根据经典力学，具有 个自由度的力学系统的状态，可用 个广义坐标和 个广义动量描述，它们张成一个 维的空间，称为相宇或相空间

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如果物理系统不仅与热源交换能量，而且还交换粒子来达到平衡，那就要用巨正则系综描述。巨正则分布中增加了与粒子数有关的项，写为 。 (15). 与热力学对比后， ...

根据经典力学，具有 个自由度的力学系统的状态，可用 个广义坐标和 个广义动量描述，它们张成一个 维的空间，称为相宇或相空间

根据经典力学，具有 个自由度的力学系统的状态，可用 个广义坐标和 个广义动量描述，它们张成一个 维的空间，称为相宇或相空间。相宇中的每一点代表系统的一种可能的运动状态。可以想象大量性质相同的力学系统，它们只由于初始条件差异而处于各种不同的运动状态。于是相宇每一点代表一个力学系统。这些系统的集合称为系综或统计系综。力学系统随时间演化，其代表点在相宇中连续地改变位置，描绘出一条轨道。统计平均对于微观运动的尺度而言，是一种长时间的平均，也就是对对应于同一个宏观状态的一切可能的微观状态求平均，或者说对系综求平均。引入相宇中代表点的分布密度 ，它是广义坐标、广义动量和时间的函数。系统的任意力学量 也是广义坐标和广义动量的函数。它的长时间平均值可以沿着代表点的轨道计算，也可以对系综求和计算

，                           (10)

其中 是所有广义坐标和广义动量微分元的缩写，而分布密度 是求和的权重。轨道平均和系综平均的一致性，基于各态历经假设。当 时，其平均值也是1，这是分布密度 的归一条件。

对于满足哈密顿正则运动方程的力学系统，相宇中代表点随时间演化的运动轨道永不相交。因此，系综的时间演化可以看成相宇中代表组成的不可压缩流体的运动，其密度函数 满足刘维方程

,               (11)

其中 是力学系统的哈密顿函数。如果仿照式(7)，对作为力学量的函数 定义

，

则由刘维方程立即看出，永远有

                           ，

即不存在任何类似趋近平衡的不可逆过程。

为了得到超乎力学规律的统计描述，必须对分布密度 的具体形状作出基本统计假定。统计假设不能由力学考虑推导出来，只能作为理论中的基本假定引入统计物理学的体系，其正确性也只能最终由实验来检验。

任何一种物理理论都包含着若干基本假定，这些假定只能最后由实验来检验其推论是否正确。在此意义下，统计物理学可以说是最简单优美的理论。它实质上只包含一条大意如下的假定：如果对于系统的各种可能状态没有更多的知识，就假定一切状态的概率相等。然而，统计物理学却有丰富的被实验证实的推论。统计物理学如此成功的根本原因，在于前面已经强调指出的“大量”粒子数和相应的微观状态数目，保证统计规律很好地成立。

平衡态统计物理中常用到三种系综和三种分布。对于能量 和粒子数 都固定的孤立系统，采用微正则系综，平均的结果是 和 的函数。对于可以和大热源交换能量但是粒子数固定的系统，采用正则系综，平均的结果是温度 和粒子数 的函数，允许能量 有涨落。对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综，平均的结果是温度 和化学势 的函数，允许能量 和粒子数 都有涨落。

微正则系综在理论上很重要，但实践中却不便于应用。可以从微正则系综出发，也可以独立地证明，对于正则系综相宇中分布密度函数 比例于玻耳兹曼因子 ，其中 是第 个微观状态的能量。 是广义坐标和广义动量的函数，原则上可以通过求解力学运动方程得到。为了保证分布密度函数 的归一，玻耳兹曼因子要除以所有可能因子的总和

，                         (12)

上式第二种写法是对一切可能的状态求和，当状态连续变化时是对一切可能的状态积分。于是，状态 的正则分布密度是

      。                             (13)

是平衡态统计物理中的一个重要的量，称为统计配分函数或简称配分函数，有的文献中也叫做“统计和”或“统计积分”。配分函数的重要意义在于，通过它可以和经典热力学建立联系：热力学自由能或亥姆霍兹自由能 的表达式是

       ，                          (14)

式中的 是当年吉布斯为得到正确的经典热力学结果而硬加进去的，其意义只有用量子统计才能阐明。从自由能 计算其它宏观量，只须进行微分和运用普通的热力学关系。例如，熵 和压力 分别是

              ，

而内能则是 。考察宏观热力学和微观力学关系的另一种视角是，引入一个宏观量 ，它以类似玻耳兹曼因子的方式反映相应宏观状态的概率，即要求

，

两面取对数把 从上面的式子里解出来，就得到未包含 的式(14)。

    如果物理系统不仅与热源交换能量，而且还交换粒子来达到平衡，那就要用巨正则系综描述。巨正则分布中增加了与粒子数 有关的项，写为

。                       (15)

与热力学对比后，知道 是化学势。式(15)分母中的巨配分函数 来自巨正则分布的归一条件。与热力学的关系，通过对巨热力势

对温度和化学势的微分得到。此外，由热力学关系 知道

。