對
空氣動力學而
言
, 熵條件背後的機制是黏性項, 是熱力學第
二定律
守
恆律方程組簡介(II) 一一熵條件
陳
宜良
一
. 簡介
在前
一講(數學傳播第17卷第一期, 民
國
82年3月) 我們介紹了守恆律方程的來源,
並以
車流問題為例說明震波(shock wave)
現
象是此類方程的本質。在這一講中, 我們將
要
闡述震波理論另一個重要觀念–熵條件, 它
與
守恆律方程解的唯一性以及熱力學第二定
律
相關。我們將簡單地介紹熵條件的來源和
它
的一些推論。
二
.熵條件的起源— 不唯一性
的
困惑
首
先我們注意的是守恆律方程組的光滑
解
是唯一的。這一點很容易由特徵線方法證
得
。但若考慮有不連續解(弱解) 時, 則解不
唯
一。我們以車流問題為例說明這個不唯一
性的
困惑。由前講中, 我們回憶車流問題之守
恆律
方程模型為
t + f( )x = 0 (1)
其中
為車流密度, f( ) 為車流通量,
f
( ) = ・ u( ), u 為車速, u( ) 的經驗
方
程如圖一。
u
( )
u
max
max
圖
一
我
們考慮下列黎曼初始條件:
(x, 0) =
L x < 0
R x > 0.
(2)
由
跳躍條件[1]知, 不論 L, R 為何時,
震
波解(如圖二)
t
x=
t
L R
x
圖
二
37
38
數學傳播20卷2期民85年6月
(x, t) =
L x < t
R x > t,
(3)
永
遠為一弱解, 其中
=
f
( R) − f( L)
R − L
為
震波波速。當 L < R 時, 這個震波解反
映
的是塞車現象。但當 L > R 時, 這個震
波
解卻不是物理解, 因為由直觀上, 我們知道
前
面車陣較後面稀疏時(即 L > R ) 是
不
會塞車的。這時, 真正的物理解是稀疏波解
(rarefaction wave)(
見圖三):
(x, t) =
L x < f′( L) t
R x > f′( R) t
f
′( L) ≤ x
t
≤ f′( R),
f
′( ) = x
t
.
t
x
t
= f′( )
L R
x
圖
三
它
反映的是車陣由密漸疏的現象。前述討論
說
明了在 L > R 時, 黎曼問題(1)(2) 有
兩
組弱解: 一個是稀疏波解, 一個是震波解。
事實上
, 讀者很容易造出無窮多組弱解。這個
不
唯一性是守恆律方程的缺陷。因此, 我們須
對
震波解附加條件以篩選出具物理意義之解。
比方
說, 在車流問題中, 在震波( L, R) 上,
我
們可附加 L < R 的條件, 也就是說, 只
有
在前方密度較後方高時才能有震波解。用
這
個外加條件我們可以解決前述的不唯一性
困
惑。這個條件是不內含在守恆律方程的, 我
們
稱之為熵條件。在空氣動力學裡, 對應的熵
條
件為: “氣體穿過震波時其熵要增加”,更具
體
地說, 對前進震波而言, 氣體是由右方穿過
震
波, 因此其熵條件可寫為SL > SR , 其中
S
為氣體的熵。對後退震波而言, 則對應之熵
條
件為SL < SR 。
3.
一般的熵條件
前
節所談的是熵條件的兩個特例。在震
波
理論中, 我們希望找到一個可適用於一般
守
恆律方程的熵條件。為找尋此一條件, 我們
先
檢討為何守恆律方程會有不唯一性的缺陷。
我
們以空氣動力學為例, 較完整的數學模型
是
Navier-Stokes 方程([2])
t + ( u)x = 0
(
u)t + ( u2 + p)x = (μux)x
E
t + ((E + p)u)x = (μuux + Tx)x
這
裡, μ 為黏性係數, 為熱傳係數。方程
右
邊的項通常稱作黏性項。在常見的應用問
題
裡, μ, 之值均在10−6 左右, 因此在
光
滑解時, 黏性項可忽略。但在出現震波時,
u
xx, Txx 變化均大, 此時黏性項則不能忽略,
它
刻劃了氣體在穿過震波時, 如何因摩擦與
熱
傳而造成熵的增加。因此, 對空氣動力學而
言
, 熵條件背後的機制是黏性項, 是熱力學第
二
定律。
守
恆律方程組簡介II–熵條件39
為
了將黏性項與熵條件的關係說明更清
楚
以及找一般方程的熵條件, 我們考慮有黏
項
的守恆律方程。我們仍以車流問題為例, 為
了加入
黏性項的考慮, 首先我們將模型中之
u
(p) 修改為
u
( ) ← u( ) − "
x
, " >
0,
其中
− x/ 的物理意義為車陣隨x 變化
之
膨脹率。因此−" x/ 表示當車陣膨脹時
(
即稀疏), 車速會稍微加快。反之, 則車速稍
減
。經修正後之模型為
t + f( )x = " xx, (3)
其中
" xx 即為黏性項。我們想研究黏項在
震
波附近含有何種不屬於原守恆方程的訊息。
為此
, 我們考慮(3) 的行波解: 即 "(x, t)=
( x− t
"
), 其中 (−∞)= L, (+∞)= R,
(
L, R) 為一震波, 而 = ( L, R) ≡
(
f( R)−f( L)) /( R − L) 為其波速。當
"
→ 0 時, " → ( L, R) 。我們將 " 代入
(3)
得
′′
= (
f( ) − )
′
。
將
此式積分一次, 並用 (−∞) = L 得
′
=
f( ) −f( L) − ( − L)
=
F( )。(4)
由
跳躍條件可得F( L) = F( R) = 0 。讀
者
不難證得:(4) 有一解滿足 (−∞) = L,
(+∞) = R 的充分必要條件為
( L, ) > ( L, R) ∀ 介於 L, R 間
(
E)
其
幾何意義為f 在 L, R 上的割線斜率要
小
於f 在 L, 之割線斜率, ∀ 介於 L, R
之
間(如圖四)。
f
L R
圖
四
這
是一個內含在黏性方程但卻不屬於原
守
恆律方程的性質, 這便是一個具一般性的
熵
條件, 是蘇俄女數學家Oleinik 在50年代
所提
出的。Lax 對此條件有另一深入的看法,
他
觀察震波速度與其左右兩邊特徵線速度的
關
係而提出下列熵條件
( L) > > ( R), (L)
其中
( ) = f′( ) 為特徵速度。這個條件
稱
作Lax 熵條件, 當f′′ 6= 0 時, (L) 與
(
E) 是等價的。(L) 的意義是特徵線僅允許
穿
入震波(如圖五)
( L)
( R)
圖
五
40
數學傳播20卷2期民85年6月
( L)
( R)
圖
六
而
不能由震波射出(如圖六)。這個性質可推
出
所有特徵線均可回溯至初始時刻。由於特
徵
線是消息傳播的路徑, 因此在任何t > 0
時
刻之 的行為均可由 的初始值決定。這
個
性質稱作因果律(Causality), 是熵條件的
一
個重要推論。
4.
由熵條件所得出之推論
下
面一個定理是由熵條件所導出的另一
重要
定理。
定
理一: ([3]) 考慮單守恆方程式
u
t + f(u)x = 0 (5)
若
u, v 為滿足(5) 與(E) 的弱解, 則u, v
滿
足
d
dt
Z |u(x, t) −v(x, t)|dx ≤0。
定
理一的一個直接推論是下列唯一性定
理
。定理一的證明可直接用(5) 與(E) 證得。
定
理二: (唯一性定理) 滿足守恆律方程
(5)
與熵條件之弱解可由其初始值唯一決定。
看
到這裡, 讀者或許有一個疑問: 既然
守
恆律方程有缺陷, 何不就用含黏性項的守
恆律
方程呢? 如氣體方程中就用Navier-
Stokes
方程, 而不用Euler 方程。回答此
問
題是, 除在邊界層與震波附近的極小的區
域
外, 附加熵條件的守恆律方程仍是相當精
確的
模型, 其解已經可以反映出主要的現象。
而
目前來說, 守恆律方程也確定較黏性方程
來
得容易解。
最後
解的漸近行為也由熵條件推導出,
這
方面結果容待第三講說明。
參
考資料
1.
陳宜良, 守恆律方程組簡介, 數學傳播季刊第
17
卷第1期, 民國82年3月。
2. Courant and Friedrichs, Supersonic
Flow and Shock Waves, Springer-
Verlag, 1948
。
3. Quinn, R, Solutions with Shocks: an
example of an Li-contrction semi-
group, Comm. Pure Appl. Math. 24
(1971) 125-132.
—
本文作者任教於台灣大學數學系—
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