时刻
t 第n 个原子离开平衡位置的位移un ( t) 是N
http://gtwlx.jpkc.fudan.edu.cn/lec25.pdf
这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率
•
这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能
量子
•
利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比
较简单明了，比如：
*
晶格振动与晶格振动的相互作用；
*
晶格振动与电子的相互作用；
*
晶格振动与光子的相互作用等
特别注意：一个简正振动并不是表示某一个原
子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的振
动频率相同的振动
•
这种集体振动称为振动模
• 振动能量是分裂的，量子化的
讨论：再看解的形式
•
实际上，上面只是一个特解，一般解应是它们
的迭加，即在任意时刻
t，n格点的原子处在
•
振幅与q有关，Aq(t)中含有e-iωt
*
即位移是各种不同波矢、不同频率的格波的迭加
•
用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标
随时间的变化，使描写晶格振动变得非常复杂
* 因为各个原子相互之间是关联的
收稿日期
:2001 - 06 - 19
基金项目
:教育部高等学校骨干教师资助计划项目
作者简介
:田强(1962 —) ,男,陕西西安人,北京师范大学物理系副教授,博士,主要从事固体物理学教学和研究.
第
21 卷第5 期大 学 物 理Vol. 21 No. 5
2002
年5 月COLLEGE PHYSICS May. 2002
晶格振动行波解和简正坐标
田 强
(
北京师范大学物理系,北京 100875)
摘要
: 以一维单原子链为例,对晶格振动的行波解和简正坐标进行了分析和讨论,给出了一种新的格波解.
关键词
: 晶格振动;行波解;简正坐标
中图分类号
:O 481 文献标识码:A 文章编号:100020712 (2002) 0520028202
1
晶格振动行波解的讨论
为简明起见
,以一维单原子链为例. 由N 个质量为
m
的原子组成的原子间距为a 的一维单原子链,其行
波解
[1～3 ]为
u
n
, q = Aqei (ωt - qna) (1)
在时刻
t 第n 个原子离开平衡位置的位移un ( t) 是N
个振动模位移的叠加
u
n
( t) = 6
q
u
n
, q = 6
q
A
q
ei (ωt - qna) (2)
同时
,该位移un ( t) 用正交归一的函数系
1
N
e
- i qna
q
=
2
π
Na
l
, l = -
N
2
+ 1 , -
N
2
+ 2 ,
⋯,0 ,1 ,2 , ⋯,
N
2
展开为
[1～3 ]
u
n
( t) =
1
Nm
6
q
Q
q
( t) e- i qna (3)
展开系数
Qq ( t) 就是晶格振动的简正坐标.
比较式
(2) 与式(3) ,得到
Q
q
( t) = NmAqeiωt (4)
该式不满足简正坐标的基本要求
Q
q
( t) = Q
3
-
q ( t) (5)
式
(5) 也是原子位移un ( t) 为实,即un ( t) = u
3
n
( t) 的必
然结果
[4 ,5] . 也就是说,式(2) 与式(3) 不能同时成立;而
式
(3) 是无庸置疑的,问题只能是行波解的形式(1) 在
讨论简正坐标时需要重新考虑
.
2
晶格振动运动方程解的分析
一维单原子链在简谐近似和最近邻近似下的运动
方程为
m
d
2 un
d
t2 =β( un + 1 + un - 1 - 2 un ) (6)
式中
β是简谐近似下的力常数. 将展开式(3) 代入方程
(6) ,
化简后得到
Q
¨
q
+
4
β
m
| sin
qa
2
|
2 Qq = 0 (7a)
记作
Q
¨
q
+ω2 Qq = 0 (7b)
其中
ω2 =
4
β
m
| sin
qa
2
|
2 . 方程(7b) 的4 种常见解为:
Q
q
= Cqei (ωt +θ) (8a)
Q
q
= Cqe - i (ωt +θ) (8b)
Q
q
= Cqcos (ωt +θ) (8c)
Q
q
= Cq sin (ωt +θ) (8d)
θ
和Cq 是常数,θ可取为零. 其中式(8a) 和(8b) 不满足
式
(5) 的要求,而式(8c) 和(8d) 可以满足式(5) 的要求;
对于一维单原子链
,展开式(3) 的展开系数可取式(8c)
或
(8d) 的形式.
3
晶格振动的一种新解法
基于以上的讨论
,下面给出晶格振动的一种新解
法
.
3. 1
一维单原子链
一维单原子链在简谐近似和最近邻近似下的运动
方程为式
(6) ,这是多个方程联立的方程组,有解
u
n
, q = Aqcos ωte - i qna (9)
代入运动方程
(6) ,得到色散关系ω2 =
4
β
m
sin
qa
2
2
;
其
分析过程与现行教材中的完全相同
.
由式
(9) 和色散关系的周期性得到一维单原子链
的布里渊区
,考虑波恩- 卡曼周期性边界条件得到波
矢
q 的分立取值,等等;这些分析及其结论均与现行教
材中的完全相同
.
3. 2
一维双原子链
对于原子质量分别为
m 和M、相邻原子间距为a
的一维双原子链
,在简谐近似和最近邻近似下的运动
方程为
[1～3 ] :
m
d
2 u2 n
d
t2 =β( u2 n + 1 + u2 n - 1 - 2 u2 n ) (10a)
M
d
2 u2 n + 1
d
t2 =β( u2 n + 2 + u2 n - 2 u2 n + 1 ) (10b)
该方程组有解
:
u
2 n , q = Aqcos ωte - i q2 na (11a)
u
2 n + 1 , q = Bqcos ωte - i q(2 n + 1) a (11b)
将解
(11)代入运动方程(10) ,得到色散关系(过程和结果与
现行教材中的完全相同
) . 随后对布里渊区和边界条件的
分析及其结果等
,也都与现行教材中的完全相同.
4
结论
晶格振动运动方程有多种形式的解
,其中行波解
是普遍使用的形式解
,利用行波解可以很好地讨论晶
格振动的色散关系等
;但是,在讨论简正坐标时,晶格
振动运动方程的解在形式上需要重新考虑
. 本文给出
了一种新的格波解
un , q = Aqcos ωte - i qna 或un , q = Aq ·
sin
ωte - i qna (一维单原子链) ,新的格波解使原来行波解
存在的问题得到了解决
,并且随后的分析和求解与现
行教材中的完全相同
.
参考文献
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社
,1980. 102～113.
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1988. 82
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李正中. 固体理论[M] . 北京:高等教育出版社,1985. 36.
[5 ]
田强. 晶格振动简正坐标的具体表述及其讨论[J ] . 大学
物理
,1999 ,18(8) :7.
An analysis of the plane
2wave solutions and
ortho
2coordinates of lattice vibration
TIAN Qiang
(Department of Physics ,Beijing Normal University ,Beijing ,100875 ,China)
Abstract :The plane2wave solutions and ortho2coordinates of lattice vibration are analyzed.A new solution
is given.
Key words :lattice vibration ;plane2wave solution ;ortho2coordinate
第5期 田 强:晶格振动行波解和简正坐标29
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