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博客李淼
一个好的博客最重要的我觉得除了建设者就是其发言的人了,好的发言可以引起相互间的共鸣.
下面是选自该博的一些文章与评论:
关于熵（1）
最近Tom Banks写了一篇关于宇宙初始条件的文章：
Entropy and initial conditions in cosmology
这是传统的arXiv，该文自然也能在另一个看起来更加先进的镜像看到：
eprintweb
熵这个概念也许是物理学中最重要的概念之一，应该和类似能量、粒子这些概念一样重要，在物理学的发展中起到非常重要的作用。
Banks这篇文章的风格一如既往，用只有Banks本人才能欣赏的方式告诉大家他是如何思考的，读者如果没有一定背景，不重复地思考，肯定不明白他在说什么。他的前学生Motl最近写了一篇博文论证前导师讨论的这个问题根本不是一个问题。虽然Motl还是那么不留情面，我基本上同意他的观点。
我们后面有工夫再来讨论Motl的观点，先来回顾一下什么是熵。
熵这个概念的引进应该是Rudolf
Clausius，他也给出热力学第二定律的第一个明显的表述。熵的最早定义当然是热力学中的定义。人们发现如果两个有着不同温度的物体接触，热一点的那个物体的温度会降低，冷一点的那个物体的温度会提高，这是热力学第二定律最简单也最常见的现象。如果我们假定较冷的那个物体吸收了热量，那么较热的那个物体就释放出热量，这个热量相等。很明显，如果我们定义总体系熵的改变是
其中是那个较低的温度，是较高的温度，取为较低温度物体吸收的热量，那么熵的改变总是正的。这样，就基本熵定义了每个物体熵的改变：
其中是物体的温度。
在统计物理中，Boltzmann第一个引进熵的定义。如果一个经典物体的宏观状态占据了微观状态相空间的一定体积，那么该物体的统计熵就是，这里，我假定温度的单位也是能量，所以Boltzmann常数取1。这个熵，除了一个未定的常数外，等于热力学中定义的熵。
在Boltzmann的时代，熵的定义中有一个常数不能确定，这本质上归结为相空间体积的单位不能确定。有了量子力学以后，由于Planck常数等于两维相空间面积的单位，所以我们将相空间除以Planck常数的一定幂次，就能确定熵的绝对大小。这里有一个简单的物理原因，在半经典近似下，就是这个相空间体积所对应的量子态的个数。
这样，热力学第二定律就很容易理解，一个孤立体系的宏观状态所占的微观相空间体积总是随着时间而增长，至少不会减少。在直观上，没有比这个更自然的了，随着时间增长，物体的微观状态总是变得越来越“普通”。例如，一个杯子被摔到地上，水溅开来，杯子打碎了，这是常见的现象。我们很少看到一个打碎的杯子会自动收集流散在地上的水，然后自动跳到人的手中。也许，我们中国人作出了五大发明而不是四大发明，朱买臣同学在很久之前就给出了热力学第二定律的表述：覆水难收。同样，一个鸡蛋只会被打碎，一个煎好的鸡蛋不会将热量释回去，然后渐渐变成打碎前的生鸡蛋。这是热力学第二定律，学前班的小朋友都会明白的道理。
从量子力学的角度，我们更加容易理解热力学第二定律。热力学第二定律在这里说，一个物体宏观状态对应的微观量子态的数目不会随着时间而减少。这是因为，不同量子态之间有着或多或少的联系，随着时间的增长，量子跃迁使得该系统访问越来越多的量子态。
那么我们问，为什么整个宇宙不处于一个最大熵状态？为什么有熵增长的现象？这个问题等价于，为什么宇宙在前一刻的状态总是比下一刻的状态特殊？这是在追问热力学第二定律的起源。任何一个学过统计物理的同学都会自然地问这个问题，因为无论在经典力学还是量子力学中，物理定律是时间反演不变的，也就是说，物理定律本身不能用来判别时间的方向。
对于这个问题的终极回答是，因为宇宙起源于一个非常特殊的状态，也许是一个熵等于0的状态。就是说，我们日常见到的生老病死等一切不可逆现象都可以归结为宇宙的零熵起源。
比如说，我们可以问，科学为什么能够进步？回答是，社会在进步。我们继续问，社会为什么能够进步？回答是，人在不断出生和死亡。我们继续问，人为什么能够出生和长大？回答是，人在消费周围的物体的能量使得周围的体系的熵增大。我们继续问，我们为什么能够消费周围的能量？回答是，我们可以通过各种不可逆过程提取周围的能量，如通过水从高处流到低处来发电。我们继续问，为什么水能够从高处流到低处？回答是，因为地球上水可以通过蒸发和下雨来循环。我们继续问，水为什么能够蒸发？回答是，通过消耗太阳的能源，同时太阳的熵在增大。我们继续问，太阳为什么能够产生能源？回答是，太阳通过引力塌缩引爆核反应产生能源。我们继续问，太阳的引力塌缩怎么来的？……等等，这些问题最后归结为整个宇宙起源于一个非常特殊的状态。
我相信，每一个类似的涉及热力学第二定律的问题经过也许不超过20次提问，最终都归结为宇宙的起源。这很象一个古老的游戏，参加游戏的人被允许提问不多的次数而将最终的答案找出来。
我们绝大多数人都会满足于这个最终答案：宇宙起源于一个特殊状态。在这个起源之前发生了什么，我们不应该再问了。
在基督教中有这么一个说法，上帝在7天之内创造了整个世界，如果谁胆敢问上帝在创世之前做了什么，或者上帝是谁创造的，那么上帝在创世之前为胆敢问这个问题的人准备好了地狱。
Penrose是一个准备下地狱的人，他的一个著名问题就是，宇宙为什么起源于一个熵几乎为0的状态，并且，在引力中，熵小的状态往往对应于Weyl曲率小的状态，他的问题可以这么问：宇宙为什么起源于一个Weyl曲率非常小的状态？
Banks似乎不忍心眼看着Penrose下地狱于是他代替上帝回答了Penrose这个问题。
待续……
附录，网上几个百科全书熵的定义（节选）。
Wikipedia:
In thermodynamics, entropy is an extensive state
function that accounts for the effects of irreversibility in thermodynamic
systems, particularly in heat engines during an engine cycle. While the concept
of energy is central to the first law of thermodynamics, which deals with the
conservation of energy, the concept of entropy is central to the second law of
thermodynamics, which deals with physical processes and whether they occur
spontaneously. Spontaneous changes occur with an increase in entropy. Entropy
change has often been defined as a change to a more disordered state at a
microscopic level. In recent years, entropy has been interpreted in terms of the
“dispersal” of energy.
Science and Technology Encyclopedia
A function first introduced in classical
thermodynamics to provide a quantitative basis for the common observation that
naturally occurring processes have a particular direction. Subsequently, in
statistical thermodynamics, entropy was shown to be a measure of the number of
microstates a system could assume. Finally, in communication theory, entropy is
a measure of information. Each of these aspects will be considered in turn.
Before the entropy function is introduced, it is necessary to discuss reversible
processes.
Technology
Disorder or randomness. In data compression, it is a
measure of the amount of non-redundant and non-compressible data in an object
(the amount that is not similar). In encryption, it is the amount of disorder or
randomness that is added. In software, it is the disorder and jumble of its
logic, which occurs after the program has been modified over and over.
Britannica
Measure of a system’s energy that is unavailable for
work, or of the degree of a system’s disorder. When heat is added to a system
held at constant temperature, the change in entropy is related to the change in
energy, the pressure, the temperature, and the change in volume. Its magnitude
varies from zero to the total amount of energy in a system. The concept, first
proposed in 1850 by the German physicist Rudolf Clausius (1822–1888), is
sometimes presented as the second law of thermodynamics, which states that
entropy increases during irreversible processes such as spontaneous mixing of
hot and cold gases, uncontrolled expansion of a gas into a vacuum, and
combustion of fuel. In popular, nontechnical use, entropy is regarded as a
measure of the chaos or randomness of a system.
负熵
2007年1月21日, 星期天 22:12:49
“我们日常见到的生老病死等一切不可逆现象都可以归结为宇宙的零熵起源”
–“宇宙的零熵起源”能解释不可逆现象吗？零熵起点说明时间存在一个特殊的起点，而它并没有预言关于起点之后的物理过程。这就好比在量子力学中给出了熵的确定值却无法解释熵的时间演化一样。同样的我可以在此基础上问：为什么在盘古之后宇宙的熵总是大于而不再等于零。
如果假定方程本身与不可逆都成立的话，那么问题的关键就只可能在于–所有物理方程被忽视的边界条件。在不存在有限边界的方程中总是假定了一个无穷远取零的边界条件。这在热力学的反映是：宇宙到底是一个开放的，还是封闭的热力学体系。
—呵呵，弱问，李老师见笑了。
上个学期我就这个问题问过老师，不过他好像不是很关心。
李淼
2007年1月21日, 星期天 22:27:06
负熵：
熵总是不减小的，所以要解释熵增大就是要解释过去为什么会小，这就归结为最初态为什么很小，我希望这个博文已经说清楚了。至于人们会问将宇宙的时间反演，就有熵减少的情况发生，为什么没有发生？我后面会谈到记忆和时间箭头问题。如果宇宙开始处于最大熵状态，类似我们宇宙的未来的那个状态，随着时间演化，熵也不会减少。
至于预言，那是物理定律的事，不是初始条件的事。如果初始态特殊，我们的物理规律预言熵增大，增大的方式依赖于具体过程，如暴涨理论预言熵增大得很多。
宇宙假定是一个封闭系统，不是开放系统。
懒猴319
2007年1月22日, 星期一 15:11:06
have you heard the song “change of wind” by
Scorpion?
Now Scorpion comes this week, and you likely can not
make
any wind!
postech
2007年1月22日, 星期一 15:21:31
李老师，从量子力学几个基本假设可以证明热力学第二定律嘛，我觉得量子力学讲的系统是么正演化的，所以量子力学本身不存在时间箭头
李淼
2007年1月22日, 星期一 15:32:20
懒猴319：
没有听过，刚才查了一下，应该是wind of change吧？“you likely cannot
make any wind”是什么意思？不会有任何改变？我觉得这也是一种结果。
不论结果如何，it is none of my
business。我首先是科大的教授，正如很多科大的同事在公开场合所说的。科大同事的这种态度是我成为科大教授的原因之一。
postech：
热力学第二定律是一个宏观定律，任何一个微观态的熵为零，所以我们知道的物理一般不会有时间箭头（除了有一点点CP破坏，但效应太小了）。但我们不知道具体的微观态，而用宏观态代替的时候，热力学第二定律就能够被导出，这主要不是因为微观定律，而是因为统计。我在下一个博文里再仔细解释一下吧。
susy
2007年1月22日, 星期一 17:01:50
一旦问题牵扯到初条件，就到达了物理学的边界。这大概是上帝和物理学家开的一个玩笑，从初条件出发根据物理定律做出预言是物理学家的自由王国，然而设定初条件的魔杖却始终握在上帝手中。至于为什么初值会是这样的，我们只能尽可能的去理解或者说揣摩上帝的心思。“帝王心术”是那么好猜的吗？人择原理就是一个无奈的产物，不过至少还有些可取之处。如果那天上帝跑出来说：“老子就愿意这么设初条件！”（当然上帝大概不会骂人
）物理学家也毫无办法。毕竟“主权问题不是一个可以谈判的问题”。
susy
2007年1月22日, 星期一 17:02:33
终于成功的实现那个笑脸啦，庆祝一下 。
呵呵
2007年1月22日, 星期一 19:09:58
“热力学第二定律是一个宏观定律，任何一个微观态的熵为零，所以我们知道的物理一般不会有时间箭头（除了有一点点CP破坏，但效应太小了）”。
————————————————————————————————
我记得量子力学中混合态的熵大于零，而纯态的熵等于零。当然这里的熵属于“量子熵”，即量子统计力学中定义的熵。
“对于这个问题的终极回答是，因为宇宙起源于一个非常特殊的状态，也许是一个熵等于0的状态。就是说，我们日常见到的生老病死等一切不可逆现象都可以归结为宇宙的零熵起源。”
————————————————————————————————
熵的问题，可能还跟有序无序、对称与对称破缺这些概念有关联吧。如果宇宙从零熵开始直到熵越来越大，另一方面可能伴随一些对称越来越破缺，局部上产生了一些高度有序结构，例如生命与智慧。如果生命＝物质＋能量＋信息，（这里不考虑物质等同于能量这样的概念），而信息又等同于负熵，那么这里或许不是单调地“丧失”某种东西，而是有得必有失。
呵呵
2007年1月22日, 星期一 21:55:48
继续等待后面的文章…
李淼
2007年1月22日, 星期一 22:09:00
susy：
才学会笑脸啊？
呵呵：
谢谢评点，过两天继续。
Satangell
2007年1月23日, 星期二 10:11:57
:-)“熵的问题，可能还跟有序无序、对称与对称破缺这些概念有关联吧。如果宇宙从零熵开始直到熵越来越大，另一方面可能伴随一些对称越来越破缺，局部上产生了一些高度有序结构，例如生命与智慧。如果生命＝物质＋能量＋信息，（这里不考虑物质等同于能量这样的概念），而信息又等同于负熵，那么这里或许不是单调地“丧失”某种东西，而是有得必有失。”
这个说法也是我有类似疑问的，就生物本身来说，是不是一个从无序到有序的过程呢？包括社会，是不是也是一个无序到有序的过程？熵的另外一个含义是否是定义了无序度。
P.S. 我是学“做锅碗瓢盆的实用物理”（引李老师语）的，胡诹之言，李老师莫怪:-p
postech
2007年1月23日, 星期二 10:24:59
生命的产生，是系统远离平衡态的结果。按照普利高津的说法，非平衡态热力学，熵未必是线性增加的。
李淼
2007年1月23日, 星期二 10:28:06
Satangell：
生物，人，表面看起来是从无序到有序，但生物和人
不是一个独立的封闭系统，有序的代价是让周围更加无序。生物的产生的必要条件是热力学第二定律的严格实现，也就是说整个环境在过去更加有序。我在续文中会谈到这些，以及所谓的人择原理。
呵呵
2007年1月23日, 星期二 10:30:09
在统计物理中，Boltzmann第一个引进熵的定义。如果一个经典物体的宏观状态占据了微观状态相空间的一定体积，那么该物体的统计熵就是，这里，我假定温度的单位也是能量，所以Boltzmann常数取1。这个熵，除了一个未定的常数外，等于热力学中定义的熵。
——————————————————
内部自由度对微观状态数量也有贡献，但我此刻忘了象自旋这样的自由度对熵是否有贡献。
李淼
2007年1月23日, 星期二 10:30:40
postech：
刚打完前面的话看到你说的话，的确如此，一开始当然要远离平衡态，从而开始的时候情况“特殊”，熵小。但现在一种说法是这些特殊情况来自于大涨落，我明天再谈。
呵呵：
自旋当然会对熵有贡献，只要激发起来，就会访问很多态。
呵呵
2007年1月23日, 星期二 10:32:16
我的上面说法可能不太标准哈，但是那么个意思
呵呵
2007年1月23日, 星期二 10:34:45
但现在一种说法是这些特殊情况来自于大涨落，我明天再谈。
————————————
大涨落引发局部远离平衡？
呵呵
2007年1月23日, 星期二 10:38:16
感觉自旋对温度没有贡献，因此熵的概念也许本质上跟温度不是必然相关，只是宏观上的偶然联系？
postech
2007年1月23日, 星期二 10:44:08
李老师，问个题外的话，
前几年，关于中微子有没有质量的说法挺热的，好像后来实验发现太阳中微子有质量（记不清哪一代中微子有质量了）。后来也没见中微子有质量对理论有多大修改，这是为啥？同样的，如果光子和引力子被发现有质量，那么Horava,
Witten 所提出的”规范场 is localized at a 3-brane, but gravity not.” 是不是不成立了？
李淼
2007年1月23日, 星期二 12:15:50
呵呵：
大涨落可以是局部，也可能是整体。
如果没有温度，自旋可能全部处于基态，从而不会对熵有贡献。当然，在自旋没有相互作用，也没有外场的情况下，“零点”涨落也会对熵有贡献。
postech：
中微子肯定有质量，理论肯定要修改。至于在Horava-Witten图像中的引力子，我还不知道有什么机制让引力子获得质量。
Soda
2007年1月23日, 星期二 21:33:38
李教授：现在中微子物理还是很热吧
主要是质量起源和混合角不清楚吗？
最近中微子物理理论方面有没有什么看头呢？
呵呵
2007年1月23日, 星期二 21:46:54
谢谢李老师！您的回答让我明白了：脱离相互作用、从而不在可观察意义上谈论自旋，可能是没有意义的；而一旦自旋产生作用而进入观察之中，它就对熵有贡献。
呵呵
2007年1月23日, 星期二 21:53:31
在自旋没有相互作用，也没有外场的情况下，“零点”涨落也会对熵有贡献。
——————
在二次量子化描述下，人们得到零点能，但好象人们也只满足这个“零点”量。我感觉同时还会存在其他零点量（即场的真空涨落带来的零点量，不仅仅只有零点能）。我作过一点这个工作。如您上面所说，也许同样存在“零点熵”。只要是标量都有这个可能。
willer
2007年1月23日, 星期二 22:02:16
李老师,能不能评价一下 Banks 近几年的工作.
李淼
2007年1月23日, 星期二 22:32:12
Soda：
如何理解中微子的质量矩阵看来是一个重要理论问题，但我觉得实验更加重要。我不是这方面的专家，瞎说而已。
willer：
Banks的文章我没有都看过，觉得他的理论模糊不清，虽然主线是一个，就是de
Sitter空间中的自由度是有限的。Banks的一个大缺点是文章写得不容易懂，这和Susskind的风格完全相反，这导致我有时不愿意将他的文章仔细看完。
Lily
2007年2月9日, 星期五 15:16:52
“例如，一个杯子被摔到地上，水溅开来，杯子打碎了，这是常见的现象。我们很少看到一个打碎的杯子会自动收集流散在地上的水，然后自动跳到人的手中。”
李老师，这个例子真的与热二律有关吗？杯子掉到地上被摔碎好像是纯粹的（动）力学现像，而非统计力学现像。
李淼
2007年2月9日, 星期五 15:22:07
Lily ：
表面上看是力学现象，其实也是热力学的，没有被打破的杯子和水更有序，打破了的杯子和泼出去的水更无序。当然，这里我们谈的不是平衡态而已。
关于熵（2）
上帝，Maxwell妖，吴君如
宇宙起源于一个极低熵态的难以理解可以用下面的例子来解释。
给你一个盒子，给你一个气体，大约由个分子组成（例如克氢气）。现在，你的任务是将这个气体放进盒子里，不仅如此，你还必须将整个气体局限于盒子的一半，盒子并没有用一个隔板分成两半。
毫无疑问，从统计的角度来说，这是一件不可能完成的任务。你并不能单个操纵分子，所以每个分子只有的机会处于盒子的一半。这样，如果你放入气体的办法是随机的，那么你成功的几率是
不用说，这是一个小得可怕的数。
Maxwell曾经想象一个和分子一般大小的小妖，将盒子用隔板分成两半，隔板开一个很小的窗口，这样分子可以穿过窗口。每当一个或几个分子从右边移到左边时，小妖将窗口封闭，这样，分子就渐渐地被关到盒子的左边去。当然，考虑到有这么多的分子，小妖需要化很长的时间才能完成任务。如果我们假定他每秒钟移一百万个分子，那么他要花和现在宇宙年龄一样长的时间才能完成这个任务。
所以，上帝创世时要选择一个低熵的态的难度大得不可思议。这个难度到底有多大？我们保守地估计，现在可以观测到的宇宙的熵至少是
即一个googol这么大。如果宇宙起源于暴涨，我们知道，暴涨期宇宙的熵大约是，所以，宇宙起源于暴涨的几率是
这么看来，上帝比Maxwell小妖要能干多了。
自然，在浪漫的传说中Maxwell小妖的确是存在的。不知道可爱的读者有没有看过吴君如等人主演的电影《花田喜事》，一个高中进士的家伙回来让吴君如洗脚，然后将吴君如的一盆墨汁似的洗脚水踢翻，让吴君如将覆水收回来。吴君如同学和她的朋友居然做到了。
我在前面谈到，人类存在的前提是热力学第二定律严格成立，也就是说宇宙过去的熵严格小于现在的熵，这个要求对上帝来说的确不是一个简单的要求。
Poincare循环，Boltzmann大脑
很多人会问，既然物理定律是时间反演不变的，那么为什么我们看不到熵减少的情况发生？例如，一个箱子里的气体，如果开始的时候气体局限在一个比较小的区域，随着时间增长，气体会逐渐占满整个箱子。拍一个电影回放，我们就会看到占据整个箱子的气体逐渐向一个角落里汇聚，这个不可能看到的过程。为什么这种物理定律允许的过程在自然界没有发生？答案是，要这种过程发生，我们要微调占据整个箱子的每一个分子。也就是说，如果只有几个分子没有微调到位，熵减少的情况就不会发生。换言之，一个从低熵演化出来的态虽然宏观熵大，但其微观态在所有相同的宏观态中非常特殊。
是不是熵减少的过程绝对不会发生呢？答案是否定的。Poincare在1890年发表了一个令人吃惊的定理。考虑一个占据有限体积，能量有限的系统，Poincare
recurrence（循环）定理说，无论你的初始态如何，只要你等足够长的时间，系统会回到任意靠近这个初始态的一个态。
Poincare循环定理虽然令人吃惊，证明却很简单，见
proof of Poincaré recurrence theorem 1
到底需要多长时间这样的“覆水能收”的情况会发生？统计可以给一个简单的估计（但不是严格确定的答案）。假如你的初始态的熵是，而系统最大可能的熵是，那么，系统要回答初始态需要的时间是
我们用量子力学容易理解这个结果。如果系统的最大熵是，说明系统可能的态的数目是，而初始态的可能数目是，假如系统在某个时间单位里访问一个态，那么访问到初始态的时间就是上面给出的时间。
我们没有给出时间单位，因为时间单位在这里并不重要。具体的时间单位和系统的性质有关，可能是能级之间间距的倒数，也可能是这个倒数的一个修正，但不会影响上面的结果。
现在，让我们估计一个从一个平衡态系统突然通过Poincare循环机制涨落出一个人脑的可能性有多大。假定人脑的重量大约是10公斤，含有个质子和中子。为了简单起见，假定我们的平衡态系统含有同样多的质子和中子，这样最大的熵大约是这个数字乘以单个粒子相空间的对数，我们忽略后面这个因子。假定人脑的状态非常特殊，它的熵远远小于最大熵，这样，从平衡态涨落出人脑所需的时间大约是
无论用什么单位，这是一个不可思议的时间，宇宙的年龄，以秒为单位，大约是。
从平衡态涨落出来的人脑叫做Boltzmann大脑，是最近一些文章的主题。
为什么Boltzmann大脑突然得到这么多的关注？我们现在就可以解释了，前面提到，上帝创造宇宙的概率是
而从宇宙中涨落出一个Boltzmann的大脑的概率是
虽然也很小，但远远大于宇宙创生的概率。假如我们的宇宙是一个满足Poincare循环条件的系统，也就是说，是一个有限的系统（可能就是这样，后面再解释），那么上帝从这个系统中创造出低熵宇宙的可能远远小于创造出一个Boltzmann大脑的可能。假如宇宙在不断地做Poincare循环，那么我们得出结论，我们的存在是多么地幸运，因为宇宙的历史包含人类的发展史相比于Boltzmann大脑来说，是多么的罕见。
可是，一个Boltzmann大脑可能是白痴的大脑，也可能是爱因斯坦的大脑。既然是随机涨落出来的，是白痴的大脑的可能性更大，因为我相信一个没有记忆，没有知识的大脑的熵要远远大于爱因斯坦的大脑。那么，我们的宇宙为什么没有充斥着白痴？（自然，在有些人看来，情况恰恰相反，例如三表哥以为中国的绝大多数网友特别是新浪的网友是白痴）。
无聊还是深刻？
最近的一些文章，特别是从Page的一篇文章启发出来的一些文章，认为白痴大脑问题是landscape理论遇到的最大问题。
我现在坐在Susskind在KIAS的巨大的办公室里写这篇博文。其实，所有这些无聊或者深刻的问题起源于Susskind及其学生在02年写的一篇文章：
Disturbing Implications of a Cosmological
Constant
我下面会批判这些人的观点，据说Susskind本人最近也在思考白痴大脑的问题，我坐在他的办公室嘲笑他有点不地道。
先说明一下，所有研究Boltzmann大脑的人没有象我这样将这样的大脑称为白痴大脑，因为他们相信人择原理。如果人择原理是正确的，我们也许不应该问上帝为何选择了低熵的大爆炸，因为只有这样人类才能够演化出来。可是，如果有Boltzmann大脑存在，只要不是白痴的大脑，人择原理预言我们都是Boltzmann大脑，显然这不符合观察事实。
Susskind等人不是唯一试图说明宇宙起源于Poincare循环的，其实，我们的一位韩国朋友Dongsu
Bak几乎同时做了同样的建议：
Thoughts on Big Bang
我们的加拿大朋友Don
Page指出（他也曾不远万里来到中国，前年夏天到北京，后来在landscape工作），在一个固定的共动体积（随着宇宙膨胀而膨胀）里，Boltzmann大脑出现的几率无限大于我们观测到的宇宙演化史几率，如果所谓eternal
暴涨是正确的话，因为eternal暴涨使得一个固定的共动体积不断地产生更多的宇宙。所以他建议，我们的宇宙是不稳定的，大约在未来的200亿年内就会衰变，下面是他的文章的链接：
Is Our Universe Likely to Decay within 20 Billion
Years?
Bousso同学稍后指出，如果将局限在因果钻石(causal
diamond)内的系统看成是自给自足的系统，那么Page的问题不存在，因为我们不需要考虑eternal暴涨带来的无限多的宇宙。我很同情宇宙是一个自给自足的有限系统，因为暗能量的存在，这个系统有未来视界，就是说因果钻石是有限的。系统之外的宇宙我们永远观测不到，所以和我们的关系可以完全忽略，这样我们得到一个可以应用Poincare循环定理的系统。但我前面已经指出，在一个平衡态中产生白痴大脑的几率还是远远大于宇宙来源于大爆炸的几率。
Linde同学也写了一篇很长的文章讨论Boltzmann大脑问题：
Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the
Cosmological Constant Problem
自然，还有我们在前一个博文中提到的Banks的文章。据说Lee Smolin也来凑热闹了。
我觉得，不论这些人的解决方法如何，我们大可以怀疑这个问题到底存在不存在。
我们真的能肯定我们的宇宙是一个自给自足的系统吗？如果不是，那么宇宙起源于大爆炸就很容易理解：宇宙在大爆炸的那一刻只是过去一个更大的宇宙的一个极小部分，这个极小部分的熵很小就是很自然的了。由于引力可以通过暴涨帮助我们无中生有，那么后来的自由度和熵可以解释成是引力释放出来的。
即使我们可以认为宇宙是一个有限的、自给自足的系统，我们也许没有必要为白痴大脑或者上帝创生宇宙伤脑筋。因为我的一个看法是，已经发生的事情已经发生的概率严格等于1，既然发生了，我们就没有必要担心它的几率是如此之小。当然，人择原理在这个“李氏事后诸葛亮定律”下完全失去了意义。
我的这个“李氏事后诸葛亮定律”其实是一个很深刻的定律，似乎爱因斯坦过去也提起过，他说你恰好出生在这个时代而不是新石器时代或者古罗马时代的概率不需要去关心，因为你已经出生了。过去有一些老小资写了一本书，好像是最希望生活在宋代。谁不想生活中遇到李清照，甚或是潘金莲。可惜，已经发生的事已经发生了。
所以，既然大爆炸已经发生，无论发生的几率多么小，而在茫茫宇宙间涨落出白痴大脑的几率也许更大，但既然已经发生了大爆炸，我们就坦然接受这个事实。这种观点完全违背人择原理。
那么，是不是关于宇宙起源的问题就无需再问了？我觉得不然。我们可以问，我们观测到的宇宙来源于暴涨宇宙的几率大些，还是其它什么开端大些？真的存在多宇宙吗？我们的宇宙真的是如全息原理暗示的那样是一个自给自足的封闭系统吗？等等。
老实说我不知道什么样的问题是无聊的问题，什么样的问题是深刻的问题。不过我还是觉得Boltzmann大脑问题是个无聊问题。也许在许多Poincare循环中，真的就出现过这样那样的Boltzmann大脑。有一点必须承认并且无限地为之感恩，一个孤立在茫茫宇宙中的白痴大脑也许没有什么感情，一个孤立在茫茫宇宙中的比爱因斯坦还聪明的大脑意识到他自己是多么的孤独无援，那将是怎样悲哀的事？我们的宇宙是最幸福的宇宙。阿门。
最后，我觉得我们还是谨遵Feynman或者David Mermin的指示：
Shut up and calculate。
这篇文章发表于 2007年1月24日, 星期三 12:35:12。 你可以查看本文的 打印版本，通过
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文章 《关于熵（2）》 已有 51 篇评论
LeptonYu
2007年1月24日, 星期三 14:17:31
沙发
哈哈
Satangell
2007年1月24日, 星期三 17:07:53
既然随机涨落出来的大脑本应该更多的是白痴大脑，而实际的情况却是大部分是熵比较低的正常大脑。那会不会有一种机制控制着熵的增长呢？甚至会不会在那些我们没有概念的地方存在着熵减小的情况呢？或者我们处在的正是一个充满了空气的{盒子的一半}，而那个没有空气的{盒子的另一半}我们还根本没有触及呢？
P.S. 胡诹之言，基本是为了抢块地板，李老师莫怪^_^
呵呵
2007年1月24日, 星期三 20:00:11
好文
暂时还想不出什么要请教的
sxbing
2007年1月24日, 星期三 20:13:00
人脑有10公斤？数量级上都不太对吧。
李淼
2007年1月24日, 星期三 20:28:59
sxbing：
数量级对不对不影响我们的讨论，如果我说的是头部加上其它附属物，人脑相对1公斤来说更加接近10公斤。我们要的是分子数的指数，这个数目太大了，至于人脑是1克还是10公斤已经无关紧要了。
susy
2007年1月24日, 星期三 20:48:04
看来如果我接受Landscape就得为自己不是白痴而努力感恩
sapnea
2007年1月24日, 星期三 21:30:54
深奥
不过人生下来的时候确实是白痴，100之100的白痴
李淼
2007年1月24日, 星期三 21:47:14
susy：
我也很感恩。
sapnea：
不过人生下来的时候确实是白痴，100之100的白痴
－－－－－－－－－－－－－－
然也。不过我们是生出来的，不是热涨落出来的。
tsing oyang
2007年1月25日, 星期四 7:04:54
interesting!
糊涂
2007年1月25日, 星期四 9:28:32
有个量子力学的老师上课时说，所有的量子力学作用都是unitary的。如果有的系统在混合态，那一定有另外的系统和他互补，其和系统还是纯态，而系统的变化也依然是unitary的。我一直很怀疑这样的说法，尤其当考虑宇宙这样的系统时，难道宇宙的进化过程都是unitary的吗？不大像啊。还是宇宙的膨胀改变了微观量子态，以至于既没有纯态，也没有unitary过程，以至于熵的增加？
还有一个问题，关于概率的物理意义。量子的概率特性似乎是公理化了的，不和测量手段有关。不过经典系统的概率似乎是因为测量的原因。因为经典力学的动力系统是决定性的，之所以随机是由于我们不能完全精确的区分每一个状态。所以如果有能力确定系统精确状态，我们也就不需要什么宏观量了。但是为什么会有这样的概率区分呢？难道不应该是每个物理定义都和一个物理原理一一对应吗？还是量子的概率和经典的概率有什么猫腻呢？
再有一个问题，为什么我们总是假定宇宙是封闭的呢？如果不封闭，熵的增加，生命的形成似乎比较容易解释呢。
实在是糊涂，望李老师释疑。
李淼
2007年1月25日, 星期四 10:29:43
糊涂：
所谓混合态，是我们在没有办法判定一个宏观态的具体微观态时不得不引进的一个统计办法。比如说，你有10个分子，如果你有办法测量每一个分子的位置和速度，那么在下一个时刻这个系统一定处于纯态（经典意义上）。如果你在前一时刻不敢确定，那么在下一时刻也不敢确定，尽管这个系统的确是一个纯态。
换言之，混合态是粗粒化的结果。
一个非孤立系统，混合态的描述就更加有道理。当然，在每一个时刻它还是纯态，只是，尽管你在前一时刻准确测定它的纯态，由于外界的影响，在下一个时刻你还是不能确定它的纯态是什么，最好用混合态描述，不确定性归结为外界影响的不确定性。
整个宇宙我相信处于一个纯态，膨胀本身也是一个动力学量。
你说的量子概率和经典概率的不同，我不懂。
封闭的假设来源于全息原理，我这里不好完全解释。我们并没有总是假定宇宙是封闭系统，过去曾经认为我们的宇宙是多宇宙的一部分。
呵呵
2007年1月25日, 星期四 12:33:53
在量子力学中，纯态可以看作某个力学量算符本征态之间的一个相干叠加，对某个纯态进行测量之前，可以把系统看作同时处于纯态中所包含的所有本征态上（这是量子计算中所谓量子并行计算的理论依据），然而一旦进行一个测量，纯态坍塌到某个本征态之一，测得的力学量取值便是力学量算符的对应本征值。对这种纯态进行大量测量的最后结果，就是纯态以各自的概率跃迁到各自本征态上，概率幅对应纯态相干叠加中包含的该本征态的系数。测量得到一个本征值集合，这些本征值与各自概率乘积之和，便是经典意义上的、进入我们观察中的力学量平均值。而测量得到的一个个本征态集合，便是一个混合态。
总之，纯态是若干本征态的相干叠加，测量解除相干，坍塌成一个个彼此之间再也没有相干叠加的本征态集合，这个集合是混合态，它可以看作彼此没有量子关联的不同纯态的集合。
把一个大家都熟知的东西，讲得很不好，很晦涩，呵呵！
呵呵
2007年1月25日, 星期四 12:38:00
按照量子力学中熵的定义，纯态熵为零，混合态熵大于零
呵呵
2007年1月25日, 星期四 12:46:25
如果宇宙是周期性的，万物的随机变化过程是遍历的（各态历经的），那么原则上或许总有那么一天，我们又有机会在这里谈论同一个问题，当然，那是在我们的来生。
如果宇宙的万物，最大尺寸有限，最小尺寸大于零，物质数量有限，那么无理数也许永远只是一个理想的数学实体，物理的意义上没有无理数。
李淼
2007年1月25日, 星期四 13:11:02
呵呵：
谢谢你的专业解释。
我们一般假定宇宙作为一个系统是各态历经的（除非是一个高度可积系统），你说的来生的确存在，不过要等佛家说的无数劫。
对于一个有限的体系来说，倒不见得无理数本身没有意义，而是量子力学的测量不允许你无限精确地测量－你能用到的自由度也是有限的，从而本质上我们不能分辨两个不同的但却很近似的系统。
graviter
2007年1月25日, 星期四 13:39:49
“关于时间方向上的对偶”是what？
和熵有关？
Yin Zhangqi
2007年1月25日, 星期四 20:38:26
我觉得，如果把宇宙整体看成用量子力学描述，那么按照现有的理解，这个状态只能是纯态，而不是混合态。混合态是因为我们对这个系统的理解不够引起的。对于一个两体的纯态，如果它们处于Bell态的话，关心其中一体的子系统，我们就只能用混态了。
李淼
2007年1月25日, 星期四 20:47:03
Yin Zhangqi：
你关于Bell态的说法很好。
finncarey
2007年1月25日, 星期四 22:18:27
李老师：
关于pre big
bang的一些理论，认为宇宙是无穷远过去逼近奇点，或者是Steinhardt等人的循环宇宙，这些理论中，似乎有熵停滞或者减少的过程，这种过程可接受么？或者它正好对应了Poincare循环？
活着好好的，操什么心去想宇宙的生死，，，唉，自己都养不活…前阵子又被老狗宰了一顿…
糊涂
2007年1月26日, 星期五 1:37:50
李老师:
谢谢您的解答还有呵呵的介绍. 关于混合态和纯态,我想说的重点是对于整个宇宙而言,熵是不变的.
如果有的地方(个别的体系是混合态)熵增了,有的地方熵就减了(总的体系是纯态).如果我记得不错，这个似乎叫purification吧。另外是封闭系统的量子变化都是unitary。这就是说所有的过程都应该是可逆(reversible)的。所以如果从量子力学角度出发，我们的宇宙以前和现在应该是等熵的才对呀。哪里出的问题呢？
关于那个概率，我想问的是origin of
probablity。似乎和现在这个主题搭不上边，那就以后再问了。
要是您可以介绍介绍全息理论和多宇宙什么的就太感激了。
李淼
2007年1月26日, 星期五 8:09:07
finncarey：
cyclic universe模型中的熵是增加的。至于pre-big bang，我不太熟悉。
糊涂：
宇宙无论是封闭系统还是开放系统，我们观测到的历史明显是不可逆的。一个封闭系统也存在很多不可逆过程。显然你没有弄懂粗粒化的含义，如果你在哪里读到宇宙的总熵不变，那本书肯定是外行写的。
postech
2007年1月26日, 星期五 10:48:36
全息原理最早起源于中国：“天上一颗星，地上一个丁”—出自《三国演义》:-)
postech
2007年1月26日, 星期五 10:55:07
糊涂，
把宇宙整体看成用量子力学描述,好像就是Hawking等人提出的量子宇宙学了吧，量子宇宙学的预言和观测不太符合，特别是在宇宙学常数上。李老师曾专门写文章介绍过当前的宇宙学模型，见某年某月某日的《自然杂志》
暴想族
2007年1月26日, 星期五 11:12:53
把量子力学的几率解释用在整个宇宙是不是有困难?因为是不是他预先假定了有一个宇宙之外的观察者,有多个宇宙样本,然后这一套说法(例如暴涨的几率,产生白痴的几率)才有意义?
蓝幽梦
2007年1月26日, 星期五 11:54:02
终于考完试啦
哈哈
： ）
放假啦
Yin Zhangqi
2007年1月26日, 星期五 12:06:58
暴想族，现在的量子力学测量理论几乎不需要观测者了。经过许多年的努力，建立了形式化的理论，可以用动力学演化的过程来解释大部分测量现象。可以看看Zurek的RMP:http://link.aps.org/abstract/RMP/v75/p715
，还有另外一篇RMP： http://link.aps.org/abstract/RMP/v76/p1267。
postech
2007年1月26日, 星期五 12:08:44
没有仔细研究过量子宇宙学，最深的印象是，有个描述宇宙的波函数，通过量子遂穿效应，宇宙可以创生于“无”…
kaixuan
2007年1月26日, 星期五 13:55:10
我真是很佩服理论物理学家，无话可说。
maldacena粉丝
2007年1月26日, 星期五 15:26:26
数据太少，这些宇宙理论都是一些假说，一些猜测，有时真的怀疑我们人类只是宇宙的尘埃，真的能认识宇宙的全部吗？
李淼
2007年1月26日, 星期五 16:12:41
postech：
很有道理啊，这是quantum xerox原理。
暴想族：
将整个宇宙看成一个量子力学系统的确有几率解释的困难，现在大家接受最多的也许是Gellman-Hartle的理论。自然，如果全息原理是对的，也许真的可以将整个宇宙看成一个量子力学系统。Yin
Zhangqi说的也很正确。
maldacena粉丝：
现在只是大家胡思乱想的时候，但我们keep an open
mind也有好处，有时撑死胆大的，饿死胆小的。
糊涂
2007年1月26日, 星期五 16:15:30
李老师，意识到自己问了个幼稚的问题。现在有点明白了，我是不是可以把熵的统计意义理解成高维空间里的concentration
of
measure的现象？维度越高（例如气体），越多的微观态都对应到一个宏观量值的附近，熵增的现象越明显；反之，熵和其他宏观量的统计意义就不明显了。可不可以这么说？另外再有个问题，是否存在一个高维动力系统，对微观态的遍历过程有比较大的deviation，从而抵消concentration
of measure的现象呢？
postech，谢谢你的介绍，一定去看看那篇文章，不过害怕看不懂，还是期望科普。呵呵
李淼
2007年1月26日, 星期五 18:27:42
糊涂：
的确如此，只有当有很多自由度时，一个宏观态才有很多微观态与之对应，就是你说的concentration
of measure。
对遍历有很多偏离的往往是高度可积系统，这样的系统在自然界少之又少，例如一堆完全没有相互作用的粒子。
Yin Zhangqi
2007年1月27日, 星期六 10:46:16
李老师，我有一个相关的问题想问问。我发现，最近气候越来越暖和，这应该是人类活动对地球的影响的体现。实际上，人类作为一个整体，现在已经可以极大的影响地球了。任何一个对地球未来做预言的人，都不能不考虑到这一点。
那么，如果我们把视野放宽，放到整个宇宙，人类仍旧是微不足道的一个点。人类活动对宇宙的演化根本没有影响。可是人类是在不断发展进化的，更关键的是这个进化发展的速度是越来越快。在未来的某一天，当人类的能力达到某个临界值时，是不是就可以影响宇宙的演化了？其实我真正想说的问题是：如今研究宇宙学，都把宇宙看成是一个独立于人的客体。现在这个假设是正确的。可是未来，宇宙可能还有若干亿年的寿命。如果假设人类文明可以无限发展，那么很可能从某一天开始会影响到宇宙演化本身。从那时开始宇宙就不再是一个客体了，而是纳入人类社会影响中，成为了人化宇宙。考虑到这些，现在这些预言宇宙未来演化的理论，其基本前提就有漏洞，需要重新分析。那么有没有人认真的探讨过这个问题呢？或者说这个问题是否值得探讨？
其实还有另外一个可能，也许更加带有科幻色彩了。我们知道，对于宇宙来说，可能不只人类一个智慧生命。如果我们假设每一定的空间体积内就有一个智慧生命种族，那么这些智慧生命的整体对宇宙演化的影响能力就非常大了。也许过不了太久，所谓的“人”化宇宙就会出现。
我这里的人化宇宙与人择原理有些关系，不同之处在于，人择原理以人作为主体来解释宇宙为什么是现在这个样子。而我这里的所谓人化宇宙，是以人作为主体来探讨宇宙未来会变成什么样子。
李淼
2007年1月27日, 星期六 12:57:17
Yin Zhangqi：
人类文明在将来如何发展，的确是一件属于科幻领域的事情，但也有人做过想象和研究，如Dyson，Kaku。Kaku在他最近的一本书中曾经畅想人类文明的几个级别，或者几个阶段。
第一阶段，就是现在这个阶段，我们还不能够完全利用地球上的资源和能源。
第二个阶段，我们能够利用地球上所能获得的所有能源。
第三个阶段，我们能够利用整个太阳的能量，例如做一个巨大的球面将太阳辐射的能量全部吸收。
第四个阶段，开始星际旅行，利用整个银河系的能源。要知道，银河系的大小是10万光年，即使我们有了类似光子火箭以光速旅行，要殖民这个银河是不可能的，所以，虫洞之类的技术是必须的。为什么说必须走出银河系才能对宇宙有影响？要知道，在几乎所有的大尺度结构演化的计算中，我们将星系甚至星系团都作为一个质点来看的。
最后，走出银河系。这个时候，人类也许开始了对整个宇宙做影响。
影响范围的大小，不应该超过因果率允许的范围，这里也包括虫洞的利用。
以上不是我的观点，只是最后一句是我个人的。
Yin Zhangqi
2007年1月27日, 星期六 13:21:07
李老师，我的主要问题是，现在是否可以粗略的预计出人类(或者智慧生命共同体)走出星系的时间点，或者仔细的研究一下这个时间点。因为宇宙学对宇宙的预言是把人类活动排除在外的。在人类能够深刻的影响宇宙之前，这些预言都没有问题。但是当人类走出银河系，开始影响宇宙时，目前宇宙学的基本假设就出问题了。从那时起，宇宙学的预言就会出现偏差。我想如果能够估计出那个时间点，也就可以估计出现有的宇宙学在时间轴上的适用范围。
李淼
2007年1月27日, 星期六 13:38:41
Yin Zhangqi ：
Kaku是有一个估计，我忘记了。任何这种估计都是理想的，例如，我们不知道哪个国家如北韩还是伊朗还是什么会引发核大战。
Yin Zhangqi
2007年1月27日, 星期六 13:55:30
看来这种把物理学规律与人类自身联系起来的做法最后都会让理论变得不确定。还是暂时让这个想法回归科幻吧。等未来某一天我们确信人类不会自己毁灭自己时再严肃的讨论这个问题。
lyne
2007年1月27日, 星期六 16:29:48
Vilenkin ，bousso 等正在计算什么eternal概率， 是否也挺玄的？
李淼
2007年1月27日, 星期六 17:35:46
lyne：
我也觉得他们的计算都很玄。
蓝幽梦
2007年1月27日, 星期六 17:55:08
我觉得人类不可能真正的理解宇宙
在宇宙面前我们都太太太渺小了
现在所有的体系都小
只是我们的范围
至少现在我认为是这样的
呵呵
2007年1月27日, 星期六 18:55:32
我中学年代一个疯狂的想法是，不但应该存在外星球生命，也许在物质不同的结构层次上都存在那种在概念上都完全不同的智慧形式，比如我们所谓星系，可能是宇宙中另一个“更大的世界”中漂浮的一些灰尘，“更大世界”中的一秒钟，是我们的几千万亿亿年，他们的一毫米，是我们的几亿亿光年，等等。
如今我的一个想法是，也许认为我们只有今生今世，就跟认为宇宙中只有我们地球上才有生命一样令人难受。不同的是，前者对时间而言，后者对空间而言。
如果存在无穷多的平行宇宙，而且也存在某种遍历规律，也许在另一个宇宙里，同样存在一套我们的完全“复制品”，也正在“李老师”的博客上纷纷发言:-)
liu
2007年1月27日, 星期六 19:20:28
李老师，multiverse起源于eternal inflation，
landscape起源于brane inflation。到底两者产生的多宇宙有什么区别呢？
李淼
2007年1月28日, 星期天 1:03:22
liu：
Eternal
inflation是一种普遍现象，不论理论是什么。Landscape则提供了在不同宇宙也就是不同的bubble中，物理定律可能是不同的“理论”。
liu
2007年1月28日, 星期天 11:37:43
物理定律可能是不同的“理论”？是宇宙学常数的原因吗？如此说来，在没有background
independent
理论的情况下，需要我们研究的物理有无限多种，因为有无限多个时空背景，包括各种黑洞。另外，banks曾提到超对称在horizon上破缺，如此，黑洞必是超对称破缺的，能否作此类比？
李淼
2007年1月28日, 星期天 12:44:06
liu：
在string
landscape中，有很多meta-stable极小点，每个极小点附近对应于弦论中不同紧化，不同的brane个数，等等，所以规范群，耦合常数等在landscape上是可变的。
黑洞的破坏超对称应该和cosmic
horizon不同。我虽然同情Banks的想法，但他目前没有任何可以计算的东西。
liu
2007年1月28日, 星期天 16:58:23
李老师，inflation condition 是怎么回事？
李淼
2007年1月28日, 星期天 17:24:32
liu：
不知道有这个说法，你指的是slow-roll conditions吗？
liu
2007年1月28日, 星期天 21:57:40
要这么说就应该是slow-roll
conditions了。李老师提到“黑洞的破坏超对称应该和cosmic
horizon不同”，能不能解释一下？同样是强耦合系统的horizon，到底有什么不同呢，smolin最近就曾搞过多黑洞。
想娶奶茶
2007年3月13日, 星期二 22:01:40
李老师：最近我看了一些关于Acoustic
Peak的东西，跟熵联系起来就有点儿糊涂了。宇宙学的理论认为原初的密度涨落使得早期宇宙在演化中渐渐形成现在的大尺度结构。如果不考虑宇宙膨胀引起的效应，按照平衡态统计物理的理解，宇宙从一锅比较均匀的粒子汤的状态演化到有大尺度结构的状态，看起来应该是熵变小了。然后我在想你的博客中的例子，盒子中的气体因为忽略了引力的相互作用，所以现在不会形成团状结构的。
所以我想问这么几个问题：
1.物理学家通过什么逻辑来断定现在宇宙的熵远远大于早期宇宙？是先承认了热力学第二定律一定可以应用于宇宙尺度的问题，然后推断宇宙的熵在不断增加；还是用某种方式估算出了现在的宇宙和过去的宇宙的熵，然后证明宇宙的演化符合热力学第二定律？如果是后者，那么宇宙的熵是如何定义的呢？
2.假如引力常数很大，实验室里面每个箱子里面的气体都因为引力不稳定性而结团，那么会不会对人类认识热力学第二定律造成困惑？这个过程会放热，应该和自由粒子的很多个概率1/2乘起来的过程不同，不过我还是不够明白。
3.一个孤立体系内的一部分物质坍缩成黑洞，然后黑洞又蒸发了。这两个过程都符合热力学第二定律吗？
李淼
2007年3月13日, 星期二 22:49:24
想娶奶茶：
首先要肯定一点，即使有引力热力学第二定律也还是正确的。下面简要回答你的问题。
1.
我们通常计算熵的办法是将物质熵和辐射熵加起来。如果仅仅这么做，那么辐射熵远远大于物质熵，原因是重子数密度与辐射熵密度之比大约是。可观测宇宙的辐射熵远远大于暴涨时期的熵，因为暴涨期没有温度，熵完全来自于视界的存在。
2.
引力存在当然还满足热力学第二定律，这在黑洞形成的过程中尤其如此，这是Bekenstein和Hawking的主要工作，例如黑洞视界的存在说明黑洞有熵。
3. 同2。
最后，我说一下关于现在可观测宇宙熵的三个估计。
第一，只考虑物质和辐射，那么辐射熵主导，大约是。
第二，考虑到很多星系中心存在黑洞，那么所有黑洞的熵大约是。
第三，考虑到宇宙在加速膨胀，宇宙视界对应的熵是。
想娶奶茶
2007年3月13日, 星期二 23:22:45
^_^李老师我明白了，我忽略了最不该忽略的东西。《神探狄仁杰》里面说：“看似不合逻辑的地方往往是最合逻辑！”这样看来，将来也许人们会发现暗能量也会对应很多熵呢。
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