Tuesday, February 12, 2013

这个问题最自然和原始的答案是自然数，正如这个名字，这似乎是逻辑上最简单自然的量了，自然数是人类对客观实体的分离独立性的抽象。有部分数学家甚至坚信，上帝只创造了自然数，其余的都是人为的。但自然数的结构毕竟太简单，能做加法和乘法，但除法不行，为了可以做除法便引入分数，为了减法可以任意进行引入负数，这些一起构成了有理数。继而为了自由地做极限运算，引入了无理数，这样就完备地构建了实数体系。物理量可以用实数来表达，这是大家对测量仪器读数的直觉抽象。

至于复数是否有这种实在性，就不那么直觉了，但近代量子力学显示复数似乎是无法回避的，比如波函数是复函数。复数之后，还有四元数、八元数等。但四元数的乘法不符合交换律，而八元数则不满足于交换律和结合律，进一步的推广会丧失更多我们习惯的性质。这是一条推广量的第一个思路。

另一条思路是，从标量到矢量到张量。有些物理量需要用一组纯数量来表达，如运动学中的位移、速度、加速度，力学中的力、力矩，电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波，广义相对论中的时空度规。关键思想是，这些数量本身是坐标系依赖的，不是本质的，这一组量具体的值会随坐标系的变换而变换，但这一组量背后的几何实体是客观不变的。这里面其实蕴含了相对论的思想，即物理规律的客观实在性，相对论的思想是物理规律必须不依赖于坐标系选取的主观任意性，或者说不依赖于观察者自身的特殊运动状态。这种物理量的推广方向，最简单的是协变矢量和反变矢量，更一般的推广是张量。张量简单的理解就是在坐标系变换下能像张量那样变换的东西，如A.Zee所说，tensor is something transform like a tensor. 一般来说，张量的书都会讲这样一句很激动人心的话，一切物理量必须用张量来表述，仿佛“什么是描述自然的量”的最终答案已然找到就是张量，但往往有个讨厌的脚注，说旋量例外。这个问题表明，张量作为一种不依赖参考系变换的一般的量并不称职，至少来说此时的定义只对光滑坐标变换有意义，对一般任意坐标变换是没有意义的。如何找到真正对任意坐标变换都有意义的一个最一般的量？旋量的本质有是什么？与张量如何整合？这些问题的答案也许能给我们这个问题一个最终答案，到底什么是描述自然的量？

对称性即冗余性

对称性在物理里的重要性怎么高估都不为过。现代物理几乎被两种对称性所决定：相对论要求的时空对称性和规范原理要求的规范对称性。

相对性原理和规范理论原理都可以表述为物理规律用数学表述时的冗余性。

这种冗余性在第二个推广方向上就是时空对称性，最简单的例子就是用分量来表达向量，向量是客观的，但分量表达是依赖于参考系的选取，带有主观的冗余。科学规律，就是要剔除掉一切的这种冗余，只留下最本真的客观规律。这种冗余，某种程度上可以理解为某种积分常数，比如位置中的原点的选取，零电势的选取，其实是不影响规律本事的。用这种思路，希望可以统一相对论原理和量子力学中的一些原理，那么需要一种全新的微积分来将量子随机涨落效应理解为这种积分常数项

这种冗余性在第一个推广方向上，即由实数到复数的推广上，则诞生了一种不同于上述时空对称性的新对称性。我们习惯称其为规范对称性。这个对称性只是在复数引入量子力学后才显得重要，本质上也是由于不同的数学表述对应着相同的物理状态。

对称性是世界的构成与结构

我用这样一个比喻来说明，为什么对称性就是研究世界的构成和结构。世界是由分子原子构成，原子由质子电子等基本粒子构成，这些基本粒子由夸克构成，夸克是什么，就是一堆对称性，由某些对称群决定。规范场理论对粒子物理的清晰指导，使得粒子世界仿佛建立在某种对称群之上。这样整个世界就建立在这种代数结构之上了。这就是粒子物理里的代数结构的研究，是很漂亮的一块研究领域。现代物理很大程度上就是对一些特殊群的研究。

主旋律之一：量子化量子之谜

其中第一个主旋律就是量子化。量子力学是20世纪物理学主旋律之一，这是没有任何疑问的。

从实用主义的角度，量子理论是非常成功的。量子力学主要适用物质的微观结构以及其相互作用。除通过广义相对论描写的引力外，至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子场论的框架内描写。

但这个理论至今仍是个迷，没人知道怎么搞成这个样子。爱因斯坦晚年还说过，“我用比相对论还多的脑力在量子论上……整整 50 年有意识的思考还没有使我更接近‘光量子是什么’这个问题的答案”。不光是爱因斯坦对量子力学的现状不满意，包括很多对基本问题有所坚持的量子力学的主要发展者也不满意现在的量子力学。路径积分量子化提出者费曼同样也困惑不已，甚至断言“没有人理解量子理论”。

我想爱因斯坦对量子力学的主要不满主要是：物理规律本质的随机性、不确定原理和测量对实在的破坏。他不认为量子力学提供了一个通往深刻理论的基础。这个理论陆陆续续发展了近百年，到今天已经变成一个庞大、牵强、矛盾但实用的怪物。然而找不到一个清晰的原理性的基础。

而量子力学更诡异的地方，也是爱因斯坦所不可接受的，观测可以改变客观状态。爱因斯坦说，“相信有一个离开知觉主体而独立的外在世界，是一切自然科学的基础。”相对论最本质的东西是什么？就是物理规律的绝对性，就是物理规律的客观性，物理规律不依赖于观察者。具体的说，爱因斯坦考虑的是物理规律不依赖观察者的运动状态，不依赖观察者的参考系。不同观察者尽管表观上观察到不同的测量结果，但各种结果本质上对应着某个相同的深层次的不变量。

而量子力学的一个基本原理就是，观察过程改变客观状态，测量会导致波函数塌缩。这是一个非常诡异和不能让人接受的假设，却作为量子力学的基本原理。

这些量子力学的基础问题都是很深刻的哲学问题，除此之外量子力学还有很多其他的问题，有的逐步在解决，有的还很麻烦。起初的量子力学连狭义相对论都不满足。到后来的量子场论才满足了狭义相对论。而量子场论的很多新发现，更多的是来源于对狭义相对论对称性的研究，很有意思的是庞加莱群的不同表示，恰恰对应着各种不同的粒子，所以给我的感觉是量子场论更多的东西是来源于相对论，而非量子力学。但在量子场论粒子物理中的各种对称性还是停留在狭义相对论的框架，而广义相对论则已然超出了狭义相对论的框架。这注定了两者不兼容。

何为量子化

且暂时不考虑量子力学深层次的哲学基础，单看所谓的量子化，什么才是量子化的本质呢？量子力学和经典力学的界限究竟是什么？

物理学家创造了几套将经典理论改造成量子理论的方法，如正则量子化、外尔量子化、几何量子化、路径积分量子化和Schwinger作用量变分法等等。有这么多套方法的存在，就可以看出这个问题的复杂，这些方法更多的是一种技巧而非一种哲学，很少能简洁地给出量子化的本质。而且这套技巧会牵涉到某些微妙的问题，称为重整化。如果忽略了重整化，会引导出不正确的结果，像无穷大数值的出现于量子幅的计算结果。一个量子化程序的完整设定必须给出一套重整化的方法，这种牵强而以实效为目的的操作，更像是工程，而非科学。

相比而言，狭义相对论和经典力学的差距就是时空变成闵可夫斯基时空，当运动速度远小于光速时退化成经典力学，这是很清晰简洁的。

主旋律之二：时空对称性爱因斯坦：重新审视时空

回到爱因斯坦年轻的时候，他当时物理学的状态就是表面上非常乐观晴空万里，当时的物理学家以为物理学的重要定律全被发现了，理论完备了，此后的进展只能是关于次要问题的补充，实验做的更精确些，增加测量数据的精确数值而已。但实际上并非如此，物理学的新发现已经推翻了物理学过去建立起来的基本原理：放射性和镭的永恒发热的发现，推翻了能量守恒定律；电子电磁质量随速度而变化的发现，推翻了质量守恒定律，“以太漂移”实验的否定结果，推翻了伽利略相对性原理；电磁作用以有限速度传播，使电荷体之间的相互作用违反了牛顿第三定律。

当然这些实验与旧理论的矛盾只是表面现象，更深刻的矛盾是不需要看这些表观的实验矛盾，而是看理论逻辑本身的内在矛盾。爱因斯坦发现狭义相对论，并不需要了解迈克尔逊莫雷实验的零结果，而是起源于他对牛顿力学和电磁理论间的矛盾的思考，他的追光思想实验。爱因斯坦很擅长做思想实验，他假想，如果人以光速追着一束光线，那么应该看到静止的光波吗，但这和电磁理论是相悖的。

爱因斯坦提出狭义相对论时空观的革命，从时空的性质出发完美地协调了这两者之间的矛盾。他相信世界的统一性，这种统一性就体现在真实世界的时空结构是统一的，牛顿力学和电磁理论尽管描述的现象不同，但基本的概念如时空，应该是一样的。

爱因斯坦深刻地意识到伽利略变换实际上是牛顿时空观的体现，而这种默许的时空观只是一种纯粹的假设，如果和客观观察不相符，如果此假设下不能得到逻辑上简洁的理论体系，则必须大胆放弃这个假设。如果承认“真空光速独立于参考系”这一实验事实为基本原理，就必须放弃牛顿时空观，而建立起一种新的时空观（相对论时空观）。在这一时空观下，由相对性原理即可导出洛伦兹变换。

重新审视时空的特性，也许是爱因斯坦对物理学最大的贡献。爱因斯坦之前，时空仿佛只是物理事件发生的容器，人们根本没有意识到，时空本身有如此复杂的特性。特别是到广义相对论，时空、物质、运动这三者之间的复杂微妙关系得到了更深刻的体现。这个如此简洁的假设，解决了很多疑难。同时产生一些副产品，比如质量能量关系，导致人类进入核能时代，这又是一个出于对纯理论的求真探索最终造福人类的经典例子。

这里对狭义相对论做些评论。这是个已然上升到最高层次的东西了，达到了原理性的高度，有最广泛的适用性，是管定律的定律。其实在狭义相对性原理之前，伽利略相对性原理也是属于这个层次的，是时间和空间割裂的相对性原理，爱因斯坦则统一了时空的概念，发现其中的内在联系。一句话解释狭义相对论，就是，时、空间隔皆是相对的，但时空间隔绝对。时空统一，为闵可夫斯基空间。凡不满足狭义相对性原理的物理规律必须重新改造。但这里狭义相对论并没有直接产生任何物理规律，它只改造了很多物理规律，比如牛顿动力学。而电磁理论天然满足，不需要改造，只是狭义相对论出现后使得表述更加简洁，对称性更加深刻。

狭义相对论遗留问题

在狭义相对论成功的背后，仍然有几个遗留下的原则性问题没有解决。第一个是惯性系所引起的困难。抛弃了绝对时空后，惯性系成了无法定义的概念。我们可以说惯性系是惯性定律在其中成立的参考系。惯性定律的实质是一个不受外力的物体保持静止或匀速直线运动的状态。然而“不受外力”是什么意思?只能说，不受外力是指一个物体能在惯性系中静止或匀速直线运动。这样，惯性系的定义就陷入了逻辑循环。第二个是万有引力引起的困难。万有引力定律与绝对时空紧密相连，必须修正，但将其修改为洛伦兹变换下形势不变的任何企图都失败了，万有引力无法纳入狭义相对论的框架。第三就是，惯性质量和引力质量等同的经验事实，能否有深层次的诠释。第四就是，非惯性系的问题，爱因斯坦不满足相对性原理只局限于惯性系。最后，一个纯粹哲学的思辨，时空可以制约物质运动，却不被物质所影响，哲学上不能接受，爱因斯坦相信时空和物质的作用必须是交互的双向的，时空也成了动态的，这个是一大飞跃。

十年磨一剑：引力的第四重境界广义相对论

十年磨一剑，爱因斯坦完成广义相对论，就这样一揽子全部干净漂亮地解决了上面所有问题，这个我认为是迄今人类最美好的物理理论。

这里简单叙述一下广义相对论的主要思想，狭义相对论对牛顿力学进行了改造，而电磁理论天然满足，但牛顿引力理论却不能很好地融入狭义相对论的框架。许多这种尝试都失败了，爱因斯坦没有选择这种修补性的风格，而是独辟蹊径开始思考引力现象的本质，引力有一个最独特的性质就是，引力场中各个物体的加速度同这些物体的性质无关，爱因斯坦曾如是说：“我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的钥匙。”，这个就是他自认为一生最愉快的思考：

“关于在伯尔尼的那些愉快的年代里的科学生涯，在这里我只谈一件事，它显示出我这一生中最富有成果的思想。狭义相对论问世已有好几年。相对性原理是不是只局限于惯性系（即彼此相对作匀速运动的坐标系）呢？形式的直觉回答说：“大概不！”然而，直到那时为止的全部力学的基础——惯性原理——看来却不允许把相对性原理作任何推广。如果一个人实际上处于一个（相对于惯性系）加速运动的坐标系中，那末一个“孤立”质点的运动相对于这个人就不是沿着直线而匀速的。从窒息人的思维习惯中解放出来的人立即会问：这种行为能不能给我提供一个办法去分辩一个惯性系和一个非惯性系呢，他一定（至少是在直线等加速运动的情况下）会断定说：事情并如此。因为人们也可以把相对于一个这样加速运动的坐标系的那种物体的力学行为解释为引力场作用的结果；这件事之所以可能，是由于这样的经验事实：在引力场中，各个物体的加速度同这些物体的性质无关，总都是相同的。这种知识（等效原理）不仅有可能使得自然规律对于一个普遍的变换群，正如对于洛伦兹变换群那样，必须是不变的（相对性原理的推广），而且也有可能使得这种推广导致一个深入的引力理论。”

就这样，爱因斯坦在逻辑上，完美整合了牛顿力学（狭义相对论改造后的）和牛顿万有引力这两块。如果没有引力现象，时空平直，则相对性原理只局限于惯性系，狭义相对论成立。在把相对性原理推广到非惯性系的时候，自然地把所谓的“引力”效应包容进来了，所谓引力并不是一种真实的力，而是相对性原理推广到非惯性系的时候，也即时空并不平直的时候的一种自然的效应。这种把引力和非惯性运动的等同，自然解释了引力质量和惯性质量的等同。

爱因斯坦进一步假定，在引力场中自由下落的参考系等价于狭义相对论中的惯性系，不仅是力学实验不能区分引力场中自由下落的参考系和惯性系，而且任何物理实验都不能区分. 这就扩展了弱等效原理，称为爱因斯坦等效原理

一生最幸福的思考：引力几何化

这里梳理一下，如何把引力几何化的思路。首先根据狭义相对论的效应，动钟变慢动尺变短，那么加速运动就会导致时空弯曲，比如爱因斯坦转盘；而根据等效原理，加速运动即非惯性运动又和引力等效，那么引力就可以归结为时空弯曲。但还有一个问题，引力源的问题，不能通过相对性原理给出，还需要另外引入假设。在牛顿引力中，引力源是物质的质量；而在狭义相对论中质量的概念被包含在更具有一般性的能量-动量张量中，这个张量包含了对系统的能量和动量的密度。那么预期在广义相对论中，应该建立能量-动量张量与时空几何的联系，这个关系最后由爱因斯坦场方程给出。

但爱因斯坦相信这个方程只是个权宜之计，肯定不是最终的形式，因为描述时空弯曲的一端是美的，纯几何的，像大理石雕成的；而描述引力源的另一端，物质的那一端，仍然是丑的，像木头做的，是杂乱牵强的。爱因斯坦自己很清楚这个问题，“左边之所以写成这样的形式，是要使它的散度在绝对微分学意义下恒等于零。右边是对一切在场论意义上看来其含意还成问题的东西所作的一种形式上的总括。当然，我一刻也没有怀疑过，这种表述方式仅仅是一种权宜之计，以便给予广义相对性原理以一个初步的自圆其说的表示。因为它本质上不过是一种引力场理论，这种引力场是有点人为地从还不知道其结构的总场中分离出来的。”当然，仅作为引力理论来说，广义相对论也远远比牛顿万有引力理论优越。

这不仅仅体现在广义相对论在几个实验的预言上比牛顿万有引力准确，比如水星进动等。而且更体现在，广义相对论是更深刻的时空观变革，还能描述引力红移、引力的时空效应如引力时间膨胀等等。这些现象从牛顿理论那里是没法想象的。而且在广义相对论中，除引力外不受力的自由粒子在弯曲时空中做自由的测地线惯性运动。

爱因斯坦的梦想是，最终完全用大理石来构筑理论，也即完全的几何化，得到一个统一的场的方程，这个是广义相对性原理思想的真正贯彻。这是一个宏大唯美的梦想。关于这个问题，或许叫物质的几何化，由于量子力学的介入，现在已经越来越复杂了。

相对性原理本来是管物理规律的规律，本来不直接规定物理规律内容，但由于引力现象的特殊性，使得引力效应完全可以由广义相对性原理来解释，这是一个惊喜，难怪爱因斯坦称其为一生最愉快的思考。

主旋律之三：相位因子，规范对称性局域规范原理

这第三个主旋律非常有意思，其实本质上可以看做是一种新的对称性，不同于上述爱因斯坦的时空对称性。

我觉得量子力学发展过程中，有一点触及原理性层次的东西，就是局域规范场理论。引力的特殊性，使得引力最先被几何化了。那么电磁怎么办？爱因斯坦和很多科学家都做过尝试。外尔最先想到一个所谓规范变换的概念来几何化电磁场。这个理论没有成功，但直到多年以后，这个理论被杨振宁和米尔斯重新提出，才得到正确的规范场框架。

其关键的革新是由实数的规范变换，变成了虚数的相位变换，所以规范理论更实际的名字应该叫做相位理论。

另一个核心的思想其实借助于广义相对论。在量子力学里所谓波函数并非直接的可观察量，而是波函数的平方对应着概率。那么波函数作一个幅角变换并不影响任何物理实在。这就是用波函数表达实在时的一种冗余，这种冗余可以看做是一种对称性。这种对称性可以是全局的，但广义相对论启示，相互作用应该是局域的，那么对波函数的变换不应该是全局的。规范场论要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这是一种更强的对称性，在要求物质场能在时空的每一点都独立地做变换而保持不变，此变换构成U(1)群，就必须要相应地引入一个矢量场满足一些相应的变换来抵消。这个正是电磁场。这是一件非常令人震惊的事情，明明电磁相互作用是一个很物理的实在，却可以似乎通过一个所谓的“定域规范不变性”来无端地数学地来引入。这正是所谓原理层次理论的力量，物理实在不过是一些基本原理的体现。

尽管这个所谓局域规范原理并不像广义相对性原理那么清晰，而且光这个原理本身还不够充分地得到符合物理实际的观察，比如需要另行引入所谓Higgs机制来给波色子质量等等。经过一系列牵强但似乎有效的改造后，规范场成功地为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3)× SU(2) × U(1)的规范场论。但标准模型还有很多严重的问题，而且显然理论是不够简洁不够美的。

相互作用都可以通过定域规范不变而引入吗？引力也是一种规范场理论吗？这种电磁场的“几何化”正是爱因斯坦晚年一种梦寐以求的几何理论吗？

三大主旋律的交融贯通管弦共奏

量子场论是一件缝缝补补的衣服，广义相对论则是天衣无缝。所谓天衣无缝，是指逻辑体系上的，并非理论完全了。广义相对论是一步到位，从原理到理论到方程到预言，一气浑成，因为这就是一个人统一的思想的创造。而量子场论则不然，是一堆人一砖一瓦构筑起来的，东一榔锤西一棒，歪歪斜斜发展过来的。

从这两个学科的教材也可见一斑，广义相对论的教材，一般都是从爱因斯坦的两个原理出发，介绍时空弯曲的想法，然后引入微分几何语言，然后导出场方程，最后是场方程的求解和应用，是很合逻辑的，有层次的。而量子场论的教材，从来没有这种层次感，你找不到什么是基础的原理的重要的，哪些是枝节的衍生的，而且各个书的写法都不一样。没有一个或几个原理性的基础假设，即使是规范原理，也不能一气呵成导出别的东西，还要辅助Higgs机制等等。

那你可以想象，科学的这两种发展路数，那一种更接近上帝创世的方法？也许不同人有不同的信仰，但我不相信上帝创造世界需要缝缝补补，我坚信上帝不打补丁。上帝必须是一气呵成地，根据他的理念，完美地创造了世界，而不会是时不时地更正修补一下。

统一之梦

爱因斯坦从完全不同于牛顿的基础假设，另起炉灶建立起广义相对论，将牛顿力学和牛顿万有引力理论融入新理论框架之中。在当时看来，所剩下的，就是电磁理论了。很自然地，爱因斯坦想如果他能继续将广义相对论拓广以包容电磁理论，那将得到一个统一的场论，为物理学奠定一个统一的基础。在他完成广义相对论后直到去世的四十余年，他一直在为这一梦想不懈地奋斗着。但这一问题的难度超过了当时的数学工具的许可，而且当时的实验观察积累的也不够，如弱相互作用和强相互作用都没有被发现。但我相信，更大的障碍来源于数学工具的不足，而实验观察积累确实可以帮助构造理论，但更加决定性的是数学工具的强大。这是广义相对论的创建过程中得到的经验，因为很多强引力场效应人类是无法观察得到的，理论更多的是来源于原理及其数学表达。

集结三大旋律：路径积分

在诸多量子化方法中，我觉得最美的是路径积分方法，也许也是最本质的，某种程度抓到了量子化的本质。这一方法来源于经典力学的拉格朗日表达。经典的最小作用量原理说明在一切可能路径中真实路径总是使得作用量取极值，而路径积分需要把所有可能路径的贡献全部考虑进去。每个路径对概率幅的贡献，模是一样的，只是相差相位，而相位则与路径的经典作用量相联系。这里概率幅是某种复数，意味着这种概率幅的叠加可以是增强也可以是相消，是概率幅相叠加而不是概率相加，这是量子力学里很费解的一件事情。路径积分给出量子力学与经典力学的联系，当作用量较大时，远离经典路径的路径对应的概率幅会相互抵消，而经典路径恰恰是作用量取极值的路径所以相互增强得以保留。但当作用量较小时，量子效应显现，除了经典路径之外的路径也显得重要。但各种路径中，又到底那一类路径是对路径积分贡献最大的路径呢？

路径积分的悖论

数学上，这里还有一个很严重的问题，能算经典作用量的路径，必须是可微的啊。可是你要考虑所有路径的贡献，占主导的路径却是不可微的，根本没法计算经典的作用量。但物理学家厉害在于，抛开数学严格性不管，通过一些粗糙但有效的处理方法，可以计算出某些情况下的路径积分结果，这更像是一个聪明的工程学家。

我认为最理想的解决方法是，直面数学基础问题，也许统一简洁漂亮的解决量子化疑难的契机就在不可微路径里面。而重整化的方法，也是我们对不可微、分形、尺度等等问题还不够清晰时的一种牵强处理手法。一旦建立起统一的基础，即能真正把握量子化的本质，也许归根结底，量子化也应该是某种对称性。

相对性原理—规范原理

前面提到，相对性原理和规范原理是两套比较成功的原理，二者如何统一呢。因为原理这种层次的东西，必须是越少越好，上帝创造世界的思想，必须是简洁统一的，归根结底成一个终极的第一性原理。

我的观点，规范对称性就可以理解为某种积分常数了。在牛顿力学里，空间位置本身也是有某种规范对称的，平移甚至匀速运动的两个观察者之间观察到的物理规律是一样的，x 或x+c或 x+vt+c可以是不同观察者直接观察到的量，这里的“规范”变换可以看做是不同观察者的坐标变换，但物理规律都是一样的，因为空间位置的二阶导才写入方程，这个就是伽利略相对性原理，绝对的位置和速度并没有物理的意义。爱因斯坦的狭义相对性原理就是把时空统一起来了。用这种观点，所谓的规范对称性和相对性原理就可以看做本质是一样的了。差别在于，牛顿力学的这种位置的相对性，可以是真实的观察者的不同观察效应，而场的相对性则更抽象，电磁矢量的规范变换，如何成为真实观察者的不同观察效应呢。唯有如此，我们才能真正把握规范变换的物理实质。

那么问题是，这种客观的绝对的规律，到底应该用什么数学来表述呢？这种相对性的思想必须蕴含在一种内涵足够丰富的数学形式之中，就像牛顿方程是二次方程，所以容许相互做匀速直线运动的观察者得到统一的方程。

为学日益,为道日损

《老子》第四十八章:“为学日益,为道日损。损之又损,以至於无为,无为而无不为”。这句话，前半句一直有些被误读。

这两句话很好地说明了，我们得到底层的知识和高层的原理要采用完全不同的方法。

学的是那些纷繁各异的物理规律，当然这个学就是探索，向大自然学习。这个过程，大千世界，气象万千，是没有止境的，每天都可以学到新的知识。比如我们现在物理学弄懂了一些最简单的如机械运动，电磁运动等，而化学、生物、社会、思维等等复杂的运动还处于很无知的阶段，还需要积累很多很多的经验知识。这个层次的知识是越多越好，永远有新的现象被发现，这个是为学日益。

但道的领悟，却是一个不断剔除，不断抽象，不断升华，不断提炼的过程。从纷繁复杂的物理规律中，提取精华。这个层次的道，上帝创造世界的核心理念不会太多太杂，这种最普适的思想越精炼越好，越少越好，这个是为道日损。

引入新的暂时的概念往往容易，如何消灭旧的非本质的概念反而是最困难。而当今科学的局面却是，无数人在一起努力把事情搞复杂，没人去搞懂最基本的概念。所以，今天的科学，越来越难懂了。

爱因斯坦有一句话说得很好，"Any intelligent fool can make things bigger, more complex, and more violent. It takes a touch of genius -- and a lot of courage -- to move in the opposite direction."。

爱因斯坦和杨振宁等人的工作正是这个相反的方向，都曾给物理学带来巨大的简化。为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论

广义相对性原理还应该继续贯彻到底

广义相对性原理的目标是，一切参考系平权。当然这个原理并没有完全实现，还有待进一步贯彻。目前来说，顶多只能说是一切匀加速运动的参考系平权，所以贯彻到这种程度的“广义”相对论很大程度上被理解为一种更精确的引力理论。但我不这样认为，我始终认为广义相对论是时空与物质关系的深刻理论，是更深刻的时空观革命，引力现象只是其中的一个效应。

广义相对性原理的真正贯彻，应该对一切连续变换的参考系平权，而现今的数学只能处理光滑变换的参考系。但一切连续函数当中，光滑函数只是其中微乎其微地特例，而绝对的主体是不可微函数。

数学家花了太多的时间和精力在“可微的”甚至“光滑的”这种几何对象上。而事实上，现实物理世界所呈现的几何往往大多是不可微的，非光滑的。即便是在数学里，可微函数相对于不可微函数，就像有理数相对于无理数一样稀少。显然，在有理数上是建立不了完备的数学分析的，同样，放着几乎全部的不可微函数不研究，而只关心微乎其微的可微函数，这样建立起来的微分几何理论怎么算完备呢？

爱因斯坦的几何化梦想需要新几何

一旦广义相对性原理达到完全地贯彻，必将带来更加巨大的变革，也许能把更多的现象包容进来。

最理想的情况的是，但考虑到自由运动粒子可能是不可微的路径，或者说坐标系变换是一般连续变换包括不可微变换，或者说时空流形是不可微的，考虑到这种不可微的特性后，如果能自然地包容进一切的现象，包括各种其他的相互作用，甚至现在仍未知的现象等等，那将是最美妙的情况了。

一个很核心的问题是质量的本质，惯性质量和引力质量已经被看做质量的两个侧面，还有一个微观质量的概念，在量子力学里，比如狄拉克方程里的质量，有一种几何的意义，可以理解为粒子改变自己运动方向的频率，这个对应于粒子轨迹的分形维数。沿着这个思路，是否可以得到某种质量概念的几何化。

数学和物理

这里我想谈谈数学和物理的密切关系和本质区别。

数学研究的是逻辑上成立的一切可能性，讲究的是合理性。物理则是要找到一切可能性中真实世界所遵循的那唯一真实的可能，讲究的是真实性。

所以数学上，无所谓是欧式几何还是非欧几何哪一种几何更真实，数学只关心它们内部逻辑一致性和严密性，它们都在数学上都是合理的存在。但物理则不同，物理关心的问题就是真实的自然遵循那种数学，真实的时空是平直的还是弯曲的，哪种才是真实的？所以实质上物理关心的是什么条件下真实的物理世界可以用何种数学来描述，这是物理学的核心问题。

历史上，也确实如此，经常有这种情况，数学家凭空创造的数学概念在很多年后才被物理学家发现其和自然的联系，比如黎曼创造的弯曲几何，比如虚数最开始是个纯数学的构造后来发现在量子力学里变得不可或缺。

再有一个例子，陈省身建立的整体微分几何学，恰为杨振宁所创立的规范场论提供了合适而精致的数学框架。这一科学渊源，事先任何人都没有想到过。杨振宁曾经对陈省身说：“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致，对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认：“不，不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的，也是真实的！”

这种数学是很好的数学，可谓是从更高的一个层次上，发现或叫创造了这个世界。但问题是，这种很好的数学并不多。这里我要强调的反倒是另一点，在某种意义下，数学要大于物理，因为物理只关心数学里和真实自然发生关系的那一些数学，所以不可避免地，数学里也有大部分的是跟真实物理世界没有关系的枝节性的东西，只是一种逻辑游戏而已。

有一些数学家相信，数学家构造数学可以完全不受真实物理世界的束缚。我只部分同意这种观点，因为数学概念之初，还是必须是来源于我们的直觉经验，比如最初人们凭借自己的直觉，相信欧式几何是唯一合理的几何。只是后来的研究可以从逻辑体系本身出发，而摆脱直接的经验直觉，于是人们发现平行公式似乎不够自然，然后大胆地放弃之，而讨论一切逻辑上可能的情况，这才导致非欧几何的出现。人们创造自然数，也是出于对离散物体的天然直觉，后来又推广之负数，有理数，无理数，实数乃至复数，这些都越来越远离直觉。这种出于对逻辑体系本身的审视而带来的每次对旧有概念的推广和超越，确实是最好的数学所在，而且往往这种超越最后又发现了在真实物质世界中的对应。

总结一下，原始的数学概念起源于直接的直觉经验，然后自身内部逻辑体系的发展，然后产生的新概念又被发现了在真实物质世界中有所对应，而这种对应又打开了人类认知物质世界的新视野。物质—理念—物质，物理—数学—物理，这种否定之否定的飞跃实在是科学中最让人惊艳的大美。

最后以这一幅图片来展示数学和物理的关系，数学和物理就像是Lorenz吸引子的两个翅膀，而科学发展的轨迹就是不断地在两个翅膀上盘旋往复。

杨先生的工作，当属于数学和物理的交融，是数学和物理中最漂亮的交集。

他的工作，还有他的方程处于与麦克斯韦方程式、狄拉克场方程式、爱因斯坦场方程式同等核心的地位。

杨先生的大名，将和这个永恒的方程一起，与宇宙同在，与爱因斯坦、牛顿、麦克斯韦、狄拉克一列，成为永恒。

谨以此文表达对杨先生的敬意，祝杨先生九十华诞生日快乐！幸福安康！