phymath999: 關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為 z 的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離 h ，可以使得O點成為拐點，則可以保證 z^2 級項目為零，因此領先不均勻項目是 z^4 級項目。

Monday, February 11, 2013

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為 z 的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離 h ，可以使得O點成為拐點，則可以保證 z^2 級項目為零，因此領先不均勻項目是 z^4 級項目。

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為 $z$ 的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離 $h$ ，可以使得O點成為拐點，則可以保證 $z^2$ 級項目為零，因此領先不均勻項目是 $z^4$ 級項目。

亥姆霍茲線圈

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一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。

亥姆霍茲線圈示意圖。

亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

[编辑] 簡介

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為 $R$ 的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為 $h/2$ 與 $-h/2$ 。每一個導體線圈載有同向電流 $I$ 。
設定 $h=R$ 可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使 $\partial^{2}B/\partial z^{2} = 0$ ，也意味著領先的非零微分項目是 $\partial^{4}B/\partial z^{4}$ ，稍後會對這論點做更詳細解釋。^[1] 但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約 7% 磁場數值的差別。
在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。^[2]

[编辑] 數學描述

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。

沿著線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。

等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值 $B_0$ 相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為 $0.5 B_0$ 、 $0.8 B_0$ 、 $0.9 B_0$ 、 $0.95 B_0$ 、 $0.99B_0$ 。

$B = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}$ ；

其中， $\mu_0$ 是磁常數。

[编辑] 推導

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為^[3]（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$ ；

其中， $B$ 是磁場數值大小， $\mu_0$ 是磁常數， $I$ 是電流， $R$ 是線圈半徑， $z$ 是檢驗位置的z-坐標。
對於 $n$ 匝線圈，磁場為

$B = \frac{\mu_0 n I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$ 。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為 $R/2$ ，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

$B = \frac{2\mu_0 n I R^2}{2(R^2+(R/2)^2)^{3/2}} = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}$ 。

[编辑] 進階推導

更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：^[4]

$\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{2} \left\{\left[R^2+(z-h/2)^2\right]^{-3/2} +\left[R^2+(z+h/2)^2\right]^{-3/2}\right\}\hat{\mathbf{z}}$ 。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成 $z$ 的冪級數：

$\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{d^3}\left[1+\frac{3(h^2-R^2)z^2}{2d^4}+\frac{15(h^4-6h^2R^2+2R^4)z^4}{16d^8}+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}$ ；

其中， $d=\sqrt{R^2+h^2/4}$ 。
現在設定 $h=R$ ，則 $z^2$ 項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

$\mathbf{B} ={\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 I}{R}\left[1-\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}$ 。