ,如将熵与遗传算法等结合 ,
体现了集成创新的思想 ,该思路也将成为今后研究
的一个方向.
  (5) 对于群决策问题 ,主要是用相对熵来集结
信息. 更有意义的研究是探讨如何用相对熵来解决
复杂大群体中的个体决策过程的信息集结问题 ,以
及与前面的专题结合来解决群决策中的组织结构合
理性、稳定性、有效性等问题.
  此外 ,熵用于决策树、马尔可夫决策等方面的
研究也将成为熵决策分析的研究方向. 更有意义的
研究是将熵与其他方向 ,如行为科学等相互结合 ,共
同解决决策分析中的理论问题 ,并最终在实践中发
挥作用.
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663


第 4 期
沈 青等 :基于区间代数方法分析嵌入式系统抖动的稳定性    
样周期 hk [1. 4 ,1. 6] s内运行稳定. 图4所示为在
Truetime 仿真平台[11 ] 下电机的阶跃响应.




6  结   论





  本文讨论了嵌入式系统中抖动对系统稳定性能
的影响 ,对任务属性可变的控制系统进行稳定性分
析. 对抖动在一定范围内变化的闭环控制系统提出
了稳定性判据 ,该判据基于区间代数分析方法 ,采用
区间数描述不确定动态结构参数 ,将非确定性的稳
定性分析问题完全转化为确定性问题进行求解. 该
方法避免了嵌入式系统抖动稳定性分析时要求任务
作业参数预知及复杂的计算过程 ,通过对单个矩阵
范数的判断得到一个保守的充分性系统稳定性判
据.
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