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§4.4分布和微观状态
一、 分布（粒子在各能级的分布）
设有一近独立粒子系统，有确定的粒子数N，能量E和体积V以ε (l=1,2,…)表示粒子的能级，ω表示能级ε的简并度。 则N个粒子在各个能级的分布可表示为：
它表明：能级ε 上有a个粒子，能级ε 上有 a个粒子，…，能级ε上有a个粒子，…，等等。我们用{a}表示数列a，a，…a…称为一个分布。对于具有确定的N,E,V的系统，分布{a}必须满足条件 a=N，Ea=E 给定一个分布{a}，就确定了处在每一个能级ε上的粒子数a。
分布和微观状态是两个不同的概念，与一个分布{a}相应的系统的微观状态往往可以有若干个。这微观状态数对于玻耳兹曼系统，玻色系统和费米系统显然不同，下面分别加以讨论。
二、 微观状态数
1、 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨，即可得粒子编号。这样，当交换粒子时，将改变系统的占据方式，因此改变了系统的状态。例如有三个可区分的粒子的系统，其排列是一种全排列，交换粒子，可以得到3!=6种占据方式，即系统有3!个微观状态。
有N个可分辨的粒子系统，其粒子占据能级的分布为{a}.首先考虑，a个离子占据能级ε上的ω 个量子态时，第一个粒子可以占据ω个量子态中的任何一个态，有ω种可能的占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ω种的占据方式，…，这样a个编了号的粒子占据ω个量子态共有ω 种可能的占据方式，因此a，a，…a…个编了号的 粒子分别占据能级ε，ε，…ε…上的量子态共有 种方式。现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换数是N!在这个交换中应该除去在同一能级上a个粒子的交换a!，因此得因子N!/ 。这样，可区分粒子系统。玻耳兹曼系统，其分布为{a}的微观状态数为 = ⑵
2、玻色系统
粒子不可分辨，每一个个体量子态能容纳的粒子数不受限制。为了求玻色系统的一个分布所包含的微观状态数。我们先来研究一个问题，将10个相同的球放进6个格子，每个格子可容纳的球数不限，问多少种放法下面画出任意的两种放法··|·|····|||···， ·|·|··|···|···|，
上图启示我们，为了计算所有可能的放法，可以设想10个球被5个可以移动的隔板隔成6部分，如果把球和隔板都当作被排列的元素，则它们的任何一种全排列都对应一种放法。已知15个元素是全排列数为15!。但是如果考虑到球是全同的隔板也是全同的，两球相换或者两板相换都不对应新的放法所以还需从15!中除去两球互换的方式数10!和两板互换的方式数5!。综上所述，不同的放法共有 种。
同理，a个玻色子在ω个量子态中的分配情况也是一样的，我们可以把a个玻色子当作a个全同小球，把ω个量子态当作（ω-1）个全同隔板，使用类似的方法将得到a个玻色子在ω个量子态中的分配方式数（微观状态数）为
由于每一个能级都有相同的表达式，所以一个分布包含的微观状态数为 = ⑶
3、费米子
粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。同样，我们先求ε能级的a个费米子分配到ω个量子态的可能方式数。由于费米子遵从泡利不相容原理，所以必须假设ω≥a。如果先将粒子编号，（实际不能编号）。显然，第一个粒子有ω种可能的分配方法，第二个粒子就有（ω-1）种可能的分配方法，依此类推，第a个就有（ω-a+1）种分配方法，因此，满足泡利不相容原理的编了号的a个粒子按ω个量子态的分配方式数为
考虑到费米子的全同性，同一能级中的任何二个粒子的交换（a个粒子有a！种互换方式），并不对应新的分配方式，所以a个费米子分配到ω个量子态中的可能方式为
因为对于每一能级都有相同的表达方式，所以一个分布所包含的微观态数为： = ⑷
4、经典极限条件
如果在Bose和Fermi系统中，任一能级ε上的粒子数均远小于该能级量子态数，即 《1 （对所有的l） ⑸
则玻色系统的微观状态数可以近似为
费米系统的微观状态数可以近似为
所以称《1为经典极限条件，也称非简并性条件。表示所有能级中的粒子数远小于量子态数。这意味着，平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。当满足非简并条件时，不论是Bose还是Fermi系统与分布{a}相对应的微观状态数都近似等于可区分粒子系统微观状态数除以N!
一、 经典统计中的分布和微观状态数
在经典力学中，粒子的坐标和动量是能够唯一确定的。对于自由度数为r的粒子在某一时刻的运动状态就可以由r个广义坐标和r个广义动量（q,q,…q ，P,P,…P）来确定，相应于μ空间中的一个代表点，随着时间的推移。将在μ空间中描绘一条曲线。对于由N个粒子组成的系统来说，在某一时刻的运动状态就由Nr个广义坐标和Nr个广义动量（q ,q ,…q ，P,P,…P）（i=1,2,…N）共Nr个变量来确定，相应于μ空间中的N个代表点。随着时间的推移，将在μ空间中描绘N条曲线，N条相轨迹。也就是说q和p是连续变量，因此粒子和系统的微观状态也是一个连续的量，是不可数的。
但是为了计算粒子的微观状态数，我们可以将μ空间划分成大小相等的小体积，即相格。划分方法：将第i个连续变量q 和p划分成大小相等的许多小间隔，满足δqδp=h ，其中h是与i无关的具有固定大小的任意小量，量纲为[长度] [动量]。因此就可以由粒子运动状态在μ空间中的代表点，所在的相格来确定粒子的运动状态。对于自由度为r的粒子可以将μ空间划分成δq…δqδp…δp= h 大小的相格。处在同一相格中的代表点，代表相同的运动状态。相空间被分割成小相格的尺寸选的愈小，即h选得愈小，粒子状态的确定显然就愈精确。在经典描述中，h可以选得任意小，但是正确的量子力学描述对于h施加一个限制，选择h的最小值为普朗克常数h
选择h<h会导致确定粒子的精确度超过量子理论所允许的程度。
对于由N个粒子组成的系统的经典统计描述，我们可以将μ空间划分为许多体积元Δω （l=1,2,…）,以ε表示运动状态处在Δω内的粒子所具有的参量。由于一个粒子（自由度数为r）的微观运动状态用μ空间中大小为h的相格确定，则Δω内粒子的运动状态数为 。这个量与量子统计中的简并度相当。因此，N个粒子处在各Δω的分布可以描述如下：
经典粒子可以分辨，处在一个相格内的经典粒子数不受限制。因此，在经典统计中与分布{a}对应的微观状态数可以参照=
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