phymath999: 幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。

Monday, February 11, 2013

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。

幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源^[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。

幂级数

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无穷级数

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}$

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蓝色曲线是指数函数，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1 项和的曲线

在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$

$= a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

其中的c和 $a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$ 是常数。 $a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots$ 称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。
如果把 $(x-c)$ 看成一项，那么幂级数可以化简为 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。
将一个函数写成幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n$ 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。
幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源^[1]。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为 $\frac{1}{10}$ 。在p-进数中则可以见到x被固定为 $10$ 的幂级数。

[编辑] 例子

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式 $f(x) = x^2 + 2x + 3$ 可以写成标准形式的幂级数：

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots$

也可以写成（ $c=1$ ）：

$f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots$

实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。
等比级数的公式给出了对 $|x|<1$ ，有

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ ，

是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开：

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$

以及正弦函数（对所有实数x 成立）：

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$

这些幂级数都属于泰勒级数。
幂级数里不包括负的幂次。例如 $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ 就不是幂级数（它是一个劳伦级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数 $a_n$ 必须是和x无关，比如 $\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,$ 就不是一个幂级数。

[编辑] 敛散性

作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有：

阿贝尔引理：给定一个幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ，如果对实数 $r_0>0$ ，数列 $( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0}$ 有界，那么对任意复数 $|x| < r_0$ ， $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 绝对收敛。

显示▼证明

按照引理，使得幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是：

要么对所有的非零复数， $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 都发散；
要么存在一个正常数（包括正无穷） $R$ ，使得当 $|x| < R$ 时， $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 绝对收敛，当 $|x| > R$ 时， $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数 $R$ 被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。
按照定义，对一个幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ，当 $x <R$ （在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当 $|x| > R$ 时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果 $|x| = R$ （在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。
根据达朗贝尔审敛法，收敛半径 $R$ 满足：如果幂级数 $\sum a_n x^n$ 满足 $\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho$ ，则：

$\rho$ 是正实数时， $R = {1 \over \rho}$ 。

$\rho = 0$ 时， $R = \infty$ 。

$\rho = \infty$ 时， $R = 0$ 。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

$R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

或者 $\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$ 。

[编辑] 幂级数的运算

形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

$(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots) \pm (b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n+\cdots$

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n$ 。

各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

[编辑] 一致收敛性

对一个收敛半径为R的幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数

$f : (-R,R) \longrightarrow \mathbb{R}$

$.\ \ \ \ \ \ x \longmapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

[编辑] 幂级数函数的求导和积分

可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径R。具体形式为：

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) x^{n}$

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} x^{n}} {n} + k$

[编辑] 函数的幂级数展开

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点 c 附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数 R>0，使得在复平面中以 c 为圆心以 R 为半径的圆D(c,R) 内（不包括边界）有：

$\forall z\in D(c, R),\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n$

其中 $a_n$ 为确定的常数。
如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（ $C^{\infty}$ ），并且在这点附近的展开式是唯一的。

$\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}$

即是在这点的泰勒展开的第 n 项的值。这时展开得到的幂级数称为函数 f 在 c 点的泰勒级数。

[编辑] 函数的可展性

对于一般的无穷可导函数 $f$ ，也可以写出幂级数 $\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$ ，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于 $f$ 。例如函数 $f$ ：

当 x>0时， $f(x)=e^{-1/x^2}$

当 $x \le 0$ 时， $f(x)=0$

可以证明 $f$ 无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数 $\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(0)\over{n!}} (x)^n$ 恒等于0，不等于 $f$ 。
函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零： $R_n(x)= f(x) -\sum_{n=0}^{n} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n \rightarrow 0$ ，
一个更常用到的充分条件是：如果存在正实数r，使得 $f$ 在区间 $(c-r,c+r)$ 上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的 n，任意的 $x \in (c-r,c+r)$ 都有

$|f^n (x)| \le M$ ，

那么 $f$ 可以在c附近展开成幂级数：

$\forall x \in (c-r,c+r) , \ \ f(x)= \sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n$ 。

[编辑] 常见函数的幂级数展开

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

$\forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \cos x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
$\forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.$
$\forall x\in(-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.$
$\forall x\in[-1,1],\, \arctan \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;$ ，特别地， $\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}$ 。
$\forall x\in\,(-1,1),\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.$
$\forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.$
$\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.$
$\forall x\in(-1,1),\, \arcsin \,x= x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
$\forall x\in(-1,1),\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right) {\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
$\forall x\in\, \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , \ \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)$ ，其中 $\forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p}$

[编辑] 幂级数与解析函数

主条目：解析函数

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即复可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。

[编辑] 形式幂级数

主条目：形式幂级数

在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

[编辑] 多元幂级数

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数：

$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},$

其中j = (j₁, ..., j_n)是一个系数为非负整数的向量。系数a_{(j₁,...,j_n)}通常是实数或复数。c = (c₁, ..., c_n)和变量x = (x₁, ..., x_n) 是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有

$f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.$

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