保角几何（一）

季候风 · 发表于 2008-3-2 12:13:16

琢玉坊的 qiuryaq 网友提出关于 Mobius 变换的问题涉及到保角几何。后来我发现保角几何的内容非常值得挖掘。因为涉及这个内容的资料并不是很常见，所以将学习到的大意记录在这里，也作为以后回忆这些内容的线索。

欧氏平面有两种紧化，射影紧化和保角紧化。

三维空间的中心射影可以把两个不过中心的平面对应起来。如果这两个平面不平行，那这个对应就有点问题，每个平面上各有一条直线，过它的光线与另一平面平行，所以必须引进另一平面的“无穷远直线”来跟这条直线对应。无穷远直线引入以后，平面就变成了一个紧致的东西，射影平面，而中心射影就是一一映射而且映满。可以看到射影平面的点一一对应到空间中过中心的直线，或者说从中心射出的光线。所以拓扑上它是球面把对径点等同起来得到的商空间。

除了这种添加无穷远直线的射影紧化以外，平面还有一种紧化，叫做 “保角紧化”。平面对其上任何一个圆的反演是保角的，但圆心在反演下没有像，引进一个无穷远点，它在任何圆反演下同圆心对应。这样所有反演都是一一映射而且映满。保角紧化的另一个办法是通过球极射影把平面映到球面除北极以外的部分，所以球面就自然是平面的“一点紧化”。平面对圆的反演可以推广到 n 维欧氏空间对其中 n-1 维球面的反演。添进一个无穷远点以后，这些反演都是一一对应，它们生成所有的保角变换。

还有一种模型可以看到这个保角紧化。为了看到这个模型，先把维数降低，考虑直线。现在我们把直线实现在三维 Minkowski 时空（度量二次型  -++, 坐标 u, v, w) 的光锥上，

$x \mapsto \left( \frac{x^2+1}{2},\ x,\ \frac{x^2-1}{2} \right)$

它的像是光锥同平面 u-w=1 的交，一条抛物线。这条抛物线在 Minkowski 时空的弧长参数正好是 x,  所以这个映射是保长的。抛物线的每个点对应到光锥的一条母线，但有一条母线没有对应，就是满足 u＝w 的那条母线。现在我们通过抛物线把直线对应到光锥除一条母线外的所有母线，这样直线的自然紧化就是把满足 u=w 的母线添进来。这样紧化的直线就对应到光锥的所有母线，或者用三维空间的标准球面来截光锥，得到上下两个圆，每个圆都一一对应到所有母线的集合，所以紧化的直线是一个圆。

现在把维数升高，把平面映到四维 Minkowski 时空的光锥上。这同样是一个保长映射。四维时空的光锥可以看作一个二维球面的 “膨胀电影”，或者更物理地，从三维空间原点发出的光的波前的运动电影。平面在光锥上的像是一个膨胀圆圈的四维电影，它扫过的三维图像是一个抛物面，每一个光波前同这个抛物面相交于一个圆（或一个点，或空集，回忆低一维情形），点和这些圆组成一个光锥里的平面。这个平面上每一点都在光锥的一条母线上，除了一条特殊的母线没有对应。现在把这条母线添进来，这样一点紧化的平面就对应到所有母线。要看到这个紧化的拓扑结构，用四维中的标准三维球面截光锥，得到上下两个二维球面，每个球面一一对应到所有母线的集合。所以拓扑上这个 “保角紧化” 是一个球面（光锥的截面，或者光波前）。

更高维的光锥难以想像，但其中的数学是一样的，记欧氏空间 $\mathbb R^n$ 的坐标为 $\mathbf x$ , Minkowski 时空 $\mathbb R^{1,n+1}$ 的坐标为 $u_0, \mathbf u, u_{n+1}$ 。把欧氏空间映到 Minkowski 时空的光锥上，

$\mathbf x\mapsto \left(\frac{|\mathbf x|^2+1}{2},\  \mathbf x, \ \frac{|\mathbf x|^2<br /> -1}{2}\right)$ ,

它的像是光锥同超平面（n+1维） $u_0-u_{n+1}=1$ 的交。显然从 Minkowski 时空诱导下来的度量同原来的欧氏度量一致。它在 Minkowski 时空的空间部分扫过抛物面 $2u_{n+1}+1=|\mathbf u|^2$ . 光锥上的这个欧氏空间遍历除一条母线外的所有母线。添上这条母线实现欧氏空间 $\mathbb R^n$ 的保角紧化。紧化后的空间是球面 $S^n$ , 或者说 n+1 维空间里的光波前. 光锥上的平面 “卷” 在这个球面的映射可以写下来，

$\left(\frac{|\mathbf x|^2+1}{2},\  \mathbf x, \ \frac{|\mathbf x|^2<br /> -1}{2}\right)\ \mapsto\ \frac{2}{(|\mathbf x|^2+1)^2}\left(\frac{|\mathbf x|^2+1}{2},\  \mathbf x, \ \frac{|\mathbf x|^2<br /> -1}{2}\right)$

在这个参数球面上算 Minkowski 时空诱导来的度量有点复杂，容易出错。实际上有更强的结论，把这个光锥上的平面 “卷” 到任何一个光锥的截面上，都是保角的。具体来说，任给一个恒大于零的函数 $\lambda(\mathbf x)$ , 映射

$\mathbf x\ \mapsto\ \lambda(\mathbf x)\left(\frac{|\mathbf x|^2+1}{2},\  \mathbf x, \ \frac{|\mathbf x|^2<br /> -1}{2}\right)$

把 Minkowski 度量拉回到 $\mathbb R^n$ 成为度量 $\lambda(\mathbf x)^2|d\mathbf x|^2$ ，是保角映射。特别地，卷在光波前上是保角的。

后一种模型虽然有些复杂，但好处是可以推广到构造带有任何度量二次型的空间 $\mathbb R^{p.q}$ 的保角紧化. 下一节继续。

[ 本帖最后由季候风于 2008-3-5 03:41 编辑 ]

星空浩淼 · 发表于 2008-3-2 14:47:35

好题材！以前学复变函数理论，学过一点保角变换。但是终归是一点皮毛。

另：季兄的“几何量子化”，即使后来无人能看懂，写完放在这里，还是很有好处的：一些人现在看不懂的以后可能会需要且能看懂；目前的人看不懂以后进来的人可能能够看懂

qiuryaq · 发表于 2008-3-2 15:10:32

谢了，存下来慢慢看。

Minkowski 空间已经超出我的知识范围了。

第一种紧化的结果是摄影平面，保角紧化的结果是黎曼球，对吗？

[ 本帖最后由 qiuryaq 于 2008-3-2 15:14 编辑 ]

季候风 · 发表于 2008-3-2 22:19:05

原帖由 星空浩淼 于 2008-3-2 14:47 发表
好题材！以前学复变函数理论，学过一点保角变换。但是终归是一点皮毛。

另：季兄的“几何量子化”，即使后来无人能看懂，写完放在这里，还是很有好处的：一些人现在看不懂的以后可能会需要且能看懂；目前的人看不懂以后进来的人可能 ...

没有继续几何量子化是因为后面的内容需要花很多时间整理，暂时还抽不出来。今年内应该会完成

季候风 · 发表于 2008-3-2 22:19:37

原帖由 qiuryaq 于 2008-3-2 15:10 发表
谢了，存下来慢慢看。 Minkowski 空间已经超出我的知识范围了。

第一种紧化的结果是摄影平面，保角紧化的结果是黎曼球，对吗？

对。

一剑一壶酒 · 发表于 2008-3-3 07:46:50

问一下这两个变换是怎么定义？中心射影？球面反演是 $x\mapsto x/|x|^2$ 吗?保角变换就是满足 $\\<x,y>/|x||y|=<f(x),f(y)>/|f(x)||f(y)|$ 的映射吧！

[ 本帖最后由一剑一壶酒于 2008-3-3 07:53 编辑 ]

季候风 · 发表于 2008-3-3 11:52:50

中心射影从几何上已经很清楚了。不是一定要写出来公式来才能研究它的性质。
你给出的这个反演是对中心在原点，半径为一的球面的反演。对别的球面有不用的公式，但几何意义是一样。
保角变换不只是保持在原点的矢量之间的夹角，而需要保持任何点的切空间里面切向量之间的夹角。很多保角变换并不是线性变换，会导致你所写等式的右边没有意义。

欧氏空间保角变换的 Jacobi 矩阵需要满足条件 $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^T\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \lambda(x) I$

[ 本帖最后由季候风于 2008-3-3 12:02 编辑 ]

qiuryaq · 发表于 2008-3-4 12:53:30

季兄，我不是很清楚为什么把平面紧化成射影平面的过程是保角的。可以解释一下吗？

季候风 · 发表于 2008-3-4 23:46:42

恩，中心射影不是保角的。我又胡说了，对不起大家。球极射影是保角的因为它可以实现为球面反演。需要修改这个帖子。

qiuryaq · 发表于 2008-3-5 00:44:23

还有一种模型可以看到这个保角紧化。为了看到这个模型，先把维数降低，考虑直线。现在我们把直线实现在三维 Minkowski 空间（度量二次型 -++, 坐标 u, v, w) 的光锥上，

请问是哪条直线，其函数表达是什么？

还有，三维 Minkowski 空间是不是平面加时间轴？光锥的外观是什么样的？为什么时间的符号是负的呢？

在欧氏空间，典型的保角变换有两种：中心射影和球面反演。

是否应为在欧氏空间，典型的紧化有两种：中心射影和球面反演。

还有什么别的紧化方法吗？为什么要紧化，是不是为了方便取极限呢？

[ 本帖最后由 qiuryaq 于 2008-3-5 00:50 编辑 ]

季候风 · 发表于 2008-3-5 03:30:25

紧化是为了使这些映射是一对一而且映满。

时间的符号是负的是因为狭义相对论，光速不变。如果是二维空间一维时间，光锥就是上下两个无穷圆锥，跟漏斗似的。

帖子修改完了。改正了错误，也更精确细致了一些。

qiuryaq · 发表于 2008-3-5 16:02:03

把直线实现在三维 Minkowski 时空的紧化和把直线实现在三维欧氏空间是一样的吧？请问在三维 Minkowski 时空里面弧长参数是怎么算的？

[ 本帖最后由 qiuryaq 于 2008-3-5 16:51 编辑 ]

季候风 · 发表于 2008-3-6 00:02:45

直线这个例子太平凡了，玩不出什么花样来。

把直线实现在三维欧氏空间

你是指射影紧化？

Minkowski 时空的弧长微分的平方是： $d\tau^2=-(dv_0)^2+(dv_1)^2+(dv_2)^2$ . 这不是具有几何意义的弧长微分平方，而是以此曲线为运动图像的粒子的 “固有时” 微分平方。不过没有真实的粒子以这条抛物线为运动图像，因为真实粒子的运动必须是类时的，即，固有时平方必须与时间微分的平方同号。

[ 本帖最后由季候风于 2008-3-6 00:13 编辑 ]

qiuryaq · 发表于 2008-3-6 03:33:24

是不是 $d \tau = \sqrt{-(xdx)^2 + dx^2 + (xdx)^2} = dx$ , 所以说这个抛物线的弧长参数是 x？

如果把直线实现在三维欧氏空间，那么 $d \tau \ne dx$ , 所以 $x \mapsto (\frac{x^2+1}{2}, x, \frac{x^2-1}{2})$ 就不是保长的了，对吗？

季候风 · 发表于 2008-3-7 12:19:11

对，就是这个意思。

白云深处有人家 · 发表于 2008-3-8 20:24:07

这个贴子对我以后的课题或许很有帮助,你发的贴子与共形场论有关吗?我未来的课题与共形场方法有关,不过我是学工的,一下子进入此领域还是不太熟悉

另外想说一句: 季侯风兄确实是才华横溢,非同寻常,这不是恭维的话

季候风 · 发表于 2008-3-9 12:33:22

白兄过誉了。我只是把 wiki 上的东西稍加改动写在这里而已。

这个的确跟共形场论有关。比如二维欧氏空间保角紧化以后保角变换群是 Mobius 群，有限维的。而二维 Minkowski 时空紧化以后的保角变换群却是无穷维的。这个区别我现在还没能理解。

白云深处有人家 · 发表于 2008-3-9 13:04:24

以后有机会一定要向你请教,其实我非常同意你在原繁星上发表的一贴中的观点,实际上现代数学已全面向应用科学渗透, 以前看那些抽象的数学,总是很困惑那究竟有什么用?呵呵

windowsxp · 发表于 2010-2-22 23:25:20

如果把空间看成齐性空间，从群论的角度看待这些紧化会有什么有意思的东西？

小李飞刀 · 发表于 2010-4-16 16:36:45

原帖由 windowsxp 于 2010-2-22 23:25 发表
如果把空间看成齐性空间，从群论的角度看待这些紧化会有什么有意思的东西？

没看懂是什么意思，能不能说具体点？

phymath999

Friday, October 18, 2013

diffgeom01 无穷远直线引入以后，平面就变成了一个紧致的东西，射影平面，而中心射影就是一一映射而且映满

保角几何（一）

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