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经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解
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初等量子力学中，在讲到薛定谔方程时，一般都会求解几个势场作为范例，其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问，似乎对这个解的含义不甚明了。
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量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z)，可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释，不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布，即以(t,x,y,z)为变量，Ψ的函数形式。在定态情形，波函数可分离变量：Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z)，因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的，因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方：设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式：U = (1/2)mω(x^2 + y^2)，就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水（相当于总能量给定），就不难写出此时h(x,y)的表达式。
谐振子的定态波函数解也是差不多的意思，只不过求解过程要更复杂些，最终求得的，是在谐振子这个势场中，波函数经典场的空间分布函数。
定态波函数解和力学中一个动来动去的谐振子有很大不同。定态波函数解的意义已在上面叙述。而经典力学的谐振子，可以理解成一个波包在势场中运动，它的波函数Ψ(t,x,y,z)也是薛定谔方程的解，但却不是定态薛定谔方程的解。
将Ψ(0,x)（只考虑一维，t = 0时的波包）用能量基矢展开：Ψ(0,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x) ，等号右边要对n求和。其中Ψ_{n}(t,x) = Ψ_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t)，因此Ψ(t,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) （等号右边对n求和）。这里的含时项不能从和式中提出，因此Ψ(t,x)不能分离变量，也无法得到关于Ψ(t,x)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化，叠加而成Ψ(t,x)的演化规律，从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比。
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量子力学的基本论题是原子。
Kelvin的静态球体上分布有均匀的正电荷，其上镶嵌有若干个离散的电子。Thomson对此的改进是，电子在不同的球面层上运动，由此来使电子象太阳系的星体绕核运动。吸力与斥力的平衡给出了稳定的系统。它对化学周期表给出了好的解释。
它有二种运动：在层面上的轨道运动；层面间的跃动。
在层面上的轨道运动对应于经典的Hamilton量，而层面间的跃动可借用位场变动概念引入。这样，它就被广泛的接受。
目前，我国教科书多采用这一半经典模型。
其漏洞在于：如果电子数大于5，则某些电子必须被置于球心位置（或其等价），否则，原子不稳定。
到1920年，Rutherford用质子和中子概念取代了核球概念。
其后，Heisenberg, Dirac, Schrodinger 等发展的量子力学进一步开拓了中子的概念。
Schrodinger波动方程描述的电子是以正交本征波函数为“坐标标架”的位置波矢量，该波矢量的二次几何不变量（平方长度）被给予波函数的量子力学解释。这样，Hilbert高维空间就应运而生。
这样，电子波函数就紧致的镶嵌在核子场中。这种运动要求有位形参考背景（时空），应用狭义相对论的时空均匀性概念，这一问题也看似解决了。
目前，我国量子力学教科书多采用这一量子力学模型。
但是，由于中子与质子、电子的波结构并不协调，因而，有人提出了强子力学（Hardronic mechanics）。
目前广泛接受的量子力学原子是把中子装进袋子的。但是，无法给出1/2自旋的本质原因，因而被认为有某种没被发现的对称性在支配。这是当前的热门话题。
Riemann认为，空间特性必须是基于物理实际的发现。就观测而言，在非常小的尺度上的高度不规则性完全可以表现为大尺度上的高度光滑性。如果接受这一概念，就会对量子力学的时空均匀性概念提出挑战。
由此就形成另一条路线，如Kaluza-Klein型原子。但是，6维空间的概念是可疑的。
总上，在量子力学领域，有好几条发展路线。我接受Riemann论点，可能会在适当时间进一步做部分研究工作。 （已做工作见：Xiao Jianhua. Geometrical Invariants of Matter Motion in Physics, E-print, arXiv: physics/0511076(physics.gen-ph), 2005, 1-8；Xiao Jianhua. Inertial System and Special Relativity-Finite Geometrical Field Theory of Matter Motion Part One. E-print, arXiv: physics/0512110(physics.gen-ph), 2005, 1-19；Xiao Jianhua. Gravity Field and Electromagnetic Field-Finite Geometrical Field Theory of Matter Motion Part Two. E-print, arXiv: physics/0512134(physics.gen-ph), 2005, 1-16；Xiao Jianhua. Quantum Field and Cosmic Field-Finite Geometrical Field Theory of Matter Motion Part Three. E-print, arXiv: physics/0512178(physics.gen-ph), 2005, 1-22；）。
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