第3 章 物理过程与一般发展过程——概论
上一章里我们讲了物理世界的基本规律，重点是物理规律的时空不变性和对应的不变
量。我们在第1 章中说过：物理学研究的是时空中的物质的运动；对一般过程的理论来说，
研究的是时“空”（真实空间或参数“空间”）中运动的体系。这一章里我们就来具体讨论
物理系统的时空变化性质及其发展变化过程的一般规律。
对于宏观的、具有多自由度的物理系统来说，其发展变化过程与一般的（工程的、化
学的、生物的、社会的，等等）发展演化过程是相似的。德国物理学家Hermann Haken
从60 年代起发展了一种称为“协同学”（Synergetics）的理论，就是试图用物理学中发展
起来的一些理论和方法来探索研究一般发展过程的普遍理论模型。
对于这样多自由度的复杂系统，要描述其运动状态是非常困难的。一般的作法，是从
最简单的运动形式出发来进行研究。即先研究特殊的、但是具有一定代表性的“点”，再由
“点”到面，发展总体的模型。实际上，即使是最简单的体系——比如一个单粒子（质点）
的系统，牛顿当年也是从其最简单的运动形式——静止或匀速直线运动的状态——出发来
进行分析的（牛顿第一定律）。
这个最简单的运动形式就是所谓“平衡”的状态。
对于一个最简单的单粒子（质点），我们从牛顿定律知道，其最简单的运动形式就是“静
止或匀速直线运动的状态”——这样的状态或者是没有外力作用、或者是外力作用相互“平
衡”的状态。我们在这一章里，重点介绍物理学中关于平衡、非平衡、与稳定性问题的研
究方法和理论模型，研究物理系统的发展变化（特别是随时间的发展变化）过程的规律、
以及描述这些过程的方法，并尝试掌握研究一般（非物理）系统发展演化的规律与研究方
法。
3.1 平衡及其稳定性
前面说了，研究一个“多体”系统（物理的、工程的、化学的、生物的、社会的，等
等），最重要的问题之一，就是平衡问题。比如，对工程系统来说，从工程的意义上主要是
力学平衡的问题（对一维谐振子来说，就是确定其力学平衡位置（R 0）；当然还有其它
的、有关工程运行的各种“系统工程”平衡问题，如原材料与产出、财政收支等等这些管
理方面的平衡问题）；对物理学系统来说，则或者是力学平衡、或者是（对宏观的热力学系
统、微观的统计力学系统的）热力学平衡；对化学系统，则是化学平衡与热力学平衡；对
生物系统，除力学、热力学、化学的平衡，还有医学、生物意义上的平衡：如吸收与消耗
的平衡，大的系统还有生态的平衡，等等；而社会系统则有着更为复杂的各种平衡。
就最简单的物理学问题来说，平衡状态是一个系统的最简单的运动状态。比如一个达
到力学平衡（force balance）的系统，其宏观运动形式就处于“静止”（包括匀速直线运
动）的状态。而一个达到热力学平衡（thermal equilibrium）的系统，其温度保持不变、
熵不再增加、系统的各热力学量也不再随时间变化——其时间演化“停止”了——从宏观
上看也是一种“静止”的状态。需要指出的是：力学平衡的静止或者匀速直线运动状态，
是一种动量守恒的最简单形式；热力学平衡态的温度不变，则是多体系统能量守恒的最简
单形式。力学平衡对应空间的位置，热力学平衡对应时间的演化。这与我们在上一章学过
的时空与能量、动量的关系是相互联系的。
但是我们知道，理想的、完全不随时间演化的平衡态是不存在的。用哲学的语言表述，
就是：“平衡是相对的，不平衡是绝对的”。所以我们上面说的这种“时间演化停止了”的
平衡态只是宏观（热力学）意义上的平衡，其微观粒子仍在做无规的热运动。即使在完全
力学意义上达到了“平衡”，一般也是所谓的“动态平衡”——在外部作用下从一个平衡“渐
变”到一个新的平衡。所以我们更关心的，是对于“快变量”（即短时间尺度）来说是“平
衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 衡”，但却是一种在长时间尺度上“慢变”的过程 。
尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 尽管是一个有大量的自由度复杂多体系统，如果达到“平衡”，则用少数几热力学 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 量就可以描述，多数情况下甚至仅用“温度”这一个热力学大略。比如天气 预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般预 报，大家最关心的首先就是气温然后才阴晴、风力近有湿度（国内一般报甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣甚至 没有这个参数）、空气污染指洗车穿衣PM2.5PM2.5PM2.5 PM2.5浓度等参数的预 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 报。而在室内，如果是中央空调我们通常仅设定一个温多少就可以更高级点 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 的空调设备还可以整湿度，但是即使有这个功能也很少人用。所我们研究一 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。 个系统运动的状态，往是以用几参数就可简单描述平衡为出发点。
因此，我们在这一章里先研究平衡及其基本性质。 因此，我们在这一章里先研究平衡及其基本性质。 因此，我们在这一章里先研究平衡及其基本性质。 因此，我们在这一章里先研究平衡及其基本性质。 因此，我们在这一章里先研究平衡及其基本性质。
3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束” 与“点力学系统的平衡：“约束”
与“点我们以最简单的力学系统为例。 我们以最简单的力学系统为例。 我们以最简单的力学系统为例。
力学的平衡，往都是在一定“环境”下（比如势场 力学的平衡，往都是在一定“环境”下（比如势场 力学的平衡，往都是在一定“环境”下（比如势场 力学的平衡，往都是在一定“环境”下（比如势场 力学的平衡，往都是在一定“环境”下（比如势场 ）、满足一定“约束条件”（势 ）、满足一定“约束条件”（势 ）、满足一定“约束条件”（势 ）、满足一定“约束条件”（势 ）、满足一定“约束条件”（势 场环境的特定分布限制）平衡。 场环境的特定分布限制）平衡。 场环境的特定分布限制）平衡。
比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面比如我们在教室里（一 种重力场的“环境”下）将物体放置桌面种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 种特定分布的限制）上，就达到了一力学平衡：作用在物体重与桌面“支撑 力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重力 ”达到平衡。这个的实现，是因为物体被“约束在桌面上子形成了重场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在场环境的一种特定分布（及桌 面与地两个不同重力势能“”），而物体被限制在面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 面上（尽管其势能较地为高）。如果这个“约束”是一曲，那么物体只有在该的 “极低点”（谷） 或者高峰“极低点”（谷） 或者高峰“极低点”（谷） 或者高峰“极低点”（谷） 或者高峰“极低点”（谷） 或者高峰—— 都是指“曲面”的空间 都是指“曲面”的空间 都是指“曲面”的空间 分布取极值的点 分布取极值的点 分布取极值的点 —— 才 能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上能达到平衡。比如将一个乒乓球放碗里， 底就是“点”；固定好的篮上则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的 顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些则篮球的顶端才是“平衡点”。这个曲面也可以坑洼，那些
底部就是平衡点；那些“坑坑洼洼”之间的凸出部，显然也是平衡点。
对一维谐振子（见附录3A）来说，这个约束就是其所处的“弹性势能场”： 2 1
( )
2
U R KR 。
其平衡点R 0显然是U(R)分布的极值点U(R 0) 0。
【——这些“平衡点”的基本性质，就是其“高度”对于高度水平分布的一阶微商等于
零！这一点我们后面再详述。】
物体在重力场中如果失去“约束”，就会做自由落体运动，一直落向“地面”——到达
一个新的约束面，形成新的平衡。
3.1.2 参数空间的平衡：一般的约束条件与平衡点
如果我们研究的是一个参数空间描述的一般系统，则这些约束也可以是参数空间的约
束。一个系统在参数空间的“平衡点”也就是其“约束”的参数分布的极值点。比如北京
的人口在某一参数空间（比如年龄分布、或者密度分布、或者收入分布）和一定的约束条
件（特别是“政策”约束条件）下达到“平衡”；或者一个国家的对外贸易在某一参数空间
（进出口额）和一定约束条件（包括关税、贸易条约等）下的平衡等。这些“平衡”一般
都是在长时间尺度上“缓变”的“动态平衡”。
显然，这些极值点有的是稳定的，有的是不稳定的：处于那些“峰值”点的系统，如
果小有扰动变化，就离开了峰值的位置，不会再回去——显然是不稳定的；而处于那些“谷
底”点的系统，即使有小的扰动变化，离开了原来的位置，还会再回去——这些系统显然
是稳定的。
【作业：试举例叙述一定约束条件下某一体系在参数空间的平衡问题。】
我们可以利用约束条件在参数空间分布的极值点的性质来进行稳定性分析。这种分析
有两种形式：定性分析与量。 有两种形式：定性分析与量。 有两种形式：定性分析与量。
3.1.3 定性分析 定性分析 自由能 自由能 梯度与力 梯度与力 梯度与力
以重力场中的约束为例。 以重力场中的约束为例。
即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 即使一个系统具有很高的势能（比如物体放在海拔地区张桌子上）也可以 比只有很低势能的 同样系统（如大海中航行着比只有很低势能的 同样系统（如大海中航行着比只有很低势能的 同样系统（如大海中航行着比只有很低势能的 同样系统（如大海中航行着船上放置在一张桌子的同样物体）更 船上放置在一张桌子的同样物体）更 船上放置在一张桌子的同样物体）更 稳定。
那么，影响这一物体稳定性的本质上原因是什？ 那么，影响这一物体稳定性的本质上原因是什？ 那么，影响这一物体稳定性的本质上原因是什？ 那么，影响这一物体稳定性的本质上原因是什？ 那么，影响这一物体稳定性的本质上原因是什？ —— 并不仅是系统具有的能量 并不仅是系统具有的能量 并不仅是系统具有的能量 的多少，而是其所具能量中有可释放出来那部分 的多少，而是其所具能量中有可释放出来那部分 的多少，而是其所具能量中有可释放出来那部分 的多少，而是其所具能量中有可释放出来那部分 的多少，而是其所具能量中有可释放出来那部分 —— “自由能 自由能 ”的多少。放在高海拔 ”的多少。放在高海拔 地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船地区的 一张平放桌子上物体自由能可以是零；而在航行着船同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。 同样物体的自由能，在风浪条件下可以等于现有势与其位甲板表面之差。
我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 我们定性地分析一个系统是不稳的，就看旦离开原来平衡（只要点 点）之后，是不会有自由能释放出来。 点）之后，是不会有自由能释放出来。 点）之后，是不会有自由能释放出来。
就上面的例子来说，在摇晃船甲板桌物体靠 就上面的例子来说，在摇晃船甲板桌物体靠 就上面的例子来说，在摇晃船甲板桌物体靠 就上面的例子来说，在摇晃船甲板桌物体靠 就上面的例子来说，在摇晃船甲板桌物体靠 静摩擦维系的平衡，如果离开 静摩擦维系的平衡，如果离开 静摩擦维系的平衡，如果离开 原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上原来的 平衡一点儿（静摩擦小于重力沿桌面分量），就会滑下去；而在上物体， 即使离开原来的平衡一点儿物体， 即使离开原来的平衡一点儿物体， 即使离开原来的平衡一点儿仍会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。 会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。 会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。 会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。 会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。 会建立新的平衡（因为桌面“约束”还在）。
因为一个系统的平衡点是“势能”函数 因为一个系统的平衡点是“势能”函数 因为一个系统的平衡点是“势能”函数 因为一个系统的平衡点是“势能”函数 在参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 参数空间的“极值点”，所以势能”函（ 上 面的例子 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 里正比于离开“地面”的高度）在当”（即这一点上随参数（是对平衡 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 位置的偏离）变化率（对参数一阶微商为零。这是“平衡点”基本性质而 离开平衡位置一点，就会有非零的随参数变化率。 离开平衡位置一点，就会有非零的随参数变化率。 离开平衡位置一点，就会有非零的随参数变化率。 离开平衡位置一点，就会有非零的随参数变化率。 离开平衡位置一点，就会有非零的随参数变化率。
系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 系统“势能”随参数增加的方向是所谓梯度，即变化率（对 参数的一阶微商）大于零。 参数的一阶微商）大于零。 参数的一阶微商）大于零。
如果参数空间x 中系统的性质用函数（比如势能函数）U(x)表示，则其“梯度”可以定
义为：U/x （=dU/dx）。而“力”的方向与“梯度”的方向相反。或者说，水往低处流。
所以如果离开“平衡点”（该点系统“势能”对参数的一阶微商为零），对参数的一阶微商
变得大于零（这表明该函数在这个离开方向上的一阶微商在增加），那么“力”会指向“平
衡点”，把移动的系统“推”回去。则这个平衡就是稳定的。如果离开“平衡点”，对参数
的一阶微商变得小于零（在这个离开方向上函数的一阶微商在减小），那么“力”从“平衡
点”指向离开的方向，把移动的系统“推”出去。则平衡是不稳定的。
比如一个人在拥挤的人群中，周围的“拥挤力”相互平衡。这时如果他向任何一个方向
挤过去都会使得“人的密度”增加。所以这个平衡显然是稳定的平衡。反之，如果周围人
都向外挤，那么他向任何一个方向挤过去都会使得那个方向向外挤出去的力增强，则原来
的平衡是不稳定的平衡。
所以，稳定性分析，最后都可以归结成计算系统“势能”函数在平衡点处对其参数的一
阶微商的变化趋势，也就是参数的二阶微商的正负：如果这个二阶微商是正的（大于零），
即一阶微商在偏离的方向上增加，系统的这个平衡点就是稳定的；如果这个二阶微商是负
的（小于零），就是不稳定的；如果平衡点处描述系统性质的函数的二阶微商也等于零，则
系统是临界（“边缘”）稳定的（marginal stable）。一维谐振子的平衡点R 0显然是一个
稳定的平衡点，该点势能函数2 1
( )
2
U R KR 的二阶微商U(R 0) K 0。
3.1.3 定量分析
更进一步的问题是：如果系统是稳定的，有多稳定？如果两个同类系统都是不稳定性的
哪一个更不稳定一些？也就是说，如何定量地说明一个系统的稳定程度？
当然，最直接的办法是测量这个系统的自由能。自由能少的，就更稳定一些；多的，就
更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，更不稳定 一些。但是实际上往很难直接测量个系统的自由能般来说，量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 量分析稳定性的办法，是计算不增长率。也就说看某个描述系统主要特征 过程的函数 值在单位时间里增长了多少 值在单位时间里增长了多少 值在单位时间里增长了多少 —— 这个多少一定要是相对 的量：绝这个多少一定要是相对 的量：绝这个多少一定要是相对 的量：绝的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 的数量叫做“增长”，但是如果没有一个合适尺子”来度，就无法把握趋势。 比如增长了 100 100，如果基数是 ，如果基数是 ，如果基数是 50 ，这个增长是 不得了的！如果基数，这个增长是 不得了的！如果基数，这个增长是 不得了的！如果基数，这个增长是 不得了的！如果基数，这个增长是 不得了的！如果基数，这个增长是 不得了的！如果基数50 亿，那么这个“增 亿，那么这个“增 亿，那么这个“增 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 长”和“零增没有区别（测量的误差都比这个数要大）。所以我们衡一国家经济 成长，都是用 成长，都是用 GDP 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 单位在时间里（比如一年）增长了百分之几，而不是多少元或者 USDUSDUSD。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 。显然这个增长率的单位是时间倒数可以看出，越高自由能释 放得越快 —— 时间和能量用这种方式又联系在一起了 时间和能量用这种方式又联系在一起了 时间和能量用这种方式又联系在一起了 时间和能量用这种方式又联系在一起了 时间和能量用这种方式又联系在一起了 。
所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。 所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。 所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。 所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。 所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。 所以，我们通常用基于能量守恒定律的谓“原理”来计算增长率。
但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 但是在一些简单的情况下，我们也可以用前面说函数参空间梯度来计算。比如 一个满足牛顿第二定律的力学系统，作用： 一个满足牛顿第二定律的力学系统，作用： 一个满足牛顿第二定律的力学系统，作用： 一个满足牛顿第二定律的力学系统，作用： 一个满足牛顿第二定律的力学系统，作用： F = ma m dv/dt F = ma m dv/dtF = ma m dv/dtF = ma m dv/dtF = ma m dv/dt F = ma m dv/dtF = ma m dv/dtF = ma m dv/dt F = ma m dv/dt F = ma m dv/dtF = ma m dv/dt 。显然，力是单位时间动量 。显然，力是单位时间动量 。显然，力是单位时间动量 。显然，力是单位时间动量 mv 的变化，有 的变化，有 F ~ mv ，就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 就是动量的增长率。而我们知道，在势能场 U(x)中，力可以写 中，力可以写 成 F = -/ 。可见，对于这样的问题增长率与势能（负） 。可见，对于这样的问题增长率与势能（负） 。可见，对于这样的问题增长率与势能（负） 梯度 ，-/ ，成正比。
【我们注意到，从上面的关系可以得： 【我们注意到，从上面的关系可以得： 【我们注意到，从上面的关系可以得： / ~ mv 。 —— 左边是能量变化和“特 左边是能量变化和“特 左边是能量变化和“特 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 征时间”的乘积，右边是动量和空变化。我们又回到上一章关于能、守恒 的讨论结果。】 的讨论结果。】
很明显， 可以通过 计算平衡点附近的“势能”梯度 计算平衡点附近的“势能”梯度 计算平衡点附近的“势能”梯度 计算平衡点附近的“势能”梯度 来计算 增长率 。
但是我们知道， 在平衡点这一 在平衡点这一 在平衡点这一 位置 上，“势能”梯度是等于零的。所以 上，“势能”梯度是等于零的。所以 上，“势能”梯度是等于零的。所以 上，“势能”梯度是等于零的。所以 ，我们要稍微离 ，我们要稍微离 ，我们要稍微离 开平衡位置一点，在这个偏离处计算 开平衡位置一点，在这个偏离处计算 开平衡位置一点，在这个偏离处计算 “势能”梯度 “势能”梯度 。
从梯度的定义 / 可以知道，梯度的大小不仅取决于 可以知道，梯度的大小不仅取决于 可以知道，梯度的大小不仅取决于 函数值的变化 ，也取决于发 ，也取决于发 生这种变化的区间大小 生这种变化的区间大小 ；即使是很小的变化，如果近距离也会造成大梯度 ；即使是很小的变化，如果近距离也会造成大梯度 ；即使是很小的变化，如果近距离也会造成大梯度 ；即使是很小的变化，如果近距离也会造成大梯度 ；即使是很小的变化，如果近距离也会造成大梯度 —
—导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距导致非常大的自由能释放， 引起不稳定（增长率很高）“巨变”。比如贫富差距即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 即使不是很大，但如果参数空间的距离小（比“炫富”），也会形成梯度”， 变成很难控制的不稳定因素。 变成很难控制的不稳定因素。 变成很难控制的不稳定因素。
当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 当然，因为梯度的计算需要离开平衡点一而这到底是多少并不确定所以 得到的结果就很不确定 得到的结果就很不确定 —— 离开 得远一些，在那个新的点到梯度就可能大；离开 得远一些，在那个新的点到梯度就可能大；离开 得远一些，在那个新的点到梯度就可能大；离开 得远一些，在那个新的点到梯度就可能大；离开 得远一些，在那个新的点到梯度就可能大；近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：近一些，在那点得到的梯度就 可能小。因此我们还是需要用“相对量”来计算：是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 是看离开梯度等于零的平衡点，单位距上变化了多少即把 / 看成新的函数， 看这 个新函数单位长度上的变化： 个新函数单位长度上的变化： 个新函数单位长度上的变化： / ) / = U/ ()2 | = d2U/dxU/dxU/dx 2。我们把这个 变化称为函数 U的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 的二阶微商。可以证明，系统不稳定性释放自由能和这个成正 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 比。我们可以直接用计算某个描述系统主要特征过程的函数在平衡点对参二阶微 商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大商来表征系 统的不稳定程度。这个值如果是负，就；在方向上越大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大统越 不稳定。反之，这个值如果是正的系就；在方向上大稳定。
3.1.4 动态平衡的稳定性 动态平衡的稳定性 动态平衡的稳定性 动态平衡的稳定性
我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 我们说过，实际程中的“平衡”常是动态。一般来对某些参数 存在约束，但是对 其中某 其中某 一个参数没有约束条件或者只非常弱的。 一个参数没有约束条件或者只非常弱的。 一个参数没有约束条件或者只非常弱的。 一个参数没有约束条件或者只非常弱的。
比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 比如二维面上的运动：果其中一个方向特征尺度小（约束强） 、且稳定 、且稳定 、且稳定 ，而另一个 ，而另一个 方向特征尺度大（约束 弱），则在强方向特征尺度大（约束 弱），则在强方向特征尺度大（约束 弱），则在强方向特征尺度大（约束 弱），则在强方向特征尺度大（约束 弱），则在强的稳定 方向上发生的是快尺度 方向上发生的是快尺度 的“平衡” 的“平衡” 的“平衡” 过程，而 过程，而 在弱约束方向上发生的是慢尺度 在弱约束方向上发生的是慢尺度 在弱约束方向上发生的是慢尺度 的“动态”过程 的“动态”过程 —— 整个过程就是一“动态平衡”。 整个过程就是一“动态平衡”。 整个过程就是一“动态平衡”。 整个过程就是一“动态平衡”。
所以， 对于动态平衡，我们首先要确定时间尺度 对于动态平衡，我们首先要确定时间尺度 对于动态平衡，我们首先要确定时间尺度 对于动态平衡，我们首先要确定时间尺度 —— 达到平衡的快尺度和“动态”变 达到平衡的快尺度和“动态”变 达到平衡的快尺度和“动态”变 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 化的慢尺度。比如一个滑道上冰车：在每位置，对于垂直行 的方向，滑道截 的方向，滑道截
面的 空间变化是小尺度面的 空间变化是小尺度。即使有离开平衡点的小偏，其回到运动显然 即使有离开平衡点的小偏，其回到运动显然 即使有离开平衡点的小偏，其回到运动显然 即使有离开平衡点的小偏，其回到运动显然 即使有离开平衡点的小偏，其回到运动显然 总是快尺 度的 。相比这个快尺度 ，沿滑道行则是慢相比这个快尺度 ，沿滑道行则是慢相比这个快尺度 ，沿滑道行则是慢相比这个快尺度 ，沿滑道行则是慢—— 沿着滑道的空间变化也是缓（大尺 沿着滑道的空间变化也是缓（大尺 沿着滑道的空间变化也是缓（大尺 度） 的！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 ！所以我们讨论平衡的稳定性 时，是在快尺度下 时，是在快尺度下 时，是在快尺度下 时，是在快尺度下 时，是在快尺度下 时，是在快尺度下 考虑 “滑道 截面 ”的形状（约束） 的形状（约束） 的形状（约束） 的形状（约束） 的形状（约束） 的形状（约束） ； 而讨论平衡的“动态”性质则主要看沿 而讨论平衡的“动态”性质则主要看沿 而讨论平衡的“动态”性质则主要看沿 “滑道 ”的梯度 ”的梯度 。骑自行车 也是一个典型的动态平 是一个典型的动态平 是一个典型的动态平 衡过程： 垂直于 自行车 自行车 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 车轮平面的滑动摩擦造成小尺度约束觉得快衡过程；而 在车轮滚动方向因为造成的大尺度 在车轮滚动方向因为造成的大尺度 在车轮滚动方向因为造成的大尺度 向前运动的态过程 向前运动的态过程 向前运动的态过程 则是一个典型的慢尺度过程。 是一个典型的慢尺度过程。 是一个典型的慢尺度过程。
卫星在第一 LagrangeLagrange LagrangeLagrange Lagrange 点的运动也是一个典型态 平衡问题。这样比较复杂点的运动也是一个典型态 平衡问题。这样比较复杂点的运动也是一个典型态 平衡问题。这样比较复杂点的运动也是一个典型态 平衡问题。这样比较复杂点的运动也是一个典型态 平衡问题。这样比较复杂平衡的稳定性要看具体过程 平衡的稳定性要看具体过程 平衡的稳定性要看具体过程 的动力学分析 。有兴趣的可以 。有兴趣的可以 。有兴趣的可以 做一下。
【作业：试讨论某一系统的动态平衡过程。】 【作业：试讨论某一系统的动态平衡过程。】 【作业：试讨论某一系统的动态平衡过程。】 【作业：试讨论某一系统的动态平衡过程。】
3.23.23.2 趋向平衡的过程
如果平衡 的不稳定性发展起来 的不稳定性发展起来 的不稳定性发展起来 ，系统会 离开 原来的平衡。 原来的平衡。 原来的平衡。
实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。实际上，任何系统都是在发展变化的不会总停留一个平衡状 态。态的系统就没有了“生命”。所以 态的系统就没有了“生命”。所以 态的系统就没有了“生命”。所以 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 我们更关心系统偏离平衡的状态 。
除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到除非是“灾变”过程，不稳定的 系统离开原来平衡后会在新点找到平衡 ；而 如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论如果系统 是稳定的，则离开平衡后会“自己走回来”。所以无论处于稳定的还 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 是不稳定的平衡，在其离开原来位置之后面临一个新趋向过程 —— 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。 就是说，从一种状态出发怎么“走”，才最容易达到平衡。
3.2.1 近平衡态 近平衡态 线性非平衡态热力学 线性非平衡态热力学 线性非平衡态热力学 线性非平衡态热力学 线性非平衡态热力学
最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状最简单的趋近平衡过程是所谓“态 ”问题，也就说系统偏离其状并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡 态附近。因此，相比物理量来说系统对并不远、或者已经演化到新的平衡态附近。因此，相比物理量来说系统对
态的偏离量（或者说，“扰动量”）是很小的，可以用“线性扰动”方法（也称“微扰法”）
来研究。
这种平衡态附近的非平衡态，我们称之为“线性非平衡态”。线性非平衡态在宏观上可
以用线性非平衡态热力学来描述。这一热力学理论已经发展的比较完善。其代表性的理论
基础是“Onsager 倒易关系”和“最小熵产生定理”。
3.2.2 广义“力”与广义“流”
在介绍“Onsager 倒易关系”之前，我们先来研究广义“力”与广义“流”。
前面讲过，一个系统的平衡点是参数空间的“极值点”。所以在该点描述系统的函数随
参数变化的变化率（对参数的一阶微商）为零。而离开平衡之后，就会有非零的随参数变
化的变化率。这个非零的一阶微商就是我们说的“梯度”的大小，而函数在参数空间的增
加方向就是“梯度”的方向。有“梯度”的存在会使得系统具有向函数值减小的方向（与
“梯度”相反的方向）“运动”的趋势。所以我们可以用负“梯度”来引入“广义力”（类
似势函数的负梯度等于力）；而由于某一“广义力”所产生的系统向函数值减小的方向的“运
动”，我们称之为“广义流”。比如：电场（广义力）与电流（广义流），温差场（广义力）
与热流（广义流）等。我们注意到，一般情况下，二者都是一种“场分布”。
这样我们可以把描述“趋向平衡”过程的热力学量分为两类：“驱动”的“力”（一般
是负“梯度”的形式：可以是外部驱动，但也可以是体系自身的“自由能”的梯度驱动） i X
（i 1, 2, 3, ...），和响应这种驱动而产生的“流” i J （i 1, 2, 3, ...），比如电场和电流、
温度梯度和热流、密度梯度和粒子流等。一个简单的例子：如北京的人口密度及福利、教
育条件的差距与其产生的“人口密度梯度”、“福利教育条件梯度”，机会多少、找工作的难
易程度、收入高低及其产生的“工作机会梯度”、“收入梯度”与流入北京的“人口流”、“工
作流”之间的关系等等。
3.2.3 Onsager 倒易关系
【这部分只要求了解基本的结论。】
在“线性非平衡态”条件下，这两类热力学量之间应该满足如下关系：
( 0) i ij j J L X X 。 （3.01）
其中X 是所有“广义力” i X 的集合。这就是为什么我们称“近平衡态”统计热力学为“线
性非平衡态统计热力学”。这里对系数矩阵ij L（关于线性分析及其矩阵表示，参见附录3B），
我们已经用了爱因斯坦记号，即对重复下标求和：
ij j ij j
j
L X L X 。
可以证明，系数矩阵ij L 具有对称性：
ij ji L L 。 （3.02）
这个对称关系我们称为Onsager 倒易关系（Onsager Reciprocal Relations）。这个关系
的证明比较复杂、且需要一些新的物理概念。我们只给出上面的结果。
这个关系是微观可逆性（响应系数表现出微观可逆的平衡态性质）在宏观不可逆的输
运过程中的体现！
数学上看，在线性理论中两个一阶量（ i X 和j J ）之间的比例系数（ ij L ）一定是零阶
量；物理上，则揭示了在趋向平衡的过程中，系数矩阵ij L 完全是平衡态性质的体现，与偏
离平衡态的“远近”无关。
对外部驱动来说——系统原来是处于平衡态，“驱动”导致对平衡态的偏离，“响应”
表示对平衡态的偏离的大小；驱动越强，响应越大。但是尽管驱动和响应都在改变，响应
系数却保持不变；说明“响应”系数揭示了系统本身“固有”（即平衡态）的性质。对内部
梯度引起的“自由能”驱动来说， 梯度引起的“自由能”驱动来说， 梯度引起的“自由能”驱动来说， “广义力”（ “广义力”（ 初始自由能 初始自由能 的负 梯度 ）就是一种 ）就是一种 ）就是一种 对平衡态的 偏离， 引起的“广义流” 是一种输运过程引起的“广义流” 是一种输运过程引起的“广义流” 是一种输运过程引起的“广义流” 是一种输运过程—— 过程的快慢与“广义力”大小成正比。 过程的快慢与“广义力”大小成正比。 过程的快慢与“广义力”大小成正比。 比例系数（ “输运”系数 “输运”系数 ）则与过程的快慢、“广义力”大小无关。 ）则与过程的快慢、“广义力”大小无关。 ）则与过程的快慢、“广义力”大小无关。 ）则与过程的快慢、“广义力”大小无关。 ）则与过程的快慢、“广义力”大小无关。 所以输运系数揭示了 所以输运系数揭示了 所以输运系数揭示了 系统本身“固有”的性质。 系统本身“固有”的性质。 系统本身“固有”的性质。 对我们的问题来说，就是系统平衡态性质。 对我们的问题来说，就是系统平衡态性质。 对我们的问题来说，就是系统平衡态性质。 对我们的问题来说，就是系统平衡态性质。
平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不平衡态是一个可逆的 系统；而这些“响应数”描述趋向过程却不过程。
我们一般用 OnsagerOnsagerOnsager Onsager 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 倒易关系描述后一类内部梯度引起的“自由能”驱动问题，而把 前一类 外部驱动 问题归结到线性响应。 问题归结到线性响应。 问题归结到线性响应。
3. 3 线性响应与系统分析 线性响应与系统分析
我们来研究一个系统对外界扰动的线性响应问题。 我们来研究一个系统对外界扰动的线性响应问题。 我们来研究一个系统对外界扰动的线性响应问题。 我们来研究一个系统对外界扰动的线性响应问题。
我们前面说到，线性响应理论在物本质上与 我们前面说到，线性响应理论在物本质上与 我们前面说到，线性响应理论在物本质上与 我们前面说到，线性响应理论在物本质上与 OnsagerOnsager Onsager Onsager 倒易关系是相似的 —— 只是一 个 描述的是“驱动”过程，另一个 描述的是“驱动”过程，另一个 描述的是“驱动”过程，另一个 描述的是“驱动”过程，另一个 描述的是“驱动”过程，另一描述的是“自由能”释放过程。这与 描述的是“自由能”释放过程。这与 描述的是“自由能”释放过程。这与 描述的是“自由能”释放过程。这与 描述的是“自由能”释放过程。这与 一维 谐振子的“受 谐振子的“受 迫振动”和“本征荡过程很类似。在 迫振动”和“本征荡过程很类似。在 迫振动”和“本征荡过程很类似。在 一般过程研究 一般过程研究 一般过程研究 中的相当于驱动过程 中的相当于驱动过程 （靠外部能量 驱动） 和不稳定性过程 （靠内部自由能激发） （靠内部自由能激发） 。实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 实际的系统，这两种很难分割开。所以我们 要考虑两者的时间尺度。 要考虑两者的时间尺度。
如果外部驱动的时间尺度快，就是一个典型问题 如果外部驱动的时间尺度快，就是一个典型问题 如果外部驱动的时间尺度快，就是一个典型问题 如果外部驱动的时间尺度快，就是一个典型问题 如果外部驱动的时间尺度快，就是一个典型问题 ：即在 外部驱动 的时间尺度下 的时间尺度下 已经改变了系统的平衡， 已经改变了系统的平衡， 而自由能还没有来得及释放 自由能还没有来得及释放 自由能还没有来得及释放 。如果 我们 还要去考虑 还要去考虑 自由能释放 问 题，则 题，则 必须在新的 、已经偏离了原来平衡的 、已经偏离了原来平衡的 、已经偏离了原来平衡的 系统状态 系统状态 下重新考虑自由能释放的条件 下重新考虑自由能释放的条件 下重新考虑自由能释放的条件 。此时， 。此时， 原来的稳定性分析基础已经改变 原来的稳定性分析基础已经改变 原来的稳定性分析基础已经改变 —— 因为稳定性是对特平衡而言。比如危、旧建筑 因为稳定性是对特平衡而言。比如危、旧建筑 因为稳定性是对特平衡而言。比如危、旧建筑 因为稳定性是对特平衡而言。比如危、旧建筑 因为稳定性是对特平衡而言。比如危、旧建筑 的爆破 —— 慢也会倒掉，但是等不及就需要“快尺度”驱动 慢也会倒掉，但是等不及就需要“快尺度”驱动 慢也会倒掉，但是等不及就需要“快尺度”驱动 慢也会倒掉，但是等不及就需要“快尺度”驱动 慢也会倒掉，但是等不及就需要“快尺度”驱动 —— 比如爆破 比如爆破 。
如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来 如果自由能释放的时间尺度更快，则是典型不稳定性问题因为外部驱动还没有来
得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 得及起作用，系统的不稳定性已经发展来。等到外部驱动可能时候是否 存在都不 知道了 。比如 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 大厦将倾，我们还慢地支起架子来撑没搭好楼已经 倒塌了 —— 这时谈架子能不撑住还有什么意义呢？ 这时谈架子能不撑住还有什么意义呢？ 这时谈架子能不撑住还有什么意义呢？ 这时谈架子能不撑住还有什么意义呢？ 这时谈架子能不撑住还有什么意义呢？ 正所谓救兵如火 ：对于“快尺度” 对于“快尺度” 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 发展的不稳定性甚至“灾变”，必须采取更快尺度挽救措施 —— 晚了就来不及。 晚了就来不及。 晚了就来不及。
在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。 在线性非平衡态理论范围内的外部驱动问题，我们一般用响应来进行分析。
3.3.1 线性响应 线性响应 欧姆定律 欧姆定律 傅里叶定律 傅里叶定律
我们在一段导线两端加上电压（是高势 我们在一段导线两端加上电压（是高势 我们在一段导线两端加上电压（是高势 Umaxmaxmax、另一端是低电势 Uminmin ），这段导 ），这段导 ），这段导 线中就形成了电场，即“广义力” 线中就形成了电场，即“广义力” 线中就形成了电场，即“广义力” 线中就形成了电场，即“广义力” E = E = E = E = -/ 。导线里就会有电流 。导线里就会有电流 I通过。显然这个电流和 通过。显然这个电流和 导线两端的电势差 V = UV = UV = UV = UV = Umaxmaxmax - Uminmin 成正比。从欧姆定律可知： V = IRV = IRV = IRV = IRV = IRV = IR。这里 R是导线的电 阻。或者写成 。或者写成 I = I = I = I = ；这里 ；这里 是电阻的倒数，即导线“” 是电阻的倒数，即导线“” 是电阻的倒数，即导线“” 是电阻的倒数，即导线“” ；而 E =E =E = (Umaxmaxmax - Uminmin ) /L=V /L， L是导线的长度 。总电流强度 。总电流强度 。总电流强度 I是单位时间通过 某一截面的电荷数；如果定义是单位时间通过 某一截面的电荷数；如果定义是单位时间通过 某一截面的电荷数；如果定义是单位时间通过 某一截面的电荷数；如果定义是单位时间通过 某一截面的电荷数；如果定义单位面积的电荷数：流密度 单位面积的电荷数：流密度 单位面积的电荷数：流密度 J，则可以得到 J = J = J = E，这里 A （A是导线的截面积） 是导 线的“电导 线的“电率”。我们称电流密度 我们称电流密度 J为“广义力”电场强度 为“广义力”电场强度 为“广义力”电场强度 为“广义力”电场强度 E引起的“广义流”。显然， 引起的“广义流”。显然， 引起的“广义流”。显然， 引起的“广义流”。显然， 引起的“广义流”。显然， “广义流”正比于力”，其例系数电导率 “广义流”正比于力”，其例系数电导率 “广义流”正比于力”，其例系数电导率 “广义流”正比于力”，其例系数电导率 “广义流”正比于力”，其例系数电导率 被称为“输运系数”。 被称为“输运系数”。
改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称改变“广义力”，则流” 也随之，但是比例系数不。所以我们称是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 是“驱动”，“广义流”系统本身对的响应。显然，这个线性比例数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 并不随“驱动”而改变；所以这种响应关系是线性的，称。数 反映了系统“固有”的特性。比如一段 反映了系统“固有”的特性。比如一段 反映了系统“固有”的特性。比如一段 导线，一旦生产出来其电阻（或者说率）就 导线，一旦生产出来其电阻（或者说率）就 导线，一旦生产出来其电阻（或者说率）就 导线，一旦生产出来其电阻（或者说率）就 导线，一旦生产出来其电阻（或者说率）就 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 是确定的了；不会因为否使用它、在什么条件下而改变。（当然理想情况 —— 即 线性响应的情况。） 线性响应的情况。）
同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向 同样，如果我们在一段充满介质的管道两端加上温度差则里面热量会从高向
低温端流动。这时的“广义力”就是温差场的温度梯度，-T/x；“广义流”就是热流q。
由傅里叶定律我们知道：q = -T/x。我们再次得到对温度梯度驱动响应的“广义流”与
温差驱动本身成正比，比例系数称为介质的热导率（也叫热扩散系数）。热导率是介质本
身固有的物理性质。
3.3.2 线性响应理论
【这一小节的内容是介绍性质，不作为课程要求。】
如何具体计算线性响应系数（比如上一小节说的电导率、热导率）？给出具体计算的
方法的理论称为线性响应理论。我们这里简单介绍一下线性响应理论。
在1950 年代，Green 和Kubo 几乎同时证明了：如果J 是对外部驱动e X 的线性响应，
并可以用外部驱动条件下的（3.01）式表达：
( ) ( ; 0) ( ) e e
Ji t dtLij t t X X j t ， （3.03）
其中系数矩阵只与系统本身的性质有关，与外部驱动e
j X 的大小无关。
在周期扰动情况下，我们用（3.03）的Fourier 变换形式来描述线性响应：
( ) ( ; 0) ( ) e e
i ij j J L X X ， （3.04）
线性响应理论有广泛的应用，很多学校是作为专门的课程来教授。我们不打算进一步
展开，只是在这里简单介绍一维近似下金属电导率的计算。
金属的导电性质是由于其中存在着大量不受特定原子核的静电引力束缚的自由电子。
假设一维近似下这些自由电子的数密度（number density，单位体积里的个数）可以写成
e n ，则外界（一维）周期振荡电场E E(t)的作用下，单位体积电子受到的作用力（一维
线性近似下）为：
( ) e
e e e
u
n m n eE t
t
； （3.05）
这里e m 是电子质量；而由此产生的电流密度显然可以写成：
Je (t) neeue (t)； （3.06）
其中“负号”表示电子运动的方向和电流方向相反。利用振荡形式的解( ) ( ) i t A t A e 代
入求解这一组方程我们得到：
( ) ( ) e e e e in m u n eE ， （3.07）
2 2
0 ( ) ( ) ( ) ( )
4
e pe
e e e
e
n e
J n eu E i E
i m
。 （3.08）
即电导率2 ( ) / 4 pe i ；其中2 1/2 (4 / ) pe e e n e m 是电子的等离子体频率，而i
表示电流与电场之间相差90 度的相位。即电场达到第一个极大的时候，电流开始响应；电
场降到零的时候，电流正好达到极大。
另一个典型的计算系统对外部驱动的线性响应系数的例子就是我们在附录3A 中讨论
的一维阻尼谐振子：从（3A.07b）我们得到，阻尼谐振子对外界驱动( ) e X X 的线性响
应
0 2 2
0
( )
( )
( )
X
R R
i
， （3.09）
线性响应系数：
2 2
0
1
( )
( ) i
。 （3.10）
3.3.3 线性响应的应用——系统分析方法
【这部分只要求一般了解。】
线性响应理论被广泛应用与系统分析。
对一个系统进行分析，最简单的方法就是对这个系统进行一系列的线性“扰动”（即很
微小的、不会引起系统内禀性质变化的外部驱动），观察系统对这些扰动的响应。这些响应
与扰动之间的关系（比例系数），就反映了系统的固有（内禀）性质。这也叫“黑箱”方法，
即把系统作为一个“黑箱”（black box），利用外加扰动的方式“迫显”其内部的信息。这
也是物理测量的一般方式。量子力学的基本假设之一就是一个物理量对应所有本征态的测
量才是一个完整测量（完备集）——通过不同的测量“迫显”其内部信息的不同侧面，所
有这些侧面的总和才是系统内部信息的“全貌”。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，
就是指各种不完备的测量得到的只是内部信息的不同侧面。就像我们着手了解一件事情，
“走马观花”只能是简单的一组测量结果，“下马看花”是一种更全面精细的测量，而一定
时期的“安家落户”看到的、得到的测量结果越来越多，才会有较全面的了解。
具体来说，如何进行分析呢？
设这个系统是线性的，则可以用一个线性算子ˆL
来描述；就是说：其对外界扰动e X 的
响应J 满足线性方程ˆLJ Xe。然后我们解出： ˆ1
e J L X ，这里1 ˆL
是描述系统的线性算
子ˆL
的“逆算子”（即逆运算：比如除法是乘法的逆运算，积分是微分的逆运算，等等）。
我们还是以一维谐振子为例：有J R；对于外部的振荡“驱动” ( ) i t
e X X e ，有
2
2 2 2
2 0 0
ˆd d
L i
dt dt
，
1
2 2
0
ˆ1
( )
L
i
。
一般系统比线性谐振子复杂得多，所以处理起来在数学上也更繁杂。但是基本的方法是一
致的。
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