守
恆律方程組簡介
陳
宜良
一
. 簡介
守
恆律方程組(Conservation Laws)
是
50年代新起的一個數學領域。其名稱之由
來
是因為這類型的偏微分方程式通常是由一
些
物理的守恆定律所導出。比如它的一個研
究
對象—空氣模型方程—是導自質量、動量
及
能量守恆定律。守恆律方程組所涵蓋的物
理
模型十分廣泛, 幾乎所有的連續體力學的
模
型方程均屬於這種型式, 其中包括了氣體、
液
體、彈性體、電漿、星雲、・ ・ ・等。守恆律方
程組
發展的目標是一套具普遍性的數學理論,
比
如非線性波理論、計算方法理論、宏觀極
限
理論等。其發展過程常是經由深入研究許
多具代
表性的個別模型, 從中歸納出本質性
的
結果, 再發展成具普遍性的數學理論。因
此
, 把握具體模型是研究這個領域的一個特
色
, 而豐富的模型也帶給這個領域源源不絕
的生機
。在這篇短文裡, 我將舉幾個周遭的例
子
, 來介紹基本的守恆律方程式。同時以車流
問
題為例, 介紹簡單的非線性波理論, 最後再
提
出如何快速進入這個領域的建議。
二
. 守恆律方程組的實例
例
一． 車流問題
我
們想要了解高速公路上車流在宏觀尺
度
下的變化過程。令△x表宏觀下的小尺度,
比
如宏觀下的標準尺度定為5公里, 則△x可
定
為200公尺。令N(x, t)表在t 時刻在(x −
△
x, x + △x)區間內的車輛數。令 =
N/
2△表車流密度,u(x, t)表在(x−△x, x+
△
x)區間內的平均車速。由此可得通過一
點
x的車流量為 (x, t)u(x, t)。現在我們
考
慮在任意區間(a, b)內的車數變化, 此量
為
d
dt
R
b
a
(x, t)dx。由「車數守恆律」可得此
量等
於通過端點a, b 的車流量之差。亦即
d
dt
Z
b
a
(x, t)dx = [− u]b
a
=
−
Z
b
a
(
u)xdx。
由於
(a, b) 為任意區間, 因此我們導得
t + ( u)x = 0。
此式
即為「車數守恆律」方程式。又, 在高速
公
路上,u 通常為 的函數, 比如 大時車速會
減
慢。因此一個模型為u = u( )如下圖所示:
1
2
數學傳播十七卷一期民82年3月
圖
一
(
參考[2])。此時, 車數守恆率可寫為
t + f( )x = 0, (1)
其中
f( ) = ・ u( )。這便是一個典型的單
一
守恆律方程式。
例
二． 人潮問題
香
港最近發生新年遊行人潮擠死人的意
外事件
, 引發我提出一個人潮流動的數學模
型
之想法。在二維空間裡, 令 表人潮密度,
⇀
u
表
人潮速度。引申上例可得「人數守恆律」為
t + ∇ ・ (
⇀
u
) = 0 (2)
而
⇀
u
與 的關係可由下式模擬:
⇀
u
=
−Dρ0 ( )∇ ,
D
ρ0之形式如圖二所示:
圖
二
這
裡, 0為一參數。當 < 0時,Dρ0 < 0表是
人
潮往密度高處聚集, 此用來模擬人潮在喜
湊
熱鬧之特質。而當 > 0時, Dρ0 > 0表示
人
潮太擁擠時有疏散之特徵。我們將(3) 代
入
(2) 得
t = ∇ ・ (Bρ0( )∇ )
B
ρ0( ) = Dρ0( )。(4)
我
們稱之為擴散-聚集(diffusion-accumul-
ation)
方程式, 也是一種守恆律方程式。
例
三． 洪水問題
在
河川或渠道裡, 通常垂直方向的流速
較
水平方向的流速小很多, 可忽略不計。又為
方
便說明起見, 我們僅考慮一維的洪水問題。
在
這種情形下, 令h表水深、u表流速, 則水流
通量
為hu。引用與例一相同之理由可得下列
「
質量守恆律」:
h
t + (hu)x = 0。(5)
在
洪水問題裡,u的變化需用動量守恆律來描
述
, 茲說明如下。考慮在任意區間(a, b) 之水
流的
動量變化, 即d
dt
R
b
a
0u dx, 其中 0為水
的
密度, 假設為常數。動量守恆律為: 水流
動
量的變化等於由端點所流入之動量流通量
之
差再加上端點所受之壓力差。動量流通量
為
( 0u)u, 靜水壓為gh,g為重力加速度。因
此
, 動量守恆律可寫成
d
dt
Z
b
a
0u dx = [− 0u2 − gh]b
a
=
−
Z
b
a
(
0u2 + gh)x dx。
守
恆律方程組簡介3
由於
(a, b)為任意區間, 故得
(
0u)t + ( 0u2 + gh)x = 0。(6)
(5)(6)
式稱作一維的「淺水方程式」。如果
河川不是水平, 設其傾斜角
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