phymath999: 電荷守恆要求，流入體積 \mathbb{V} 的淨電流，等於體積 \mathbb{V} 內總電荷量 Q 的變率,對於任意體積 \mathbb{V} ，上述方程式都成立：

Tuesday, April 2, 2013

电荷守恒定律表明，在一个孤立系统里，不论发生什么变化，总电荷必定保持不变。所有物理程序都必须遵守这定律。在量子力学里，从波函数的规范不变性可以推导出这定律。
流入某體積 $\mathbb{V}$ 的淨電流為

$I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}$ ；

其中， $I$ 是電流， $\mathbf{J}$ 是電流密度， $\mathbb{S}$ 是包圍體積 $\mathbb{V}$ 的閉曲面， $\mathrm{d}^2\mathbf{r}$ 是微小面向量元素，垂直於 $\mathbb{S}$ 從體積內朝外指出。
應用散度定理，將這方程式寫為

$I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r$ 。

總電荷量 $Q$ 與體積 $\mathbb{V}$ 內的電荷密度 $\rho$ 的關係為

$Q=\int_\mathbb{V} \rho\ \mathrm{d}^3r$ 。

電荷守恆要求，流入體積 $\mathbb{V}$ 的淨電流，等於體積 $\mathbb{V}$ 內總電荷量 $Q$ 的變率：

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\ \mathrm{d}^3r$ 。

所以，

$\int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r=0$ 。

對於任意體積 $\mathbb{V}$ ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來：^[11]

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