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本征值问题
本征值问题与对物理系统进行测量及其结果相关联（如何关联？）Llll=定理1、线性厄米算符得本征值是实数（证明之）定理2、线性厄米算符的属于不同本征值的两个本征矢正交L可观测量，完备性假设1：如果量子系统处于的一个特定的本征态，则对进行测量时得到本征值；假设2：系统的任何态都与的本征态线性相关，即的本征态构成一个完备集，具有一组完备本征矢的这些厄米算符叫做可观测量
浅谈量子力学厄米算符的作用
王烨（学号：2009213685）
（华中师范大学物理与科学技术学院09 级基地班，武汉，430079）
摘 要 在量子力学里，厄米算符可以表示力学量。本文首先介绍厄米算符的
定义, 以及它的3 个性质: 本征值的实数性, 本征态的正交性和本征态的完备性。
接着，重点探讨厄米算符性质在量子力学中的近似应用。
关键词：厄米算符；完备性；正交性；本征值；
1. 引言
在量子力学中, 量子态是用波函数描述的, 一切力学量在量子力学中都表现
为作用于波函数的某种算符。由于所有力学量的数值是实数,而表示力学量的算
符的本征值是这个力学量的可能值, 因而表示力学量的算符, 其本征值必须是实
数, 厄米算符就具有这个性质, 所以力学量的算符都是厄米算符。这也是量子力
学的最基本假设。在量子力学的学习中，我们该如何处理量子态、力学量、算符
及厄米算符的关系呢？在此，对量子力学中厄米算符的重要性作些小结。
2. 厄米算符的定义
在量子力学里，厄米算符(Hermitian operator)，是一种等于自己的厄米共轭
的算符。给予算符ˆQ 和其伴随算符
Q
+
，假设
Q Q
+ = ，则称ˆQ 为厄米算符。厄米
算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。由于每一种经过测量而得到的物理
量都是实值的。所以，可观察量ˆQ 的期望值是实值的：
Q Q
+ = 。对于任意量子态
y ，这关系都成立；
y Q y y Q y * = 。根据厄米算符的定义，假设
Q
+
是ˆQ
的厄米算符，则
y Qy y Qy * = 。因此，
Q Q
+ = 这正是厄米算符的定义。所
以，表示可观察量ˆQ 的算符，都是厄米算符。可观察量，像位置，动量，角动量，
和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的厄米算符来代表。
3. 厄米算符的性质
只考虑有限的希尔伯特空间，从线性代数的观点看, 厄米算符满足如下3 个
特征: （1） 本征态的实数性；（2）本征态的正交性( 不是指本征态一定正交, 而
是指存在一组正交的本征态) ；（3）本征值的完备性。 我们将一一考察每个特
征所代表的意义。
首先，来讨论本征值的实数性。这是大家最熟悉的一点, 也是一般最为强调
的一点. 但其实这是对力学量算符的所有要求中最弱的一个要求。若厄米算符ˆQ
的本征函数为y , 所属本征值为l , 则l 必定是实数, 这点很容易证明。
下面，来探讨正交性，我们知道属于不同本征值的本征函数是正交的。但是
怎么证明呢？可以先假设
Q
f = qf ，
Qg = q ' g (1)
其中ˆQ 是厄米算符。则可以得到:
f Qg = Qf g ， (2)
所以：
q ' f g q f g = * (3)
再次，内积是存在的，因为假定本征函数是位于希尔伯特空间内。但是q是
实数（由本征值的实数性），所以如果q ¹ q ' ,那么必然有f g = 0 。所以即证。
这也是无限深方势阱的定态正交的原因，它们是哈密顿具有不同本征值的本征函
数，这个性质是哈密顿所特有—任何可观测值的确定值态都有这一性质。
可观测量算符的本征函数是完备的，在希尔伯特空间中，任何函数都可以用
它们的线性组合来表示：
n n
n
y =Σc j 。 (4)
4. 厄米算符性质的近似应用
量子力学中, 若微观系统的哈密顿算符ˆQ 不是时间的显函数时,通过求解定
态薛定谔方程, 讨论定态波函数。除少数特例外, 定态薛定谔方程一般很难严格
求解, 通常采用近似方法来处理问题。常用的近似方法有: 微扰法和变分法, 厄
米算符的性质在其中有很重要的作用。
4.1 在微扰理论中的应用
在非简并微扰中，我们可以由无微扰情况下的精确解求出有微扰时的近似
解，进而得到能量的一级修正：
( 0 0 ) 1 ( 1 ) 0 ' n n n n H - E y = - H - E y (5)
0 H 是厄米算符，其本征函数是完备的，所以
1
n y 可以表示为它们的线性组合：
1 (n) 0
n m m
m n
y c y
¹
=Σ (6)
将（2）代入（1），并利用
0
m y 满足无微扰薛定谔方程的事实，可以得到：
( 0 0 ) ( ) 0 ( 1 ) 0 ' n
m n m m n n
m n
E E c y H E y
¹
Σ - = - - (7)
取
0
l y
与上式的内积，
( 0 0 ) ( ) 0 0 0 0 1 0 0 ' n
m n m l m l n n l n
m n
E E c y y y H y E y y
¹
Σ - = - + (8)
如果l = n ，左边为零，可以再次得到（1）；如果l ¹ n ，我们可以得到：
( 0 0 ) ( ) 0 0 ' n
l n l l n E - E c = - y H y (9)
或者，
( )
0 0
0 0
n m ' n
m
n m
H
c
E E
y y
=
-
(10)
所以，波函数的一级修正为：
( )
0 0
1 0
0 0
' m n
n m
m n n m
H
E E
y y
y y
¹
=
-
Σ (11)
其中微扰矩阵元在微扰理论中既是重点，也是难点。由以上的讨论中，厄米算符
的完备性和本征函数的正交归一性得到了充分的利用。
4.2在变分法中的应用
假如我们要计算一个哈密顿量为H 的体系的基态能量gs E ，但是不能用定态
薛定谔方程求解。变分原理将给gs E 一个上限。下面来介绍变分原理：选取任意
归一化函数y ，可证明：
gs E £ y H y º H (12)
就是说，在y 态下， H 的期望值必高估于基态能量。
下面来证明：
H 是哈密顿量，具有厄米算符的完备性，即H 的本征函数组成一个完全集，
所以可以将y 表示成它们的线性组合：
n n
n
y =Σcy (13)
n n n Hy = Ey (14)
因为y 是归一化的，所以：
2
1 m m n n m n m n n
m n m n n
= y y = Σc y Σcy =ΣΣc* c y y =Σ c (15)
假定本征函数本身已是正交归一的：
m n mn y y =s (16)
我们有，
2
m m n n m n n m n n n
m n m n n
H = Σc y HΣcy =ΣΣc* E c y y =ΣE c (17)
由定义可知，基态能量是最小的本征值，所以gs n E £ E ，因此
2
gs n gs
n
H ³ E Σ c = E (18)
这就证明了变分原理。
5. 总结
综上所述, 在量子力学的近似方法中厄米算符的定义与性质占有很重要的
地位, 掌握了厄米算符有助于对近似方法的理解。
通过本文的讨论认识到了厄米算符在量子力学中的不仅仅可以表示力学量，
更重要的是厄米算符的性质和定义在量子力学的近似方法中的应用。由此可见，
在量子力学中厄米算符所具有的重要作用。 在量子力学的学习中，我们一定要
重视厄米算符的定义，及其本征函数的正交归一性以及完备性。掌握了厄米算符
的这些性质和特点，可以帮助我们学习量子力学，达到事半功倍的效果。
参考文献：
[1] David J.Griffiths, 《Introduction to Quantum Mechanics》 [M]，北京机械工业
出版社，2006.(3).
[2] 刘连寿，《理论物理基础教程》[M]，高等教育出版社，2003
[3] 汪德新，《量子力学》[M]，科学出版社，2008
[4] 汪德新，《数学物理方法》[M]，科学出版社，2006
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