达朗贝尔方程 对称性:变化的电流产生矢势波动,电荷则产生标势波动

对称性:变化的电流产生矢势波动,电荷则产生标势波动

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第五章 电磁波的辐射

    5.1电磁势和规范变换
    由麦克斯韦方程组

,

                                 ,           (5.1)
可用矢势A和标势描写电磁场：

 ,                     (5.2)

但由于时变电场E并非无旋场,因而标势已失去静电势能含义.下述变换

,              (5.3)

称为规范变换,这种变换保持E与B不变,即规范不变性,其中是任意标量场.这表明,用势描写电磁场时可以有许多选择.原因在于(5.2)中,只给出了矢势A的旋度,没有规定其散度,故A未确定.对的每一种选择为一种规范.库仑规范

                        (5.4)

限定A为无散场(横场),在此规范下,将(5.2)代入麦克斯韦方程组(5.1),得

                                                   (5.5)
 E的横向部分由A描写,纵向部分(库仑场)则由 描写.在洛伦兹规范

                      (5.6)

下,A和遵从达朗贝尔方程

                                              (5.7)

这组方程表现出对称性:变化的电流产生矢势波动,电荷则产生标势波动.
   5.2推迟势和辐射场
    达朗贝尔方程的解为推迟势

              (5.8)

             (5.9)

其中r是源点到场点的距离,由于真空中电磁波的传播速度为c,故场点上势的变化滞后于源的变化,即t时刻场点的势决定于时刻辐射源的状态.当电荷电流以角频率振动

 ,                 (5.10)

由电荷守恒定律,有 ,可知给定了电流分布J ,也就给定了电荷分布,因此矢势

                            (5.11)

                        (5.12)

可以完全地确定电磁场.相因子表示电磁波从源点传到场点时,相位变化了, 波数.任意点的场强为

,                        (5.13)

(5.11) ～(5.13)是计算辐射场的基本公式.时变电磁场在如下三个区域中有不同的特点：
   (1) 近区: , ,相因子 ,故近区的场为似稳场,电场近似于静电场,磁场近似于稳恒磁场,场强E和B均, 是从坐标原点到场点的距离.近区的场与带电系统的电荷电流分布互相制约.
   (2) 远区: , ,此处的场主要是横向的辐射场:

,                (5.14)

场强,波矢量,是坐标原点到场点方向上的单位矢量.
   (3) 感应区:,似稳场与辐射场有相同的数量级.
   5.3辐射场的多极展开
    当电流分布区域的线度, ,将(5.11)式作多极展开,得

                     (5.15)

第一项是电偶极辐射,第二项包括磁偶极和电四极的辐射,略去的各项为各高级多极矩的辐射.电偶极辐射场为

                       (5.16)

,      (5.17)

当电偶极矩,为电矩振幅,平均辐射能流为

             (5.18)

因子描述了辐射的方向性(角分布).辐射功率为

                   (5.19)

在(5.17)～(5.19)中,作代换,,,可得到磁偶极辐射公式

 ,        (5.20)

                (5.21)

                                 (5.22)

定义矢量,电四极的辐射场为

                          (5.23)

,            (5.24)

         (5.25)

                                            (5.26)
   5.4电磁波的衍射

    当电磁波遇到障碍物或小孔时,将发生衍射.经典光学把光波面上的每一点,都看成是可以发射子波的次级光源,向前传播的光波是所有子波的叠加.场强的任一直角分量,以及作为次级光源的波面每一点上的格林函数,分别满足方程

                    (5.27)

          (5.28)

于是由格林公式(附录Ⅲ.5式),在区域V内任一点上,有

           (5.27)

   这便是基尔霍夫公式,它是讨论衍射问题的基本公式,其中是方程(5.28)的解,表示从S每一点向场点传播的子波,n是V的界面S指向内部的法向单位矢量,上式假定S上的值及其法向导数是已知的,或者可以作出近似估计.
   当电磁波从无穷大屏幕中的小孔通过时,设小孔处入射波为平面波,入射波矢为,振幅为,出射波在屏幕上的值,,由(5.27)式得衍射波的表达式

              (5.28)

其中R是小孔中心即原点到场点的距离,是小孔面上任一点的位矢,衍射波矢,和分别是和 与孔面法线的夹角,积分对孔面进行.
   5.5电磁波的动量和动量流
    真空中电磁波的能量密度,动量密度和动量流密度分别为

                   (5.29)

                          (5.30)

                                  (5.31)

 是波传播方向的单位矢量.利用动量流密度可以计算电磁波对物体表面的辐射压力:

                         (5.32)

n是物体表面外法向的单位矢量.

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