12.4.3 光学仪器的分辨率
光通过圆孔也能产生衍射现象，称为圆孔衍射。一般光学仪器都是由若干透镜组成，透镜相当于一个圆孔，光通过光学系统的光阑或圆孔时，也会产生衍射，因而圆孔衍射有很重要的实际意义。
一、圆孔的夫朗和费衍射
如果在观察单缝夫朗和费衍射的实验装置中，用小圆孔代替狭缝，当单色平行光垂直照射到圆孔时，在位于透镜焦平面所在的屏幕上，将出现环形衍射斑，中央是一个较亮的圆斑，它集中了全部衍射光强的84%，称为中央亮斑或爱里斑，外围是一组同心的暗环和明环，且强度随级次增大而迅速下降，如下图所示。
圆孔衍射和爱里斑
根据惠更斯—菲涅耳原理，同样可以用半波带法计算出各级衍射条纹的分布。由于几何形状不同，圆孔衍射条纹分布的讨论与单缝衍射有差异。通过计算可以得到（证明从略）第一级暗环的衍射角θ1满足
式中D为圆孔的直径。
衍射角θ1即为爱里斑的角半径，在透镜焦距f较大时，此角很小，故
由此可知，中央爱里斑的半径r为
上式看出，衍射孔D愈大，爱里斑愈小；光波波长l愈短，爱里斑也愈小。
二、光学仪器的分辨本领
光学仪器观察细小物体时，不仅需要有一定的放大能力，还要有足够的分辨本领，才能把微小物体放大到清晰可见的程度。根据几何光学的成象原理，物点和像点一一对应，适当选择透镜的焦距和物距，总可以得到足够大的放大倍数。然而，由于光的衍射作用，物点的像并不是一个几何点，而是有一定大小的爱里斑，周围还有一些模糊斑纹。如果两个物点距离太近，它们的斑会相互重叠以至于不能分辨出究竟是一个物点还是两个物点。可见，光的衍射限制了光学仪器的分辨本领。
重要的问题是，在什么条件下能从两个爱里斑判断出两个物点？瑞利对此提出一个标准：如果一个斑光强最大的地方正好是另一个斑光强最小的地方，也即一个斑的中心正好是另一个斑的边缘，此时两个斑之间的最小光强约为中央最大光强的百分之八十，对于大多数人来说，恰好能辨别出是两个光点，这个标准称为瑞利准则。如下图所示，两物点恰能分辨时，两爱里斑中心的距离正好是爱里斑的半径。因此，两个相邻物点的最小分辨角应等于爱里斑的角半径
对于光学仪器来说，最小分辨角越小越好。定义光学仪器的分辨率为
显然，光学仪器的分辨率越大越好。上式表明，分辨率的大小与仪器的孔径D成正比，与入射光波波长成反比。瑞利准则为设计光学仪器提出了理论指导，如天文望远镜可用大口径的物镜来提高分辨率，目前正在设计凹面物镜直径为8m的太空望远镜。对于电子显微镜则用波长短的射线来提高分辨率，目前用几十万伏高压产生的电子波，波长约为10–3nm，做成的电子显微镜可以对分子、原子的结构进行观察。
透镜最小分辨角
【例1】通常人眼瞳孔直径约为3mm，对于人最敏感的波长为550nm的黄绿光，人眼的最小分辨角多大？在上述条件下，若有一个等号，两条线的间距为1mm，问等号距离人多远处恰能分辨出不是减号。
【解】
，恰能分辨时有
波的干涉 光程差的计算 光程差的计算公式 单缝衍射
第2章 标量衍射的角谱理论
光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：
（1）衍射孔径比波长大很多，
（2）观察点离衍射孔不太靠近；
不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。
经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。
2.1 光波的数学描述
作为电磁场的基本理论，麦克斯韦方程组描述了电场和磁场在各向同性介质中的传播特性。同时作为空间和时间函数的电场或磁场分量
，在任一空间无源点上满足标量波动方程
式中
是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度
,而
、
为介质的介电系数和磁导率。如在真空中的传播，则速度为真空光速
，式中
、
为真空中的介电系数和磁导率。
式（2.1）是线性的，也就是说满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。可以证明球面波和平面波都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
2.1.1 光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，单色光场中某点
在时刻
的光振动可表示成
式中
是光波的时间频率，
和
分别是
点光振动的振幅和初位相。为将相位中由空间位置确定的部分
和由时间变量决定的部分
分开，用复指数函数表示光振动是方便的。这样一来，（2.2）式变成
式中，符号
表示对括号内的复函数取实部。将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量
光振动的强度是其振幅
的平方，因而光强可用复振幅表示成
在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时，可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一个阶段对复指数函数取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个阶段得到的结果是相同的。故可将式(2.5)左边花括号中的部分代入式(2.1)，波动方程化简为
其中
称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为
式(2.7)称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足这个不含时间的波动方程。这也就意味着，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。
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