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【求助】请教在量子力学中非本征态的力学量的平均值的问题
作者: coki2008xmu (站内联系TA) 收录: 2009-03-16 发布: 2009-03-16
当体系波函数不是本征态时，为何可以用积分计算平均值？
另外在一般结构化学书上单粒子一维运动的波函数Aexp使用复数形式，增加了虚部，在计算过程是简便了，可造成了对波函数物理意义理解上的困难，这点不知道大家怎么看？
还有，我的量化老师在讲量子力学公设（4）时谈到当波函数不是某力学算符的本征函数时，则该力学算符的一次测量给出本征值之一，这如何理解？
另外在一般结构化学书上单粒子一维运动的波函数Aexp使用复数形式，增加了虚部，在计算过程是简便了，可造成了对波函数物理意义理解上的困难，这点不知道大家怎么看？
还有，我的量化老师在讲量子力学公设（4）时谈到当波函数不是某力学算符的本征函数时，则该力学算符的一次测量给出本征值之一，这如何理解？
" 当体系波函数不是算符F本征态时，为何可以用积分计算平均值？ " 这个是定义, 对于某一个算符的平均值就是等于这个体系的波函数的内积, 或者用海森堡矩阵力学比较直观的看出, 对于一个算符, 它就在一组基下,就是一个矩阵, 如果体系波函数是算符F的本征态时, 这个时候的算符F矩阵就是对角的, 如果不是算符F的本征态时, 这个时候的算符F矩阵就不是对角了.
对于自由的单粒子波函数就是平面波, 虚数的引入是由于schrodinger方程它本身就包含着虚部!
对于自由的单粒子波函数就是平面波, 虚数的引入是由于schrodinger方程它本身就包含着虚部!
非常感谢
但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！
另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。
但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！
另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。
1.“但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！”你在这里的理解有点问题，数学上可以证明，如果一个算符是厄米算符，那么它在任何态下的平均值都是实数，而所有可观测的物理量在量子力学中都是厄米算符，具体的过程是先知道一个物理量（进而也就知道了其对应厄米算符），再求解其对应的本征方程得到其本征态，而不是相反的。
2.“另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。 ”如果体系的哈密顿量不显含t，那么这种分离变量就总是可行的~
最后，建议楼主看看物理系的量子力学书籍，一般的物理系教材对这些问题都解释得挺清楚的:):)
2.“另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。 ”如果体系的哈密顿量不显含t，那么这种分离变量就总是可行的~
最后，建议楼主看看物理系的量子力学书籍，一般的物理系教材对这些问题都解释得挺清楚的:):)
谢谢
1.“但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！”你在这里的理解有点问题，数学上可以证明，如果一个算符是厄米算符，那么它在任何态下的平均值都是实数，而所有可观测的物理量在量子力学中都是厄米算符，具体的过程是先知道一个物理量（进而也就知道了其对应厄米算符），再求解其对应的本征方程得到其本征态，而不是相反的。
我对态的概念还有点模糊，到底对波函数来说什么是态？
那对自由的单粒子一维情况，动量算符的本征方程怎样找呢？似乎只能用能量算符先列本征方程算出波函数，再用动量算符求解平均值。那么动量算符一定是厄米算符，可我对它的证明有点模糊，望mozhui指点。
1.“但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！”你在这里的理解有点问题，数学上可以证明，如果一个算符是厄米算符，那么它在任何态下的平均值都是实数，而所有可观测的物理量在量子力学中都是厄米算符，具体的过程是先知道一个物理量（进而也就知道了其对应厄米算符），再求解其对应的本征方程得到其本征态，而不是相反的。
我对态的概念还有点模糊，到底对波函数来说什么是态？
那对自由的单粒子一维情况，动量算符的本征方程怎样找呢？似乎只能用能量算符先列本征方程算出波函数，再用动量算符求解平均值。那么动量算符一定是厄米算符，可我对它的证明有点模糊，望mozhui指点。
态=状态=量子状态=微观粒子运动状态=波函数=……
算符的本征值方程：
算符（P）×波函数=常数×波函数
lz找一本量子力学教材看看吧，比这里的回答详细。
算符的本征值方程：
算符（P）×波函数=常数×波函数
lz找一本量子力学教材看看吧，比这里的回答详细。
LZ问的好像不太确切，计算平均值与波函数是否为本征态没有关系，厄米算符对应力学量平均值就是实数。
如何找到正确的算符呢？
关于态的问题，自由的单粒子在一维限域深势阱里运动的波函数忽略座标，解一个二阶微分方程得到一个只包含时间t的波函数，能量根据边界条件也可以量子化，这时候波函数的物理意义该如何理解呢？
关于态的问题，自由的单粒子在一维限域深势阱里运动的波函数忽略座标，解一个二阶微分方程得到一个只包含时间t的波函数，能量根据边界条件也可以量子化，这时候波函数的物理意义该如何理解呢？
“自由的单粒子在一维限域深势阱里运动的波函数忽略座标，解一个二阶微分方程得到一个只包含时间t的波函数”
这个问题把我弄糊涂了
“一维限域深势阱”还是一维无限深势阱？
“忽略座标”还是坐标变量分离？
“只包含时间t的波函数”还是波函数中含时间的项？
波函数的物理意义：
这时候解出来的是定态波函数，也就是说这个状态下能量有确定值。当然定态中几率密度、几率流密度、力学量的平均值与时间无关。
这个问题把我弄糊涂了
“一维限域深势阱”还是一维无限深势阱？
“忽略座标”还是坐标变量分离？
“只包含时间t的波函数”还是波函数中含时间的项？
波函数的物理意义：
这时候解出来的是定态波函数，也就是说这个状态下能量有确定值。当然定态中几率密度、几率流密度、力学量的平均值与时间无关。
1.“但如何保证平均值是实数解呢？非本征态的线性厄米算符一定能找到吗？如果找到了，那么还是原来求算的力学量算符吗？！”你在这里的理解有点问题，数学上可以证明，如果一个算符是厄米算符，那么它在任何态下的平均值都是实数，而所有可观测的物理量在量子力学中都是厄米算符，具体的过程是先知道一个物理量（进而也就知道了其对应厄米算符），再求解其对应的本征方程得到其本征态，而不是相反的。
2.“另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。 ”如果体系的哈密顿量不显含t，那么这种分离变量就总是可行的~
最后，建议楼主看看物理系的量子力学书籍，一般的物理系教材对这些问题都解释得挺清楚的
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这位同学说得不错。
第二条我补充一下。
用分离变量法的前提应该是求定态（即能量本证态）。
2.“另外请问一下，在把一个含时的波函数拆成一个不含时的定态波函数和一个时间函数的乘积时，如何保证在数学上一定可行？是否需要某些限定条件？在教科书上一般都不限定。 ”如果体系的哈密顿量不显含t，那么这种分离变量就总是可行的~
最后，建议楼主看看物理系的量子力学书籍，一般的物理系教材对这些问题都解释得挺清楚的
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这位同学说得不错。
第二条我补充一下。
用分离变量法的前提应该是求定态（即能量本证态）。
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