ustc 量子信息讲座 第三讲 量子编码

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量子信息讲座

第三讲 量子编码

段路明 郭光灿

（中国科学技术大学物理系，非线性科学中心，合肥230026）

摘要 量子编码使信息论领域发生革命性进展，它是量子信息论的主要内容之一．文章介绍了量子编码的基本概念和发展背景，评述一些现有的量子编码方案，包括纠随机错和防合作错的量子码，并追踪量子编码定理的研究进展．
关键词 量子编码，量子纠错，集体消相干．量子编码定理

QUANTUM CODING

Duan Luming Guo Guangcan

(Department of Physics and Nonlinear Science center, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026)

Abstract Quantum coding has revolutionized the field of information theory. This paper explains the basic ideas of quantum coding and some existing quantum codes, including the random -- error -- correcting and cooperative -- error -- preventing cedes. We also trace the development of
quantum coding theorems.
Key words Quantum coding, quantum error correction, collective decoherence, quantum coding theorems

1 量子编码的基本概念和提出背景

现在利用计算机进行复杂运算时，我们不再为结果的可靠性担心．但是在计算机概念刚提出时，曾经有人提出如下反驳：在计算机这样一个复杂系统中，噪声是不可避免的，只要噪声使得计算机中任一部件发生一次错误，最后的运算结果都会变得面目全非，因此，利用计算机进行复杂运算是不可能的．这一困难后来是怎样克服的呢？编码在这过程中起了关键性的作用．什么是编码？编码，更准确地说，信道编码，指的是，通过引入冗余信息，使得在一部分比特发生错误的情况下，仍有可能按照一定的规则纠正这些错误，以实现无失真地传送和处理信息．举一个最简单的重复码为例，我们可以将信号 0编码为000信号1编码为111，这样如果最多只有一个比特发生错误，譬如，000变成了001，我们可以按照少数服从多数的原则，找出错误的比特（第三比特），并纠正该错误．

以上是经典编码的基本概念，为什么要引进量子编码呢？这与量子信息论特别是量子计算机的发展有关．量子信息论中，信息的载体不再是经典比特，而是一个一般的二态量子体系．这二态量子体系，可以是一个二能级的原子或离子，也可以是一自旋为1／2的粒子或具有两个偏振方向的光子，所有这些体系，均称为量子比特．区别于经典比特，量子比特可以处于0，1两个本征态的任意叠加态，而且在对量子比特的操作过程中，两态的叠加振幅可以相互干涉，这就是所谓的量子相干性．已经发现，在量子信息论的各个领域，包括量子计算机、量子密码术和量子通信等，量子相干性都起着本质性的作用．可以说，量子信息论的所有优越性均来自于量子相干性．但不幸的是，因为环境的影响，量子相干性将不可避免地随时间指数衰减，这就是困扰整个量子信息论的消相干问题^[1] ．消相干引起量子错误，量子编码的目的就是为了纠
正或防止这些量子错误．虽然量子编码和经典编码的基本想法类似，即要以合适的方式引进信息冗余，以提高信息的抗干扰能力，但量子码可不是经典码的简单推广．在量子情况下，编码存在着一些基本困难，表现在如下3方面:

(1)经典编码中，为引入信息冗余，需要将单比特态复制到多比特上去．但在量子力学中，有个著名的量子态不可克隆定理（见续讲《量子克隆与量子复制》，禁止态的复制．
(2)经典编码在纠错时，需要进行测量，以确定错误图样．在量子情况下，测量会引起态坍缩，从而破坏量子相干性．
(3)经典码中的错误只有一种，即0，1之间的跃迁．而量子错误的自由度要大得多．对于一种确定的输入态，其输出态可以是二维空间中的任意态．因此，量子错误的种类为连续统．

因为这些原因，量子纠铸比经典纠错困难得多．事实上，直到1995年底至1996年，Shor^[2]和 Steane^[3]才独立地提出了最初的两个量予纠错编码方案．量子纠错码通过一些巧妙的措施，克服了上面的3个困难，具体为:
(1)为了不违背量子态不可克隆定理，量子编码时，单比特态不是被复制为多比特的直积态，而是编码为一较复杂的纠缠态．对于纯态而言，纠缠态即指不能表示为直积形式的态．通过编码为纠缠态，既引进了信息冗余，又没有违背量子力学的原理．
(2)量子纠错在确定错误图样时，只进行部分测量．通过编码，可以使得不同的量错误对应于不同的正交空间，部分的量子测量（即只对一些附加量子比特，而不是对全部比待进行测量）使得态投影到某一正交空间．在此正交空间，信息位之间的量子相干性仍被保持，同时测量的结果又给出了量子错误图样．
(3)量子错误的种类虽然为连续统，但人们发现，它可以表示为3种基本量子错误(对应于3个Pauli矩阵)的线性组合．只要纠正了这3种基本量子错，所有的量子错误都将得到纠正．自从发现了最初的两个量子编码方案，各种更高效的量子码已被相继提出、下面我们介绍两类最重要的量子编码，即纠随机错的量子码和防合作错的量子码．

2 量子编码方案

2.1 纠随机错的量子码

通常所谓的量子纠错码即指纠随机错的量子码．各种量子纠诸方案，实际上都假定了发生量子错误的比特数是给定的，例如常见的有纠一位错的量子码．然而在实际情况下，所有的量子比特均经历消相干，因此每个比特都有可能出错，发生错误的比特数是不定的．于是一个自然的问题为，那种设计用来纠一位错或更多位错的量子码在实际中是否有效？此问题的答案是肯定的，分析表明^[4]，只要量子比特独立地发生消相干(亦即各个比特随机地出错)，所有的量子纠错方案都会行之有效．这里可以给一个简单的说明，设在T时间内进行N次纠错操作，在两次纠错间隔中，比特的出错率正比于T／N．纠一位错后，其剩余错误率将正比于T²/N²，因此N次纠错后，系统的累计剩余错误率正比于NT²/N²．只要 N足够大，亦即两次纠错的时间间隔足够小，就可以使得系统的累计剩余错误率任意地小．

Shor的第一个纠错方案为量子重复码^[2],它利用9比特来编码1比特信息，可以纠正1位错．Shor的方案简单，而且与经典重复码有较直接的类比，但它的效率不高．事实上，Steane的编码方案^[3]到对后来的量子纠错码影响更大．在该方案中,Steane提出了互补基的概念，给出了量子纠错一些一般性的描述，并具体构造了一个利用7比特来编码1比特纠1位错的量子码．紧接着，Calderbank和Shor以及Steane提出了一个从经典纠错码构造量子纠错码的方法^[5,6]，该方法建立在群论语言之上．纠1位错的最佳（效率最高）量子码也由两个小组独立地发现^[7,8]，该方案利用 5比特来编码 1比特．纠多位错的量号码情况更复杂，迄今为止，只发现一些简单的纠多位错的量子码．现有的各种量子纠错码，都可以被统一在群论框架之下，该描述已由Gottesman和Calderbank等给出^[9,10]．但利用现有的理论去构造新的量子纠错码,仍然是一件非常艰巨的工作，为了寻求更高效的量子码，人们往往需要逐步地摸索．

2．2防合作错的量子码

前面已表明，量子纠错方案适合于纠随机量子错．但在实际中，量子比特有可能发生合作消相干，结果导致各个比特出错的概率相互关联，此即合作量子错．设计用来纠随机错的量子编码是否适合于纠合作量子错？这个问题还有待于解决．已有的研究可以肯定的一点是，对于克服合作消相干，利用纠随机错的量子码不是一种高效率的方案．事实上，已经发现更好的方案用来克服合作量子错^[11,12]．有别于量子纠错编码，这些方案防错而不纠错，它们本质性地利用了量子比特消相干过程中的合作效应．
Palma等和我们曾先后考察了2个比特或多个比特消相干和一般耗散过程中的合作效应^[13,14]，其中一种理想情况，即集体消相干（完全合作消相干）最值得注意．集体消相干和独立消相干具有明显不同的特征，其中最重要的一点区别为，对于集体消相于，存在相干保持态．相干保持态是一类特殊的能完全保持量子相平性的输入态，它可以表示为某个力学童的1组本征态，该力学量的形式依赖于具体的消相干模型．在合作消相干克服方案中，相干保持态得到了本质性的利用．这些方案一般都先建立相干保持态，然后将量子比特的输入态编码为相干保持态．最近我们的研究结果表明，这一想法具有广泛的应用价值^[12]．我们的方案基于量子比特的配对，配对的2个比特要求发生集体消相干，但不同对之间的量子比特既可以独立消相干，也可以合作消相干．对于量子比特对，存在相干保持态，从而可以将比特的一般输入态编码为比特对的相干保持态，以达到克服消相干的目的．相比于量子纠错编码，此方案具有适用范围广、效率高等特点．它只需要用2比特来编码1比特，而且该编码可以很简单地用量子控制非门来实现．该方案还可以进一步推广用来克服量子门操作中的消相干，这只需要用作用于比特对的量子逻辑门来取代作用于比特的量子逻辑门，我们证明，作用于比特对的量子逻辑门仍然可以构成一个通用量子门集．
量子纠错编码假定了各个量子比将独立地发生消相干，另一方面，现有的几种合作消相干克服方案又利用了相干保持态，而相干保持态建立在某些童子比特发生集体消相干的假设之上．独立消相干和集体消相干显然都是一种理想情况，一个重要的问题是，对于具体的量子计算机，哪种假定更为合理？现在实验上已经提出几种量子计算机模型，对每种模型，都有多种噪声对消相干过程有贡献．我们最近的工作表明，不同噪声引起的消相干具有十分不同的特性：某些噪声引起独立消相干，另外一些噪声引起集体消相干或一般的合作消相干^[15]；有的噪声随时间增长速度快，另一些噪声随时间增长速度慢^[16]．为了使量子编码在实际中行之有效，有必要先根据具体的量子计算机和噪声模型，来分析其消相干特性．根据此特性，选择合适的量子纠错或防错编码，或者这两种方案的结合．我们的工作提供了这方面的一个启示，更多的问题还有待于进一步研究．

3 量子编码定理

量子编码定理研究的目标是要寻找Shannon定理的量子对应．Shanon信源编码定理确定了任一信源给出的信息的最大压缩率，信道编码定理确定了信息在有噪信道中无失真地传输的最大速率，亦即信道容量．Shannon定理奠定了整个经典信息论的基础，对于量子信息论，是否存在类似的定理？能否引进信道容量的概念？如何发展有效的算法去计算量子信道容量？这些问题显然都是量子信息论中的基本问题．
量子编码定理的研究实际上还要早于对量子编码方案的研究．早在1993年Schumacher就证明了一个比较初步的量子信源编码定理^[17]，该证明后来经Jozsa和 Holevo的工作得到进一步的简化和推广．量子信源以概率发送密度算符为的量子态，表示信源的总密度算符．量子信源编码定理要回答的是，对于这样的量子系统，其信息最少可以用多少量子比特表征出来？ Schumacher的定理表明，如果所有均限制为纯态，以2为底的Von－Neumann熵确定了所需的最小量子比特数．熵是量子力学中的重要概念．Schumacher的定理揭示出，量子力学和信息论这两个看起来互不相关的学科，实际上却存在着内在的联系．Schumacher的定理后来经Holevo推广到为混合态的情况，此时相对Von－Neumann熵确定了所需的最小量子比特数．
相比平信源编码定理，信道编码定理的证明要复杂和困难得多．首先要弄清楚的一点是，量子信道可以同时传送经典信息和量子信息．因此，对于一个给定的量子信息，既存在经典信息容量，又存在量子信息容量，这两者有时相差悬殊．为了说明这种区别，我们举一个简单的例子．考虑一个具有如下性质的信道，如果输入态在基底，下具有对角形式，该信道不影响传送的态；反之，如果输入态为一般的量子态，信道将完全破坏，之间的相干性，亦即使基底，下的非对角项消失，但保持对角项不变，此信道称为完全解相干信道．可以证明，该信道的经典信息容量为1，而量子信息容量为0，因为量子相干性在该信道中不能维持．
量子信道编码定理的研究已经取得了很大进展．量子信道的经典信息容量已完全确定^[18]，它可以用前面引入的相对Von－Neumann熵表示出来，其证明有点类似于量子信源编码定理的证明．量子信道的量子信息容量尚未完全解决，但也已经取得重要突破．Schumacher,Lloyd和 Nielsen等引入了相干信息的概念^[19,20]，并证明，此概念可以作为经典交互信息的量子类比．利用相干信息，他们给出了量子信息容量的一个上限，此上限能否达到，目前还缺乏证明¹⁾，但人们相信，通过合适的改进，该上限将给出量子信息容量．另外，当前还有一个迫切的问题是如何发展有效的算法去计算一般信道的量子信息容量．这些构成了进一步研究的课题．

4 展望

量子编码是信息论领域一个激动人心的进展．一方面，通过量子编码，人们看到了克服消相干的希望，从而使得量子计算机和量子传输等可以从梦想变为现实．另一方面，量子编码定理是Shannon定理的量子推广，具有重要的理论意义．量子编码理论的研究将大大促进人们对量子力学和信息论这两门学科的理解．
量子编码在1996年成为量子信息论领域最热门的课题，其发展的速度令人惊叹．但如前面指出的，其中遗留下来的问题也还很多．量子信息论尚未形成像经典信息论那样的宏伟框架，很多问题有待于进一步研究．

1)Lloyd给出了一个关于上限可达性的证明^[20],但他的编码限于幺正编码，后来，Schumacher等指出(待发表)，Lloyd给出的上限有可能被突破。