如果随机地对谐振子的位置进行测量,测得振子处于x~x+dx之间的几率应该等于一个周期内振子处于这个区间内的时间与周期T的比值

如果随机地对谐振子的位置进行测量,测得振子处于x~x+dx之间的几率应该等于一个周期内振子处于这个区间内的时间与周期T的比值

谐振子在经典力学与量子力学中的比较

阿丽娅.阿力木 李曜 陆能超

（数理信息学院 物理082）

【摘要】谐振子问题既是经典力学，又是量子力学中的一个基本问题。 本文主要介绍了

在Heisenberg表象中，对于x、p、T、V和H的期望值的计算并同经典谐振子的相应力学量进行了比较。推出经典谐振子动量-位置不确定关系，并且与量子谐振子的不确定关系之间进行比较。

【关键词】经典 量子 谐振子 期望值 不确定关系

 

1、引言

经典力学中，一个谐振子乃一个系统，当其从平衡位置位移，会感受到一个恢复力F正比于位移x，并遵守胡克定律：F=kx，其中k是一个正值常数。如果F是系统仅受的力，则系统称作简谐振子（简单和谐振子）。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数（频率不与振幅相依）。若同时存在一摩擦力正比于速度，则会存在阻尼现象，称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形，振动频率小于无阻尼情形，且振幅随着时间减小。若同时存在一与时间相依的外力，谐振子则称作是受驱振子。力学上的例子包括了单摆（限于小角度位移之近似）、连接到弹簧的质量体，以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子

在量子力学里，量子谐振子是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

 

2、经典力学中的谐振子

2.1坐标和动量的期望值

 

                                                                    （1）

式中：                           （2）

                                  （3）

2.2势能和动能的期望值

                  （4）

                     （5）

 

其中：   （6）

                （7）

2.3哈密顿量的期望值

              （8）

 

3、量子中的谐振子

3.1升降算符 与 的引入

一维谐振子的Hamilton量为                       （9）

令 、 、x、p和H间有如下关系

                      （10）

                                      （11）

                              （12）

                             （13）

                 （14）

则有 , ,         （15）

3.2谐振子在Heisenberg表象

                                        (16)

                                        (17)

式(16)对t求导，并利用对易式(15)，即得方程

                       （18）

解为                                  （19）

取其共轭，即得                                         （20）

将式(12)、(13)换成Heisenbeg表象，即得

                                                                          （21）

                                                                          （22）

即中x即x=(t=0)，P即P(t= 0)，(21)、(22)在经典力学中也是成立的。

 

4、经典谐振子、量子谐振子的动量-位置不确定关系

4.1经典谐振子的动量-位置不确定关系

平衡位置在坐标原点的经典谐振子的振动方程是

                                       (23)

如果随机地对谐振子的位置进行测量,测得振子处于x~x+dx之间的几率应该等于一个周期内振子处于这个区间内的时间与周期T的比值.如果振子沿正向运动经过此区间所用的时间是dt,则振子沿负向运动经过此区间所用的时间也是dt,故振子出现在此区间的几率为

                                                     (24)

可以推出, ， 。代入(24)式,得

，                                                   (25)

故振子出现在x处的几率密度

 

                                  (26)

     同样地,随机地对振子的动量进行测量,测得动量在p~p+dp之间的几率应该等于一个周期内振子动量处于其间的时间与周期的比值.如果振子动量从p增大到p+dp所用的时间为dt,则振子动量从p +dp减小p所用的时间也为dt,故振子动量处于p~p+dp之间的几率

                                    (27)

根据能量守恒定律和旋转矢量图法可以解得

 

                  (28)

代入(27)式,得

                                         （29）

故动量几率密度

                                   （30）

其中

于是,平均位置坐标

                            （31）

方均位置坐标

                       （32）

位置不确定量

                                 （33）

平均动量

                  （34）

方均动量

        （35）

动量不确定量

                                       (36)

于是

                                               (37)

这就是经典谐振子的动量-位置不确定关系。

4.2量子谐振子的动量-位置不确定关系

对于量子谐振子^[6]

                                                 (38)

                                               (39)

                                               (40)

4.3经典情形和量子情形的不确定关系之间的对应关系

比较(33)和（38)式、(36)和(39)式、(37)和(40)式知道,经典谐振子和量子谐振子的不确定量与能量的关系式是一样的。但是,经典谐振子的能量E可连续取值,其最小值为0,而量子谐振子的能量 不能连续取值,其最小值为 ,所以,经典谐振子和量子谐振子的不确定量所满足的规律其实是不一样的。从形式上看,如果把 当作一个变量,那么,当 →0时,量子谐振子的能量就可连续取值,并且其最小值等于0,于是量子规律就蜕化成经典规律。

实际情况是,一个宏观谐振子的振动能够被观察到时,它的量子数n已经是一个大数.此时：

                         （41）

                                      （42）

表明相邻两态的不确定量之间的差异比起不确定量本身来说是微乎其微的,所以可以近似地认为Δx、Δp和ΔpΔx是连续取值的。

另外,一个宏观谐振子的振动已经减弱到观察不到时,它的量子数n′仍然是一大数,但比起振动明显时的量子数n来说是很小的。于是

                                          （43）

                                                         （44）

表明振动已经减弱到观察不到时,Δx、Δp和ΔpΔx的值与振动明显时的值相比是很小的。所以,可以近似地把Δx、Δp和ΔpΔx的最小值看作是0。

故谐振子的经典规律是量子规律在大量子数时的近似。

 

5、结束语

在Heisenberg表象中，若将 分别视为振幅和初相位，则坐标和动量期望值随时间的变化与经典谐振子的坐标和动量的变化规律相同；势能、动能及哈密顿量的期望值同经典谐振子的差别取决于坐标和动量的不确定程度。因此，量子谐振子只能在一定条件下趋近于经典谐振子而不可能完全等同。

不确定关系并非量子论所独有，经典物理中也有不确定关系,并且经典情形和量子情形的不确定量与能关系式是一样的；但是，经典规律和量子规律实质上是不同的。经典情形下ΔpΔx可以连续取值,并且其最小值等于0。而情形下ΔpΔx不能连续取值,并且其最小值不能小于  (例如一维谐振子的最小值为 ,而一维无限深的最小值为1.1357 × )；经典规律是量子规律在大量子数时的近似。

 

参考文献

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[5](美)大卫.J.格里菲斯，量子力学概论[M].机械工业出版社，2009.

[6]罗凌霄，一维谐振子的动量几率幅和等式型不确定关系[J].许昌学院学报,2004,23(5):21-24.

[7]宋鹤山，量子力学[M].大连理工大学出版社，2006.