一．纯态及其密度算符
能用一个态矢描述的态称为纯态。
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。
第七章附录 纯态、非纯态和态密度算符
一．纯态及其密度算符
能用一个态矢描述的态称为纯态。
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。
独立的、与环境无关的系统处于纯态。 “与环境无关” 在量子力学中比在经典物理中包含更多的意思。它不仅意味着系统在所讨论时间范围内与环境没有相互作用，而且系统状态产生的方式以及该状态的整个演化过程中都没有引入系统与环境的关联。即系统状态的任何变化都不会影响环境的变化，而环境也不发生改变系统状态的变化。例如给固定外场中的单粒子，如果它的初态与环境没有关联的话，以后时间都处于纯态。但如果制备它的初态时，使它的状态与环境的状态纠缠起来，则即便以后时间系统和环境之间没有相互作用，粒子也不处于纯态。
让我们先看看纯态如何用态密度算符来描写。
设
是一归一化的态矢，
。通过和他的对偶态矢
的外积可以构造一个算符，
是一归一化的态矢，。通过和他的对偶态矢的外积可以构造一个算符，
此即为与纯态相应的态密度算符。
相应的态密度算符。
显然，
是厄米算符，而且
是厄米算符，而且
其中
是任意一套正交归一完备基。
是任意一套正交归一完备基。
态密度算符和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态，随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程，
和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态，随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程，
给出态密度算符，相当于给出系统所处的状态，各种物理量的平均值由下式计算，
，相当于给出系统所处的状态，各种物理量的平均值由下式计算，
纯态的密度算符作用到另一态矢
上面，得到在上的投影，
的密度算符作用到另一态矢上面，得到在上的投影，
因此，
。
。
对一具体的表象，设态空间的基底为，态矢
。态密度算符的矩阵元为
，态矢。态密度算符的矩阵元为
因此，态密度算符的矩阵元
反映了态与
和
的相干性。只有当在和上都有投影时，才不为零。对角元
是在中测量到本征态所对应的本征值的概率。
的矩阵元反映了态与和的相干性。只有当在和上都有投影时，才不为零。对角元是在中测量到本征态所对应的本征值的概率。
通过以上讨论可见，用态矢描写的状态可以等价地用一个态密度算符来描写。反过来，一个用态密度算符来描写的状态却不一定能用一个态矢来描写。
二．非纯态及其态密度算符
过去我们说：“一个量子态可以用一个态矢完全描述”，其实只适用于与环境没有关联的孤立的系统。这是一种理想的情况，一般的实际系统或多或少总与环境有关联。
记系统的自由度为
，环境的自由度为
。系统和环境合而为一孤立的总系统，设可用态矢
来描写。我们只关心系统的自由度。设
是只与系统自由度有关的力学量算符。系统的状态能否由一个只与有关的态矢来完全描述呢？显然仅当系统自由度和环境自由度没有关联时才有可能。
，环境的自由度为。系统和环境合而为一孤立的总系统，设可用态矢来描写。我们只关心系统的自由度。设是只与系统自由度有关的力学量算符。系统的状态能否由一个只与有关的态矢来完全描述呢？显然仅当系统自由度和环境自由度没有关联时才有可能。
为了用数学语言说明着这一点，先引入直积态。
假定不管环境处于什么状态，系统的态空间都是一样的；而且反过来，不管系统处于什么状态，环境的态空间也是一样的。注意，这个假定并不意味着系统的每一个状态都与环境没有关联。
进一步假设系统态空间和环境态空间分别都是希尔伯特空间，即各自有一套完备的基底。记系统态空间的基底为
，环境态空间的基底为
。
，环境态空间的基底为。
总系统的状态由系统的状态和环境的状态两部分决定。系统的状态由系统态空间的一个态矢
由系统的状态和环境的状态两部分决定。系统的状态由系统态空间的一个态矢
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