流形的切丛不全是矢量从。。。。。。。。。。
而且纤维丛的截面LA木有详细讨论，吾说明下连续映射【要求满射】导致了纤维丛全截面不太可能有明确定义的截面。。。。。。。。。。。
而且纤维丛的截面LA木有详细讨论，吾说明下连续映射【要求满射】导致了纤维丛全截面不太可能有明确定义的截面。。。。。。。。。。。
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- 台湾PiPi
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理论县侯9
由於我几乎没学微分几何与拓朴学, 所以我都用最简单的方式理解仿射联络.
假定考虑的黎曼流形可以坎入一个维度够高的平直空间 (欧氏或闵氏或他们的推广, whatever), 那麼仿射联络的意义就会非常简单.
考虑将流形上的某一个切向量沿著流形上的某一条曲线在背景平直空间中做一个一阶无穷小的平移 (保持向量的尾端在那条曲线上). 在这个平移中, 由於基底是位置相关的,
因此虽然向量本身没变, 但分量要改变, 才能保证向量的不变. 那个反应分量如何因基底而变的系数就是联络.
这里的说明有一点简化了. 其实平移过后的向量还会生出一个垂直於流形的分量 (大小为 2 阶), 要将这个分量丢掉才算是定义於流形上的平行位移. 我的这个说明在 Dirac 的广相的 sec. 6, 7 就有.
这里的说明有一点简化了. 其实平移过后的向量还会生出一个垂直於流形的分量 (大小为 2 阶), 要将这个分量丢掉才算是定义於流形上的平行位移. 我的这个说明在 Dirac 的广相的 sec. 6, 7 就有.
回复：65楼
嗯，从高维看低维很容易就看出弯曲情况的。其实，一般平移对于矢量的大小是没有影响的，主要是角度的变化。
嗯，从高维看低维很容易就看出弯曲情况的。其实，一般平移对于矢量的大小是没有影响的，主要是角度的变化。
回复
通过前几贴的讨论，可大概知道仿射联络以及克氏联络符号Γ^α_μγ是如何定义的。但在实际应用中是根据什么来计算？如何计算的呢？下面就来谈谈。
我们知道，解GR场方程得到的结果就是度规张量场，知道了度规就知道整个时空的性质。而在一般的工程应用中，各种坐标系的度规都是已知的，如笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系以及圆环坐标系等等。所以，只要找到Γ^α_μγ和度规g_αβ的关系，就可根据g_αβ来计算Γ^α_μγ。其实，我们知道，度规是两个基矢之积（g_ij=e_i•e_j），而克氏符号则可看作是一个基矢和另一个基矢的变化率之积（Γ^α_μγ=e_μ,γ•e^α）。由此看它们之间肯定会建立一个关系
按历风提议，专门开一贴谈谈仿射联络。呵呵。
本贴要谈的仿射联络主要指克氏仿射联络符号Γ^α_μγ，正如我在另一帖（http://tieba.baidu.com/f?kz=866722057）所言，它就是一个比例系数。但它又扮演了一个依赖坐标系和不依赖坐标系两者的联络员的重要角色。我们知道普通微商是依赖坐标系的，而协变微商却与坐标系无关。而体现这两者之差正是克氏仿射联络符号。
判断一个空间是否平坦或平直，最简单的办法就是用一个矢量保持和该空间的角度沿一闭合路径走一圈（所谓的平移），如果该角度不变则空间是平坦的，如果发生了变化则空间就不是平坦的或说是弯曲的。用这个最简单、最直接的概念，我们实际上就能定义出空间弯曲的严密数学表述。
按此思路，我们假设一个矢量e_α在一个空间平移一小段距离∂x^γ，那么它的改变量∂e_μ（由于改变后的矢量和原来的e_α不会相同，所以下标用μ）和下面的因素有关：
① 和移动的距离∂x^γ成正比（因为移动距离越大，改变量会越大）；
② 和初始的矢量e_α成正比（因为该矢量e_α越大，改变量会越大）；
③ 和空间的弯曲程度的变化率有关。这里，我们知道空间的弯曲程度是由度规来描述的，但由于是平移，所以应该是和度规在空间的变化率组合有关。为简单起见，不妨把这个度规变化率组合用一个符号表示，这个符号就称为“克氏仿射联络符号”，即Γ^α_μγ。至于它的计算可用其它方法得到。
由以上因素，则矢量的改变量可写为：
∂e_μ=Γ^α_μγ•e_α•∂x^γ
这儿，需说明的是Γ^α_μγ并不是一个张量，理由就是它不满足张量定义的变换则。但是，由于它可以和张量一样进行指标运算，而且也具有各分量。有的书上认为它就是一个张量。特别是，梁灿彬老师认为：“如果我们不承认Γ^α_μγ是张量，就是自打嘴巴。”
（梁老很生气，后果很严重，呵呵，开玩笑，其实梁老认为这并没有实质性的矛盾。）
本贴要谈的仿射联络主要指克氏仿射联络符号Γ^α_μγ，正如我在另一帖（http://tieba.baidu.com/f?kz=866722057）所言，它就是一个比例系数。但它又扮演了一个依赖坐标系和不依赖坐标系两者的联络员的重要角色。我们知道普通微商是依赖坐标系的，而协变微商却与坐标系无关。而体现这两者之差正是克氏仿射联络符号。
判断一个空间是否平坦或平直，最简单的办法就是用一个矢量保持和该空间的角度沿一闭合路径走一圈（所谓的平移），如果该角度不变则空间是平坦的，如果发生了变化则空间就不是平坦的或说是弯曲的。用这个最简单、最直接的概念，我们实际上就能定义出空间弯曲的严密数学表述。
按此思路，我们假设一个矢量e_α在一个空间平移一小段距离∂x^γ，那么它的改变量∂e_μ（由于改变后的矢量和原来的e_α不会相同，所以下标用μ）和下面的因素有关：
① 和移动的距离∂x^γ成正比（因为移动距离越大，改变量会越大）；
② 和初始的矢量e_α成正比（因为该矢量e_α越大，改变量会越大）；
③ 和空间的弯曲程度的变化率有关。这里，我们知道空间的弯曲程度是由度规来描述的，但由于是平移，所以应该是和度规在空间的变化率组合有关。为简单起见，不妨把这个度规变化率组合用一个符号表示，这个符号就称为“克氏仿射联络符号”，即Γ^α_μγ。至于它的计算可用其它方法得到。
由以上因素，则矢量的改变量可写为：
∂e_μ=Γ^α_μγ•e_α•∂x^γ
这儿，需说明的是Γ^α_μγ并不是一个张量，理由就是它不满足张量定义的变换则。但是，由于它可以和张量一样进行指标运算，而且也具有各分量。有的书上认为它就是一个张量。特别是，梁灿彬老师认为：“如果我们不承认Γ^α_μγ是张量，就是自打嘴巴。”
（梁老很生气，后果很严重，呵呵，开玩笑，其实梁老认为这并没有实质性的矛盾。）
通过前几贴的讨论，可大概知道仿射联络以及克氏联络符号Γ^α_μγ是如何定义的。但在实际应用中是根据什么来计算？如何计算的呢？下面就来谈谈。
我们知道，解GR场方程得到的结果就是度规张量场，知道了度规就知道整个时空的性质。而在一般的工程应用中，各种坐标系的度规都是已知的，如笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系以及圆环坐标系等等。所以，只要找到Γ^α_μγ和度规g_αβ的关系，就可根据g_αβ来计算Γ^α_μγ。其实，我们知道，度规是两个基矢之积（g_ij=e_i•e_j），而克氏符号则可看作是一个基矢和另一个基矢的变化率之积（Γ^α_μγ=e_μ,γ•e^α）。由此看它们之间肯定会建立一个关系
.................................吾是GR盲。。。。。。。。。。
回复：14楼
定义不同而已。。。。。场论是50s了吧。。。现在几何语言似乎不错，虽然有被粒子物理学家排挤的趋向。。。。很多人习惯都不同的。原来看过本百科全书，第一节是Penrose，几何语言+抽象指标+c=1+1，-1，-1,-1第二节就换了个人，坐标语言，具体指标，c=G=1，-1,1,1,1号差，第三节是8πG=c=1，-1.，1,1,1号差，。。。。。。。。。
定义不同而已。。。。。场论是50s了吧。。。现在几何语言似乎不错，虽然有被粒子物理学家排挤的趋向。。。。很多人习惯都不同的。原来看过本百科全书，第一节是Penrose，几何语言+抽象指标+c=1+1，-1，-1,-1第二节就换了个人，坐标语言，具体指标，c=G=1，-1,1,1,1号差，第三节是8πG=c=1，-1.，1,1,1号差，。。。。。。。。。
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- 台湾PiPi
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理论县侯9
回复：20楼
光是 Maxwell 方程就有好几种不同的写法了. 在我讲电磁波的时候, 我都会请学生注意一本书的作者是用 e^j(wt-kz) 习惯还是用 e^i(kz-wt) 习惯, 那会导致介电常数的虚部符号相反.
光是 Maxwell 方程就有好几种不同的写法了. 在我讲电磁波的时候, 我都会请学生注意一本书的作者是用 e^j(wt-kz) 习惯还是用 e^i(kz-wt) 习惯, 那会导致介电常数的虚部符号相反.
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- 台湾PiPi
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理论县侯9
我最早是由下面这本书学到微商兄所说的表示法:
"Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua" by Ivar Stephen Sokolnikoff
"Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua" by Ivar Stephen Sokolnikoff
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- 李微商
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理论亭侯7
回27楼：
Levi Civita联络说的就是矢量的平移，而▽则是微分几何里经常用的协变微分（即你所说的共变导数），在张量分析里经常喜欢用“；”表示协变微分。你是在看那本俄罗斯的“微分几何与拓扑学”吗？好像那里面就是这样定义的。关于协变微分，接下来看大家的兴趣，再来讨论。
错别字很多啊，是现在的时尚吗？
Levi Civita联络说的就是矢量的平移，而▽则是微分几何里经常用的协变微分（即你所说的共变导数），在张量分析里经常喜欢用“；”表示协变微分。你是在看那本俄罗斯的“微分几何与拓扑学”吗？好像那里面就是这样定义的。关于协变微分，接下来看大家的兴趣，再来讨论。
错别字很多啊，是现在的时尚吗？
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- 一个叫兔子的猫
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理论亭侯7
回复：28楼
太懒了，不想修改错别字。。。。。。。。。。。。。。。
吾看的不是 微分几何与拓扑学。。。。。。。。。。。
是几何4出版的黎曼几何。。。。。。。。。。
吾张量分西只懂点皮毛。。。。。。。。。。
吾学的扎实的也就普通微机分，高等代数学
实变，饭含，高等微机分一只半解。。。。
所以看你写的东西非常有压力。。。。。。。。。。。。。
太懒了，不想修改错别字。。。。。。。。。。。。。。。
吾看的不是 微分几何与拓扑学。。。。。。。。。。。
是几何4出版的黎曼几何。。。。。。。。。。
吾张量分西只懂点皮毛。。。。。。。。。。
吾学的扎实的也就普通微机分，高等代数学
实变，饭含，高等微机分一只半解。。。。
所以看你写的东西非常有压力。。。。。。。。。。。。。
- 65楼
- 2010-08-26 12:49
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- 台湾PiPi
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理论县侯9
回复：65楼
考虑将流形上的某一个切向量沿著流形上的某一条曲线在背景平直空间中做一个一阶无穷小的平移
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平移 --> 平行位移
考虑将流形上的某一个切向量沿著流形上的某一条曲线在背景平直空间中做一个一阶无穷小的平移
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平移 --> 平行位移
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