qm01 力学量算符F 算符 任意量子态在离散的希尔伯特空间中展开 力学量算符F 的本征函数组成完备系, 本征态不完备的情况下, 谈论其正交与否是没有多大意义

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完备性或封闭性关系llclψ=Σ''''llllllllcllccψδ===ΣΣ↓↓lllψψ=ΣlllI=Σ↓任意量子态在离散的希尔伯特空间中展开ψ连续函数按本征函数完备集展开()()001exp2/, 0, 1, 2,...nuxinxxnxπ=±±




为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示
黄亦斌
(江西师范大学物理与通信电子学院,江西南昌 330022))
摘要:立足于量子力学的数学表述,详细讨论了厄米算符的4个性质:线性,本征态的完备性,本征态的正交性和本征值的实数性.对于每个性质都给出了正面和反面的讨论,从而揭示了它们各自所代表的意义.
关键词:完备性;正交性;正规算符;厄米算符
中图分类号:O413.1   文献标识码:A   文章编号:100020712(2008)0420001206
  量子力学中的力学量都是用厄米算符表示的.为什么要这样?本文试对其作一些分析.作为分析的起点,应首先承认如下两个假定做为前提.
假定1 承认“先有态矢,后有算符”[1]的观点,
即首先认为:粒子的状态用复Hilbert空间中的矢量
|ψ〉来描述.|ψ〉和α|ψ〉(α为复数)表示同一状态,可要求态矢归一化:
〈ψ|ψ〉=1
(1)
其物理意义是所有可能的测量结果的概率为1.
假定2 对于算符部分,承认:在系统的某态下测量某力学量就是把该态矢用力学量算符的本征态
(或本征子空间)展开,或者说就是把态矢投影到各本征子空间;力学量的单次测量值就是此力学量算符的某个本征值,而系统的态也同时“塌缩”到相应的本征子空间.
基于此,才能考虑可观测量(力学量)的可能表示方法.为简单起见,这里只考虑有限维Hilbert空间.从线性代数的观点看,厄米算符满足如下4个特征:1)线性;2)本征态的完备性;3)本征态的正交性(不是指本征态一定正交,而是指存在一组正交的本征态;分析简并情况可知应取后者);4)本征值的实数性.我们将一一考察每个特征所代表的意义





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