我们假设一个矢量e_α在一个空间平移一小段距离∂x^γ，那么它的改变量∂e_μ（由于改变后的矢量和原来的e_α不会相同，所以下标用μ）和下面的因素有关：
① 和移动的距离∂x^γ成正比（因为移动距离越大，改变量会越大）；
② 和初始的矢量e_α成正比（因为该矢量e_α越大，改变量会越大）；
③ 和空间的弯曲程度的变化率有关。这里，我们知道空间的弯曲程度是由度规来描述的，但由于是平移，所以应该是和度规在空间的变化率组合有关。为简单起见，不妨把这个度规变化率组合用一个符号表示，这个符号就称为“克氏仿射联络符号”，即Γ^α_μγ。至于它的计算可用其它方法得到。
作者；李微商
① 和移动的距离∂x^γ成正比（因为移动距离越大，改变量会越大）；
② 和初始的矢量e_α成正比（因为该矢量e_α越大，改变量会越大）；
③ 和空间的弯曲程度的变化率有关。这里，我们知道空间的弯曲程度是由度规来描述的，但由于是平移，所以应该是和度规在空间的变化率组合有关。为简单起见，不妨把这个度规变化率组合用一个符号表示，这个符号就称为“克氏仿射联络符号”，即Γ^α_μγ。至于它的计算可用其它方法得到。
作者；李微商
-
- 一个叫兔子的猫
-
理论亭侯7
25楼的问题：
这事我以前和GlassWing还有Laplace讨论过。
首先，我们要“相信”这么一点，那就是弯曲时空上的异点张量不能直接相加减——如果还指望运算完以后它还是个张量的话。
这个其实很容易理解，因为流形上不同点的切空间是不同的——虽然是相互同构的。既然切空间不同，那其上的张量自然没有可比性。就好比一个切空间是一个厂，这个厂生产香蕉，那个厂生产苹果，然后你问一个香蕉加两个苹果等于多少樱桃，此问题无解。
所以，就必须用某种东西把一个点的切空间上的张量“拖”到另一个点的切空间中去。
这里啰嗦这么一点细节：作为底流形的微分流形，事实上对张量场只提供了一个“表演的舞台”，张量场并不是定义在这个底流形上的，而是定义在底流形每一点的切空间上的，因为切空间是矢量空间，可以定义张量，底流形不是矢量空间，是具有度量结构的微分流形。当我们在微分流形上谈论“场”的时候，比如1形式场、张量场，事实上是一种纤维丛语言的简化，我们所谈论的主要是纤维丛的“截面”的概念。所以，不要错误地以为张量是定义在流形上的，正确的顺序是——张量定义在切丛上，流形上给出的是截面。
前面说到要用一个东西把一个点的切空间上的张量弄到另一个点的切空间上，目的就是这么“嫁接”完以后的东西还是一个张量，而且现在这个张量是定义在后来那个点上的。
这么一个量需要满足哪些性质呢？那我们就先要知道这么做好以后的东西需要有些什么性质。
首先，联络移动以后的目的主要是用来做张量的加减运算。当我们考虑微分运算的时候，自然就是相减。而我们知道，微分运算是满足莱布尼茨律的，所以这就是我们需要的一个评判标准。
其次，标量场是不需要这么移动的，因为标量场在坐标变换下是不变的。
第二点需要展开说明一下。
我们来看矢量场。矢量场如果不做联络移动而直接在不同点之间做减法的话，看上去貌似没啥问题。但是一旦进行坐标变换，那就不对了，我们发现坐标变换以后，两个张量的差是坐标变换的函数，这就是非张量的体现。
但是标量不同，标量没有这个问题。不同点上的张量可以直接做减法，而且无论你坐标怎么变换，这个结果是不变的——因为标量是不随坐标变换而变的，但矢量会。
因而，联络移动对标量是不起作用的——当然，从纯数学上说，我们也可以要求它发生变化，那就麻烦一点了——这个后面说纤维丛上的一般性联络的时候会提到，两者还是很相似的。
随后第三点，联络移动后的变更量与移动量应该是有关系的。这个很显然，当我们从P点移动到P点的话，P点的张量场在移动前后显然是应该保持不变的，因为事实上压根就没动。而如果是从离P点一定距离的Q点，那么在一个很微小的领域来说，PQ之间的距离的增加应该能导致变更量的增加，而且当距离为0的时候变更量为0。这么一来，总能将变更量表示为增加距离的正幂次级数展开。
最后一点，变更量也肯定是张量场的函数，而且总也可以表示成后者的幂级数展开。
上面就把这个变更量的形式范围给确定下来了，然后就开始来确定这个形式能取哪些。
从第三点开始，我们要注意，变更量是指协变微分与普通微分之间的“差异”，而协变微分必须满足对张量场的莱布尼茨律。那么，我们就拿几个矢量场的并矢（是张量）来进行计算。这里计算过程从略，大家可以作为练习。最后得到的结果，就是变更量只能是PQ距离的线性函数。
同理也可以证明，变更量只能是矢量场的一阶线性关系——对于并矢等张量也是如此，不过需要求和的东西多一点。也就是说，联络只能有三个“槽口”。
因而，如果要保证协变微分的莱布尼茨率，联络就只能是PQ距离的正比函数，也只能是被移动矢量的正比函数。
当然，需要注意的是，这样得到的联络是不定的，而且也与微分流形的具体结构无关——当然，与整体拓扑性质是有关的，比如连通性。
所以，最后我们要加上度规适配条件，从而适配联络就成为“合法”描述整个微分流形的微分结构的联络了。
在引入纤维丛结构以后（当然，微分流形是天然就有纤维丛的，因为必然要有切丛。别的纤维丛结构就需要额外引入了，比如主丛），联络的含义就广泛了。
好上面所说的联络相同，现在纤维丛上的联络也是要把不同点上的张量场挪到一次，从而可以相加减。只不过，现在这个张量场可以不是定义在切丛上的，而是定义在别的丛上，比如主丛、仿射丛、球丛，甚至早饭丛（这个我喜欢）。联络的作用，本来是将不同切丛上的张量“同源化”，现在就成了把不同丛上的张量“同源化”。
比如规范场论中的电磁场，其4势就是U(1)丛的联络。而描述弱力的就是SU(2)丛，其4势就是SU(2)丛的联络。QCD是SU(3)丛，我们所希望的GUT理论是U(1)×SU(2)×SU(3)这么个丛。
说一下——所谓主丛，其实就是将某个群作为纤维所构成的纤维丛。
由于纤维丛的存在，所以本来在切丛上看来是标量的量也可以有非零的联络变更。但是，对于一个只定义在切丛上，在别的丛上无定义的这么一个东西，从最简原则出发，我们就认为它的联络变更为零——反之，如果不是零，就表明这里有别的丛结构。
回答者：LostAbaddon
这事我以前和GlassWing还有Laplace讨论过。
首先，我们要“相信”这么一点，那就是弯曲时空上的异点张量不能直接相加减——如果还指望运算完以后它还是个张量的话。
这个其实很容易理解，因为流形上不同点的切空间是不同的——虽然是相互同构的。既然切空间不同，那其上的张量自然没有可比性。就好比一个切空间是一个厂，这个厂生产香蕉，那个厂生产苹果，然后你问一个香蕉加两个苹果等于多少樱桃，此问题无解。
所以，就必须用某种东西把一个点的切空间上的张量“拖”到另一个点的切空间中去。
这里啰嗦这么一点细节：作为底流形的微分流形，事实上对张量场只提供了一个“表演的舞台”，张量场并不是定义在这个底流形上的，而是定义在底流形每一点的切空间上的，因为切空间是矢量空间，可以定义张量，底流形不是矢量空间，是具有度量结构的微分流形。当我们在微分流形上谈论“场”的时候，比如1形式场、张量场，事实上是一种纤维丛语言的简化，我们所谈论的主要是纤维丛的“截面”的概念。所以，不要错误地以为张量是定义在流形上的，正确的顺序是——张量定义在切丛上，流形上给出的是截面。
前面说到要用一个东西把一个点的切空间上的张量弄到另一个点的切空间上，目的就是这么“嫁接”完以后的东西还是一个张量，而且现在这个张量是定义在后来那个点上的。
这么一个量需要满足哪些性质呢？那我们就先要知道这么做好以后的东西需要有些什么性质。
首先，联络移动以后的目的主要是用来做张量的加减运算。当我们考虑微分运算的时候，自然就是相减。而我们知道，微分运算是满足莱布尼茨律的，所以这就是我们需要的一个评判标准。
其次，标量场是不需要这么移动的，因为标量场在坐标变换下是不变的。
第二点需要展开说明一下。
我们来看矢量场。矢量场如果不做联络移动而直接在不同点之间做减法的话，看上去貌似没啥问题。但是一旦进行坐标变换，那就不对了，我们发现坐标变换以后，两个张量的差是坐标变换的函数，这就是非张量的体现。
但是标量不同，标量没有这个问题。不同点上的张量可以直接做减法，而且无论你坐标怎么变换，这个结果是不变的——因为标量是不随坐标变换而变的，但矢量会。
因而，联络移动对标量是不起作用的——当然，从纯数学上说，我们也可以要求它发生变化，那就麻烦一点了——这个后面说纤维丛上的一般性联络的时候会提到，两者还是很相似的。
随后第三点，联络移动后的变更量与移动量应该是有关系的。这个很显然，当我们从P点移动到P点的话，P点的张量场在移动前后显然是应该保持不变的，因为事实上压根就没动。而如果是从离P点一定距离的Q点，那么在一个很微小的领域来说，PQ之间的距离的增加应该能导致变更量的增加，而且当距离为0的时候变更量为0。这么一来，总能将变更量表示为增加距离的正幂次级数展开。
最后一点，变更量也肯定是张量场的函数，而且总也可以表示成后者的幂级数展开。
上面就把这个变更量的形式范围给确定下来了，然后就开始来确定这个形式能取哪些。
从第三点开始，我们要注意，变更量是指协变微分与普通微分之间的“差异”，而协变微分必须满足对张量场的莱布尼茨律。那么，我们就拿几个矢量场的并矢（是张量）来进行计算。这里计算过程从略，大家可以作为练习。最后得到的结果，就是变更量只能是PQ距离的线性函数。
同理也可以证明，变更量只能是矢量场的一阶线性关系——对于并矢等张量也是如此，不过需要求和的东西多一点。也就是说，联络只能有三个“槽口”。
因而，如果要保证协变微分的莱布尼茨率，联络就只能是PQ距离的正比函数，也只能是被移动矢量的正比函数。
当然，需要注意的是，这样得到的联络是不定的，而且也与微分流形的具体结构无关——当然，与整体拓扑性质是有关的，比如连通性。
所以，最后我们要加上度规适配条件，从而适配联络就成为“合法”描述整个微分流形的微分结构的联络了。
在引入纤维丛结构以后（当然，微分流形是天然就有纤维丛的，因为必然要有切丛。别的纤维丛结构就需要额外引入了，比如主丛），联络的含义就广泛了。
好上面所说的联络相同，现在纤维丛上的联络也是要把不同点上的张量场挪到一次，从而可以相加减。只不过，现在这个张量场可以不是定义在切丛上的，而是定义在别的丛上，比如主丛、仿射丛、球丛，甚至早饭丛（这个我喜欢）。联络的作用，本来是将不同切丛上的张量“同源化”，现在就成了把不同丛上的张量“同源化”。
比如规范场论中的电磁场，其4势就是U(1)丛的联络。而描述弱力的就是SU(2)丛，其4势就是SU(2)丛的联络。QCD是SU(3)丛，我们所希望的GUT理论是U(1)×SU(2)×SU(3)这么个丛。
说一下——所谓主丛，其实就是将某个群作为纤维所构成的纤维丛。
由于纤维丛的存在，所以本来在切丛上看来是标量的量也可以有非零的联络变更。但是，对于一个只定义在切丛上，在别的丛上无定义的这么一个东西，从最简原则出发，我们就认为它的联络变更为零——反之，如果不是零，就表明这里有别的丛结构。
回答者：LostAbaddon
No comments:
Post a Comment