我大概明白你的意思了，你的A并不是一个外加的规范场，而是Berry联络吧？这个联络是参数流形SU(2)XS^2上的函数，而你的相位则是联络沿流形上一条闭合曲线的积分。所以现在重要的其实并不是联络A的同伦分类，而是参数流形和拓扑结构。但是我记得SU(2)是单连通的，而S^2显然单连通，因此这个乘积空间的基本群应该是平凡的。换句话说，参数空间中的任意闭合曲线都可以收缩为一点，进而如果dA=0，那么A沿闭合曲线积分一定为0.
我不太了解你的相位是如何由联络计算出来的，因为这里的情况和Berry相并不完全一样。不过我觉得你可以关注一个问题，如果相位直接等于联络沿闭合线的积分，那么斯托克斯定理直接要求其等于dA的面积分，而不是F的面积分。但你前面提到的结果是dA+[A,A]=0，这并不要求所有A沿闭合线积分为0。
大家好，本人是物理系的学生，由于最近接触到场论的东西，但是对微分几何方面的知识不是很熟悉。所以想请教一下各位数学高手。
我在研究中遇到的问题是：在系统中存在非阿贝尔的规范势A（应该相当于微分几何的1形式吧），但是它所对应的场强F（即2形式）为零，即该参数空间的曲率为零，请问这个系统是不是拓扑平庸的？或者话换句话说，一个流形拓扑平庸的判据是什么？
谢谢大家啦
我在研究中遇到的问题是：在系统中存在非阿贝尔的规范势A（应该相当于微分几何的1形式吧），但是它所对应的场强F（即2形式）为零，即该参数空间的曲率为零，请问这个系统是不是拓扑平庸的？或者话换句话说，一个流形拓扑平庸的判据是什么？
谢谢大家啦
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- 漫路长歌
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SUSY9
这就是希望丛上的曲率能完全代表流形上同调环，连切丛上这么想都做不到。奇数维流形纯用曲率根本构不成不变量。
复丛的情况下，示性类可以完全地用曲率多项式来代表，但是对于流形本身的情况，切丛是实的，Stiefel-Whiteney类代表了系数为Z2的上同调群元，它代表流形的可定向性，自旋结构等等，Chern-Simons示性类，简单的例子，S1上复线从，e^iqθ是一个截面，联络-iqθ，曲率为0，Chern-Simons类非0，AB效应。
拓扑平庸还是看基本群同调群，示性类都是用来对同调群造成的障碍进行分类以及简化的。
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- inempty
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Easy12
简单的说，没有什么一般的判据。大体上我们考虑一个流形是否拓扑平庸，主要就是看它有没有不同维度的洞、是否有结构性“扭曲”（如莫比乌斯环），而这些都可以用整系数同调群（以及相应的各种同调、上同调群）来考察。而沿着这个思路，我们又可以用不同的示性类来标示这些同调群和“平庸”同调群的差别。而这些东西，实际上和局域的联络没有关系，或者说根本不由后者决定。这是因为联络本身可以看做纤维(fibre，如切空间)之间的同构，而纤维丛的拓扑结构在建立“联络”之前就已经确定了。这也印证了联络本质上还是一种局域概念，而拓扑结构则需要更加“整体”的概念（如同调、上同调，以及示性类）加以描述。
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Easy12
我大概明白你的意思了，你的A并不是一个外加的规范场，而是Berry联络吧？这个联络是参数流形SU(2)XS^2上的函数，而你的相位则是联络沿流形上一条闭合曲线的积分。所以现在重要的其实并不是联络A的同伦分类，而是参数流形和拓扑结构。但是我记得SU(2)是单连通的，而S^2显然单连通，因此这个乘积空间的基本群应该是平凡的。换句话说，参数空间中的任意闭合曲线都可以收缩为一点，进而如果dA=0，那么A沿闭合曲线积分一定为0.
我不太了解你的相位是如何由联络计算出来的，因为这里的情况和Berry相并不完全一样。不过我觉得你可以关注一个问题，如果相位直接等于联络沿闭合线的积分，那么斯托克斯定理直接要求其等于dA的面积分，而不是F的面积分。但你前面提到的结果是dA+[A,A]=0，这并不要求所有A沿闭合线积分为0。
我不太了解你的相位是如何由联络计算出来的，因为这里的情况和Berry相并不完全一样。不过我觉得你可以关注一个问题，如果相位直接等于联络沿闭合线的积分，那么斯托克斯定理直接要求其等于dA的面积分，而不是F的面积分。但你前面提到的结果是dA+[A,A]=0，这并不要求所有A沿闭合线积分为0。
一个问题：
假如A对应的F=0，则Texp{-i\oint A dt}=0对于任意的路径都等于零吗？
假如我现在取的路径是phi=const，theta：0~pi，
则Texp{-i\oint A dt}=exp{i A_\theta d\theta}
根据我四楼的表达式，很明显这个积分不等于0啊？
这个怎么理解？
假如A对应的F=0，则Texp{-i\oint A dt}=0对于任意的路径都等于零吗？
假如我现在取的路径是phi=const，theta：0~pi，
则Texp{-i\oint A dt}=exp{i A_\theta d\theta}
根据我四楼的表达式，很明显这个积分不等于0啊？
这个怎么理解？
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