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国家自然科学基金资助项目（!""#$""%，!&’"$""$）；教育部跨世纪优秀人才基金资助项目
收稿日期：
%""!(!"(%)
用变分路径积分四阶测度方法处理
量子力学双势阱问题
!
王虹宇
!，%） 包景东!）
（
!）北京师范大学物理学系，!""*#$，北京；%）鞍山师范学院物理学系，
!!+""$
，辽宁鞍山"第一作者%’ 岁，男，硕博连读研究生）
摘要提出了一种计算量子力学路径积分的四阶测度方法，其中势场的二阶和四阶导数为
%
个变分参数。将此方法应用于双势阱问题，导出了有效经典势公式
, 对自由能、有效经典势和能量
劈裂进行了数值研究，获得了优于
-./0120(34.50.67 二阶高斯测度方法的结果, 该方法克服了涨落
模积分在跨越温度附近发散的困难，可以给出丰富的鞍点行为，尤其适合于位垒动力学
,
关键词变分路径积分方法；四阶测度；双势阱
分类号
8 +!!；8 )!’
-./0120
在他的《量子力学与路径积分》［!］一书中，提出用变分路径积分方法来计算配分
函数
, 其基本思路是把作用量中精确可积的动能项作为一个高斯分布密度函数，对势能项做此
高斯型测度下的平均；然后利用
9.0:.0 不等式，将无穷维泛函积分转化为易处理的一维积分，
得到配分函数的上界
,此后，-./0120和34.50.6（7 -(3）引入了变分技巧［% ;#，即把势能项中所分
离出的二次项与动能项一起包括到试探作用量里，然后将此试探作用量中的振子频率看成一
个变分参数，而对剩余项用
9.0:.0 不等式给出上界，再通过在每一点变动频率得出有效经典势
的极值，进而给出自由能的最佳上限
, 事实上，-(3 方法可理解为尽可能地使试探作用量中包
含更多的信息，而使剩余项更小
, 近年来，34.50.67 及其合作者［)］对于非谐振子问题引入了微扰
展开来提高精度
, 他们将势函数进行级数展开，然后对展开结果使用变分来给出估计，其精度
比纯变分方法有了较大的提高
, 但其基础仍然是标准的二阶变分技术，在处理多稳态系统（例
如双势阱）的时候，可能带来微扰不收敛的困难
,
上述方法的精度可以由振子频率来检验，即在低温下，势阱底部的有效振子频率将趋于前
%
个能级之差, 对于非谐振子问题，这个近似的结果很好，但是对于位垒较高（耦合常数较小）
的双势阱，变分结果明显偏离量子力学的精确结果
［%，+($］, 对于双势阱，变分路径积分方法在低
温下（如温度
! 接近跨越温度!<
），“危险模”的存在将导致路径积分发散
［’］, 这是由于一般的
路径积分方法使用高斯型测度，而在此情况下低阶涨落模的本征系数变为
"，导致积分失效,
为此，变分必须选择一个明显偏离实际振子频率的变分振子频率，这在一般情况下对结果的影
响不大，但是在鞍点处，却为有效势函数带来很大的影响
, 另外，该方法难以处理非线性量子耦
合系统的耗散阈问题
［#(!"］,
本文试图扩展试探作用量到四阶来解决这些问题，即除了有二次项之外，还保留作用量中
的部分四阶项，以便得出更精确的试探作用量；另若进行高阶微扰处理，也将是在一个收敛的
测度平均下进行的
, 以双势阱为例，将本方法与常用的二阶测度方法进行了比较,
%""%
年+ 月
第
)* 卷第% 期
北京师范大学学报（自然科学版）
9=>6024 =? @.5A50B C=6124 D05E.6:57/
（C27>624 F<5.0<.）
GH6, %""%
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I=4,)* C=,%
!
测度展开
平衡态量子系统的配分函数可以写成虚时间无穷维泛函积分的形式
［!］：
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式中
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）被称作有效经典势
) 现将积分路径表示成傅
里叶级数和的形式，并写出积分元
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这里
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， （
2）
泛函积分式（
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$ *
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)
这个积分可以用极坐标变换
+* 0&’)（+’）和+ 5 * 0&’)（ 5 +’）求出［627］，结果是!* （ &%
）
"
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"
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*
3
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*
，其中
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"
"
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*
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#
代表在分布函数
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* "
*
0
*+*+$ * $ %"# #"
* "
*
1+
#
*
+#
$ *
｝下的测度平均
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对式（
3）使用9’;’ 不等式，即〈’5 4〉%’5〈4〉，得出
’)
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式中
(* （ &%
）为有效经典势
(（ &%
）的最佳估计
)
"
测度平均的估计
本文考虑双势阱
第
# 期王虹宇等：用变分路径积分四阶测度方法处理量子力学双势阱问题*<1
!
（ "）# $ !"
"
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#， （$）
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是耦合常数’利用傅里叶表达式展开剩余作用量：
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［
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由于在泛函积分中
&()&( * )
总是同时出现，因此只要保留式（
)）中()( * )
同时存在的项，也就
是
（
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而二阶项的积分结果是熟知的，从而最后得到剩余作用量
（
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# 是四阶测度时的有效势函数’式（!"）中的各阶关联用下列方式计算：
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1 ’（!’）
!
变分估计
上述试探函数有
" 个变分参数$" 和,#
，其中
1 2 ’,# 2 "，为了求出最佳估计，需要解下列
联立超越方程组：
!,#
北京师范大学学报（自然科学版） 第’ 卷
!
!!
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!" " #$
#
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!" ［ " "#］" !"
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(" " !"
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#
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!
(" " !"
$
!"］!("
!
% ) %*
（
!$）
对于此变分效果可以定性估计，
&’ 二次单参数变分相当于本方法% ) % 情况下的极限* 此时
易知
!’("
!
(" * !"
$
!" ) %，从而若引入一个小的正常数%，则!! （ +%
）对
% 的导数完全由第! 项来
决定，而这一项可以用渐近展开式估计
* 因为当%"% 时，有,-# !
.
-
（
! * "%
$
$."
-
+ !"
%"
$
"$" .$
-
），从
而
"*## * ,
$
#$#$ + -
-
) !
%
.
$
-
*
因此，这一项的导数是负的，意味着引入一个% 将会减小!! （ +%
），从而
提供对有效经典势更好的估计
* 在一般情况下，解方程组（!$）相当困难，可以采用试探法或者
其他类似的方法寻求极值点代替求根来解决这个问题
*
图
! 有效经典势随温度的变化
从上到下的
$) .，!%，".；实线为本文方法，虚线为&’ 方法*
下面，我们使用自然单位（
%
)
$ ) !）* 图! 给出了# ) %* " 情
况下不同温度时双势阱的有效经
典势，并将本文的方法与
&’ 方
法进行了比较
* 易见，我们的结果
总是小于
&’ 的二阶方法* 由于
变分得出的有效经典势总是高于
准确值，这说明我们的结果优于
&’
的二阶方法* 特别是，在比较
小的耦合常数和低温下，这种修
正更加显著，尤其在鞍点处这种
修正相当大
* 注意到$) ". 时，中
点附近出现了新的稳定点，这在
物理上是合理的，它反映了
" 个
相邻的谐振子势的波函数在中点
的叠加效应
* 虽然这种细节对于
自由能的计算的修正不十分明显，但是在与势垒高度关系比较密切的穿透等问题中，将会带来
较大的影响
*
在图
" 中，我们用&’ 的二阶方法和我们的四阶方法计算了自由能：/ ) *$* ! /00 * 由于
在低温下，对自由能的主要贡献来自于势阱的底部，而这时危险模的影响不十分重要，因此对
自由能的修正并不十分明显，但在
. 1$1 !. 区间，四阶修正是不能忽略的*
图
# 给出了+% ) % 处的振子频率随温度的变化* 正如我们前面所提到的，变分方法的精度
第
" 期王虹宇等：用变分路径积分四阶测度方法处理量子力学双势阱问题!2.
图
! 自由能作为温度倒数的函数
从上到下的
! ! ""#，$"%；实线为本文方法，虚线为&’ 方法"
可以利用振子频率来估计，即零温下
势阱最低点处的振子频率等于基态
与第
$ 激发态之间的能级差（!（"）
!
!#）" 在&’ 方法中，为了保持积
分收敛性，中点处的振子频率总是大
于实际的振子频率，因此整个结果系
统偏大，对于
! ! "") 的双势阱，误差
达到
*"+以上, 由于不能得到振子频
率的渐近表达式，理论中的零温振子
频率只能通过数值外推得出
, 当! -
",./
，低温下双势阱将被量子涨落效
应抹平而成为单阱，需要计算
$" ! "
处振子频率，数值结果显示在低温
下振子频率将稳定于一个常数极限
值
,
图
" !# $ # 处振子频率随温度的变化
实线为本文方法，虚线为
&’ 方法,
更详细的数值比较在表
$ 中给
出，可以看到，本方法给出的能级差
!
明显更接近于量子力学准确结果
!
#［#］,
表
% 不同耦合常数下双势阱的能级劈裂
!
!#
!
本文
&’
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&
结语
本文所提出的四阶测度变分方
法，避免了传统的变分路径积分方法
的一些问题，可以对量子力学双势阱问题给出更好的结果
, 特别是通过四阶项的引入消除了
“危险模”，不存在跨越温度附近积分结果发散的缺陷，因此可以进一步使用微扰方法进行高阶
修正
, 对于存在跨越温度的一些体系，特别是多势阱和带有耗散的双势阱等问题可以提供可行
的处理方式；同时，四阶项显示了跨越势垒顶部的细微行为，对于势垒附近发生的动力学问题
能够给出更好的描述
,
’
参考文献
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-)<7),6-C,)/ _1) )GG)8-*5) 8(6::*86( 73-)+-*6(
，G,)) )+),0; 6+4 ()5)( :7(*--*+0 6,) 86(8C(6-)4 +C<),*86((;，
-1) 7,):)+- ,):C(-: 6,) 9)--), -16+ -16- 3G a);+<6+2’)*+),- :)83+423,4), 56,*6-*3+6( 76-1 *+-)0,6( <)-134/
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第
T 期王虹宇等：用变分路径积分四阶测度方法处理量子力学双势阱问题!"P
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