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§4.4分布和微观状态
一、 分布(粒子在各能级的分布)
设有一近独立粒子系统,有确定的粒子数N,能量E和体积V以ε(l=1,2,…)表示粒子的能级,ω表示能级ε的简并度。则N个粒子在各个能级的分布可表示为:
它表明:能级ε上有a个粒子,能级ε上有 a个粒子,…,能级ε上有a个粒子,…,等等。我们用{a}表示数列a,a,…a…称为一个分布。对于具有确定的N,E,V的系统,分布{a}必须满足条件a=N,Ea=E 给定一个分布{a},就确定了处在每一个能级ε上的粒子数a。
分布和微观状态是两个不同的概念,与一个分布{a}相应的系统的微观状态往往可以有若干个。这微观状态数对于玻耳兹曼系统,玻色系统和费米系统显然不同,下面分别加以讨论。
二、 微观状态数
1、 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨,即可得粒子编号。这样,当交换粒子时,将改变系统的占据方式,因此改变了系统的状态。例如有三个可区分的粒子的系统,其排列是一种全排列,交换粒子,可以得到3!=6种占据方式,即系统有3!个微观状态。
有N个可分辨的粒子系统,其粒子占据能级的分布为{a}.首先考虑,a个离子占据能级ε上的ω个量子态时,第一个粒子可以占据ω个量子态中的任何一个态,有ω种可能的占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制,在第一个粒子占据了某一个量子态以后,第二个粒子仍然有ω种的占据方式,…,这样a个编了号的粒子占据ω个量子态共有ω种可能的占据方式,因此a,a,…a…个编了号的 粒子分别占据能级ε,ε,…ε…上的量子态共有种方式。现在考虑将N个粒子互相交换,不管是否在同一能级上,交换数是N!在这个交换中应该除去在同一能级上a个粒子的交换a!,因此得因子N!/ 。这样,可区分粒子系统。玻耳兹曼系统,其分布为{a}的微观状态数为= ⑵
2、玻色系统
粒子不可分辨,每一个个体量子态能容纳的粒子数不受限制。为了求玻色系统的一个分布所包含的微观状态数。我们先来研究一个问题,将10个相同的球放进6个格子,每个格子可容纳的球数不限,问多少种放法下面画出任意的两种放法··|·|····|||···, ·|·|··|···|···|,
上图启示我们,为了计算所有可能的放法,可以设想10个球被5个可以移动的隔板隔成6部分,如果把球和隔板都当作被排列的元素,则它们的任何一种全排列都对应一种放法。已知15个元素是全排列数为15!。但是如果考虑到球是全同的隔板也是全同的,两球相换或者两板相换都不对应新的放法所以还需从15!中除去两球互换的方式数10!和两板互换的方式数5!。综上所述,不同的放法共有种。
同理,a个玻色子在ω个量子态中的分配情况也是一样的,我们可以把a个玻色子当作a个全同小球,把ω个量子态当作(ω-1)个全同隔板,使用类似的方法将得到a个玻色子在ω个量子态中的分配方式数(微观状态数)为
由于每一个能级都有相同的表达式,所以一个分布包含的微观状态数为= ⑶
3、费米子
粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。同样,我们先求ε能级的a个费米子分配到ω个量子态的可能方式数。由于费米子遵从泡利不相容原理,所以必须假设ω≥a。如果先将粒子编号,(实际不能编号)。显然,第一个粒子有ω种可能的分配方法,第二个粒子就有(ω-1)种可能的分配方法,依此类推,第a个就有(ω-a+1)种分配方法,因此,满足泡利不相容原理的编了号的a个粒子按ω个量子态的分配方式数为
考虑到费米子的全同性,同一能级中的任何二个粒子的交换(a个粒子有a!种互换方式),并不对应新的分配方式,所以a个费米子分配到ω个量子态中的可能方式为
因为对于每一能级都有相同的表达方式,所以一个分布所包含的微观态数为:= ⑷
4、经典极限条件
如果在Bose和Fermi系统中,任一能级ε上的粒子数均远小于该能级量子态数,即《1 (对所有的l) ⑸
则玻色系统的微观状态数可以近似为
费米系统的微观状态数可以近似为
所以称《1为经典极限条件,也称非简并性条件。表示所有能级中的粒子数远小于量子态数。这意味着,平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。当满足非简并条件时,不论是Bose还是Fermi系统与分布{a}相对应的微观状态数都近似等于可区分粒子系统微观状态数除以N!
一、 经典统计中的分布和微观状态数
在经典力学中,粒子的坐标和动量是能够唯一确定的。对于自由度数为r的粒子在某一时刻的运动状态就可以由r个广义坐标和r个广义动量(q,q,…q,P,P,…P)来确定,相应于μ空间中的一个代表点,随着时间的推移。将在μ空间中描绘一条曲线。对于由N个粒子组成的系统来说,在某一时刻的运动状态就由Nr个广义坐标和Nr个广义动量(q,q,…q,P,P,…P)(i=1,2,…N)共Nr个变量来确定,相应于μ空间中的N个代表点。随着时间的推移,将在μ空间中描绘N条曲线,N条相轨迹。也就是说q和p是连续变量,因此粒子和系统的微观状态也是一个连续的量,是不可数的。
但是为了计算粒子的微观状态数,我们可以将μ空间划分成大小相等的小体积,即相格。划分方法:将第i个连续变量q和p划分成大小相等的许多小间隔,满足δqδp=h,其中h是与i无关的具有固定大小的任意小量,量纲为[长度][动量]。因此就可以由粒子运动状态在μ空间中的代表点,所在的相格来确定粒子的运动状态。对于自由度为r的粒子可以将μ空间划分成δq…δqδp…δp= h大小的相格。处在同一相格中的代表点,代表相同的运动状态。相空间被分割成小相格的尺寸选的愈小,即h选得愈小,粒子状态的确定显然就愈精确。在经典描述中,h可以选得任意小,但是正确的量子力学描述对于h施加一个限制,选择h的最小值为普朗克常数h
选择h<h会导致确定粒子的精确度超过量子理论所允许的程度。
对于由N个粒子组成的系统的经典统计描述,我们可以将μ空间划分为许多体积元Δω(l=1,2,…),以ε表示运动状态处在Δω内的粒子所具有的参量。由于一个粒子(自由度数为r)的微观运动状态用μ空间中大小为h的相格确定,则Δω内粒子的运动状态数为。这个量与量子统计中的简并度相当。因此,N个粒子处在各Δω的分布可以描述如下:
经典粒子可以分辨,处在一个相格内的经典粒子数不受限制。因此,在经典统计中与分布{a}对应的微观状态数可以参照=
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