把微观粒子走过的路径围成一个圆圈，圆周的周长为∫dq，按徳布罗意和普朗克的假设，粒子走过的路径应是λ的整数倍

把微观粒子走过的路径围成一个圆圈，圆周的周长为∫dq，按徳布罗意和普朗克的假设，粒子走过的路径应是λ的整数倍

精确的量子化条件和不变量!

马中骐!）" 许伯威#）

!）（中国科学院高能物理研究所，北京!$$$%&）

#）（上海交通大学物理系，上海#$$$’$）

（#$$( 年! 月!% 日收到；#$$( 年) 月’! 日收到修改稿）

提出并证明了一维量子系统和三维球对称量子系统的一个精确的量子化条件* 在此精确量子化条件中，除了

通常的!!项外，还有一积分项，称为修正项* 发现该修正项正是在超对称量子力学中所谓的有形状不变势的量

子系统的一个不变量，它不依赖于波函数的节点数* 对这些系统，可用基态能级和波函数确定此不变量的值，从而

由精确的量子化条件容易算出全部束缚态的能级* 计算得到能级的正确性又反过来验证了在有形状不变势的量

子系统中此修正项确实是不变量* 计算的有形状不变势的量子系统，包括一维的有限方势阱、+,-./ 势及其变形、

0,./12+,-./ 势、两类34.56728/77/- 势、95:;-< 势、=>7<6/1 势、一维和三维的简谐振子势和三维氢原子势*

关键词：量子化条件，超对称量子力学，形状不变势，不变量

 

!"##：$’?(，!!’$

!国家自然科学基金（批准号：!$%@($)#）资助的课题*

" 92A;B7：A;CDEA;B7* B6/F* ;5* 51

!G 引言

#$ 世纪)$ 年代提出的超对称量子力学［!—’］发

现某些一维量子系统的能级可以代数求解［%］* 这些

系统哈密顿量可以因子化，引入的超对称配对势有

 

相同的空间依赖性，称为形状不变势（.6;F/ B1H;-B;1<

F,</1<B;7）* 以后又进一步发现，这些量子系统的波

函数和散射矩阵也可以代数求解［(—)］* 超对称量子

力学中引入的超对称势实际上与基态波函数的对数

 

微商成比例（见文献［#］中的（?）式）* 这意味着，有

形状不变势的量子系统，基态波函数决定了所有激

 

发态的能谱和波函数* 对称性应该与一定的不变量

相联系，但超对称量子力学没有讨论此形状不变势

 

与何种不变量相联系* 本文在有形状不变势的量子

系统中找到了这一不变量*

在量子力学发展初期，旧量子理论中的I,6-2

J,AA/-K/7L 量子化条件起到经典力学和量子力学的

桥梁作用［&］，但此量子化条件只对个别量子系统成

立* M/1<C/72N-;A/-.2I-B77,>B1（MNI）近似［!$—!#］是一

个近似处理J56-4LB1O/- 波函数的方法，其中提出了

一个近似的量子化条件［&］

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式中"$

和"#

是势能’（ "）的两个转折点，

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