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研学小记： 卷积不“卷” 
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研学小记： 卷积不“卷”
邹谋炎
卷积是由两个函数h(t)和f(t) 产生出第三个函数g(t) 的一种运算，按以下公式实施：
∫-∞ ∞h(t-τ )f(τ)dτ = g(t)
对卷积运算的历史源头缺乏考证。至少从1903年起，德国数学文献中就有Faltung和convolution这些称呼，其中含有“卷摺”的含义。也许从那个时候起，老师们就这样教导学生做卷积运算：为了计算每个时间点 的卷积结果，需将h(τ)翻转为h(-τ)，再平移为h(t-τ)，与f(τ)乘积的结果，求面积。这个解说是没错的，并且因为h(τ)要被翻转，成为“卷积”这个称呼的来源。但问题是，当卷积用于工程时（例如信号处理）这个解释符合物理事实吗？例如，一个线性系统的脉冲响应是h(t), 输入信号是 f(t), 在获得系统输出的过程中，必须要求h(t) 或f(t) 在时间上（或空间上）必须被翻转吗？这显然不是事实！现在的问题出在哪里？
问题出在刚才的解说仅仅是一个数学解说。另一种解说就没有这样的困难：将h(t)平移一个时间量τ成为h(t-τ)，乘在τ处的函数值f(τ)，取遍所有τ，将乘积累积起来，就得到卷积的结果。后一种解释其实是最老的解释：叠加原理。按这种解释，卷积不必“卷”。
不“卷”的理解给卷积计算上带来直观性的方便。以两个有限长序列的有限卷积为例，卷积计算可以和多位数乘法的做法完全类似。
例：h(n) = { 2 5 3}; f(n) = { 3 0 12 4 }。 计算格式可以如下：
h(n): 2 5 3
f(n): 3 0 12 4
-----------------------------------------------------------------------------
6 15 9
0 0 0
24 60 36
+ 8 20 12
---------------------------------------------------------------------------------
g(n): 6 15 33 68 56 12
事实上，不“卷”的计算方法已被用来构造数字化的卷积器。
不“卷”给多维卷积计算和分析带来更多直观的好处。作为例子，下面随便构造了两个几何图形，假定这是两个定义在二维平面上的函数，图形内是1，图形外是0。现在希望计算这两个有限支持上的二维函数的卷积，只要给出卷积结果的支持域就好（这是分配函数论中关心的问题）。这留作问题，有兴趣者，不妨练习一下，把结果放到网上。这个问题保留一个星期。
结论：学习理论时不要受传统和思维定势的束缚。
http://blog.sciencenet.cn/blog-4909-426493.html
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发表评论 评论 (27 个评论)
- [27] 匿名
- 博主你好，我同意你的观点。我想，从原始的物理意义上来说就是您这里讲得“不卷”，而“卷”只是从计算角度来说（当然也可以像你这样不卷来进行计算）。只是后人总是套用公式，从形式上看有个符号，再加上没有深入理解，就约定成俗叫“卷积”了。
我当初自认为真正理解“卷积”，就是从水面的水波叠加才恍然大悟的.
- [26] 匿名
- Convolution is weighted average.
- [25]江万寿
- 李小文老师应该已经同意邹老师的观点。不用说太多了。请看李老师博客。
- [24]吴中祥
- (1)从 t 看，t-τ 没有翻转；从τ 看，t-τ 有翻转。卷积的称号来源于“从τ 看”这个视角你就能说"卷积不卷"这样连文理都不通的论调吗?。
（2）关于“积分的循环性”是一个你没有听说过的概念，
但正是在李小文博客中给你指出了,其中的傅立叶函数,
难道你还不知道它的循环性吗?
还要怎样描述呢?
一般情况下，有傅立叶函数因子的f(t) 和 h(t) 积分,
就都是连续、周期的随t，而进行的,
它怎么和循环发生关系?
还不清楚吗?! - 博主回复(2011-3-29 17:27)：建议你写一篇正式的博文，好让网友们与你一起讨论，同时全面地批评你所说的“错误观点”。
你的回应应该用独立博文的形式发表，因此你对本博文的继续回应将被删除。 - 博主回复(2011-3-29 00:47)：(1) f(t) 和 h(t) 被假定都是连续、非周期的.
(2) "有傅立叶函数因子的f(t) 和 h(t) 积分, 就都是连续、周期的随t，而进行的", 卷积积分中，“傅立叶函数因子”是谁？
（3）李小文博客中没有“傅立叶函数”的说法，只有这样一句“傅立叶变换的多项式，Z变换的多项式，都无法进位，一般的幂级数，以x为底，也是无法进位的。”，是讲的无法进位的事，和循环性没有关系。
（4）所以，循环性仍然是需要你给予解释的问题。
- [23]江万寿
- 出差回来好好看了一下邹老师的书，才明白邹老师的真正意思。还是怪自己懒吧。这里的关键就是“翻转”的卷积结果和“不翻转”的叠加结果是一样的。就是说按卷积公式计算是一定要“翻转”的，按叠加计算是不能“翻转”的。邹老师如果把两种方式的计算过程像书上一样列出来比较好理解。
- 博主回复(2011-3-29 00:49)：谢谢你的解释，很清楚。
- [22]吴中祥
- 难道这些针对此文,和回复的评论,不都是问题的实质吗?
- 博主回复(2011-3-28 20:41)：请参阅新写的”让卷积回归它的物理本源 兼与李小文先生商榷“一文特别是图示的例子。
- [21]吴中祥
- 难道这些针对此文,和回复的评论,不都是问题的实质吗?
- [20]江万寿
- [3] 匿名 2011-3-27 14:57
我猜邹老师说的是将其中一个信号分解为delta函数的和，然后利用卷积的线性性质求卷积的计算技巧。...... - 博主回复(2011-3-27 22:14)：不是那样。请参考我另一篇博文，“卷积不‘卷’”（2）。
- [19]江万寿
- 我认为还是把f(τ)h(t-τ )dτ改成f(τ)h(t+τ )dτ去试一下是否还能得到卷积的所有性质比较有意义。在实际中，我们做模板匹配确实是按照邹老师的做法去做的，没有人会去“折”一下。但总认为这只是一个理解的问题。
- 博主回复(2011-3-27 22:13)：恐怕不是那样，不妨构造一个很小的例子就可检验。
- [18]吴中祥
- 同样的两中说法的公式,硬要说:一个卷一个不卷,
又都要称它们为卷积,
岂不滑稽?! - 博主回复(2011-3-27 22:10)：（1）你关心的是问题的实质，还是“卷积”这个称呼？
（2）请你耐心地思考一下前面的回答
- [17]吴中祥
- 由h(τ)，变成h(-τ)，是不是你所谓的"翻转"?
两者的叠加与你所说的"平移"有什么差别?
为什么你能把它分别说成"卷"和"不卷"?! - 博主回复(2011-3-27 13:50)：(1) 假定 x(t) 是一个时间函数，τ 是一个时刻（数值），x(t-τ) 的波形和 x(t) 的波形相比，是平移，还是翻转？
(2) 所以，从 t 看，t-τ 没有翻转；从τ 看，t-τ 有翻转。拜托，能不能从两个不同的视觉看问题。
（3）博文中的例子是直观的，和传统方法是不是有不同？
- [16] 匿名
- 为什么要“卷”，通俗一点就是把所有的不同延迟的delta函数（在作用光的脉冲时间尺度内）的时间零点放在同一个时间点上，然后再加和所有的delta函数作用样品后的衰减函数。
我们天天都在用这个卷积。
顾名思义：就是把所有不同时刻的delta函数的零点位置都集中（“卷起来”）放在一起，变成一个Delta函数。
具体通俗一点：
卷积在时间分辨光谱的衰减动力学的fit中是常用的。因为作用光有一定的时间宽度，可以看成是无穷多个Delta函数组成，每个Delta函数之间有一定的时间延迟，这些delta函数形成作用光的时间函数。每个delta函数的光作用于样品时产生一个对应的衰减函数，所有的delta函数产生的衰减函数都是一样的，但是彼此之间有时间的延迟，总体上看，总的衰减函数是所有delta函数对应的具有时间延迟的加和，为了把这个时间延迟带来的误差消去，需要把所有的delta的时间原点放在一起，这样你最后得到的衰减函数才是真实的样品的衰减函数。这就是解卷积。
简单说，卷积就是去除作用光函数的时间宽度对样品的衰减的影响。如果作用函数是delta函数，就不要解卷积。因为做用光有宽度，所以需要解卷积。
就这么简单！
博主回复(2011-3-27 00:44)：从物理上理解很好 - 博主回复(2011-3-27 13:25)：“集中起来”有“卷起来”和“叠加起来”两种解释，应该让研究者懂得从不同角度看问题，才会开拓视界。
- [15]吴中祥
- 将h(t)平移一个量h(τ)，再由h(τ)，变成h(-τ)，就是你所谓的"翻转",
再加上变成h(t-τ)，就是卷了啊! - 博主回复(2011-3-27 13:20)：(1) 假定 x(t) 是一个时间函数，τ 是一个时刻（数值），x(t-τ) 的波形和 x(t) 的波形相比，是平移，还是翻转？
（2）将叠加原理重新叙述一下：将函数 h(t) 平移到时刻τ，就成为
h(t-τ), 乘上 τ 时刻的信号强度 f(τ)Δτ, 得到时刻τ的输入造成的响应
h(t-τ)f(τ)Δτ。由于输入是持续的，输出就是取遍所有τ 时刻的叠加。当 Δτ --> 0 时，就是叠加积分。
（3）如果你是数学老师，以上介绍就是多余。因为卷积是线性积分算子∫h(t，τ )f(τ)dτ 在时不变条件下的简化情况。在泛函分析中讨论的是这种更一般的线性积分算子，完全不会关注“卷”或“不卷”这样的问题，或者说，没有“卷”这个概念。“卷”是针对线性时不变系统模型出现的问题，是物理化和工程化问题。既然是这样，就有必要使学生们了解对问题的解释和计算处理的全面情况。
- [14]唐骏
- 是一篇对“卷积”解释得很透彻的博文，但“卷积”最近为何如此受“欢迎”，本人觉得与大学老师的讲课不无关系，尤其是《信号与系统》这门课，绝大多数的教材（国内的几乎全是）采取的方式是先定义“卷积”，接着就是计算方法，从步骤上来看，“卷积”的名字取得似乎合情合理，却往往让学生错过了它的本质。在《信号与系统》这门课中，“卷积”是描述“线性是不变系统”输入与输出之间的关系，因此更应该突出“线性”和“时不变”在“卷积”中的含义，这正是邹老师所说的以不卷的方式去理解。“卷积”真应该受如此“礼遇”么？即可喜，也可悲，在奥本海姆的《信号与系统》第二章前几页已经写得相当清楚了，国内教材可以休也！！
- 博主回复(2011-3-27 13:33)：确实如此。国内教科书作者通常比较浮躁，奥本海姆的《信号与系统》是一本很严谨的书。国内类似的教科书看起来差不多，但似乎总有些部分经不起仔细阅读和推敲。
- [13]shatan
- 这是我理解的最直接的卷积。（曾经贴在曹老师博文的评论里）：
物理系统：一对弹簧（k）和阻尼（c）元件，支撑着一个质量块（m），组成一个单自由度系统。‘质量块（m）可在垂直平面内做上下往复运动。m储存动能，k储存势能，c消耗能量。
运动方程：mx’’ + cx’ + kx = f(t)。其中，x’’, x’, x 分别为加速度，速度和位移。f(t) 表示加在质量块上的外力。
输入输出：系统在外力f(t)的作用下就会产生运动，因此，我们可以把f(t)看作输入，把运动的位移x(t)看作输出。对于一个给定的输入和初始条件，输出取决于系统的属性，即，m, c 和k 的值.
例1：在t=0时，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP1表示，单位用牛顿秒表示。IMP1也可理解为一个很大的常力F其作用时间段为dt，即IMP1= F*dt（dt很小）。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP1*e^(-a2*t)*sin(a3*t)。其中a1, a2, a3为可计算常数，指数部分负责振幅衰减，正弦部分负责震荡。
例2：在t = t1时 (t1 > 0)，m受到一个瞬间冲击力，大小用IMP2表示，单位用牛顿秒表示。在此瞬间冲击力的作用下，m将偏离平衡位置，发生运动。由于阻尼的存在，振幅随时间衰减，具体表示为：x(t) = a1*IMP2*e^(-a2*(t-t1))*sin(a3*(t-t1))。
例3：外力f(t)是一个随时间变化的连续函数，那么如何求出在f(t)作用下系统的响应呢，即x(t) = ? 这里我们首先把f(t)曲线的时间轴分成n段，段长为dt，即所谓的离散化。现在我们看看其中任何一段，比如在ti的那段：高度为f(ti)，宽度为dt，我们可以把这一段看作为一个冲击力，大小为f(ti)*dt。根据例2，我们知道如何计算在此冲击力作用下系统t > ti后的响应。这里要注意的是，还有1到（i-1）段的所有冲击力对当前系统的运动还在起所用，所以必须考虑进来，因为是线性系统，可以使用叠加原理，每段冲击力逐个加起来，即，
x(ti) = sum(f(tj)*dt*a1* e^(-a2*(t-tj))*sin(a3*(t-tj))), j=1…i
然后我们设dt趋于无穷小，上式就变成了积分
x(t) = a1* e^(-a2*t)*int(f(tau)* e^(a2*tau)*sin(a3*(t-tau)), dtau，tau = 0 …t)
就此，得到了著名的卷积分，其中包含：f(tau) 和sin(a3*(t-tau))。给定一个输入f(t), 就可以通过积分求出它的输出x(t)。 - 博主回复(2011-3-27 13:39)：从物理和工程出发，可以对卷积形成形象化概念。
- [12]江万寿
- 老邹的这篇文章对年轻人有误导之嫌。
- 博主回复(2011-3-27 01:36)：你的这个意见提醒我应该更加细致地解释。正是因为 τ 是积分变量，被积函数中出现 -τ， 才导致了传统的关于卷积的解释。这种解释基于这样一种隐含的规则：逐点地定义和计算g(t). 这样从数学上分析和处理是方便的。但从数学描述的物理事实来看，很不合理。另一方面，如果不限定逐点地定义和计算g(t)，而是按叠加原理来定义和计算，就会发现数学和物理事实的一致性。
不卷的观点是对传统观点的补充，应该告诉学生有两种不同的理解和算法，才不会误导，并且可增加兴趣。
从实际应用来看，不卷的观点增益很多，例如反卷积的支持域估计。作为例子，你不妨用传统方法试一试博文后的例子，一定会使你有深刻体会。
- [11]江万寿
- 卷积的“卷”这样理解不敢苟同。卷积的实质应该确实是那个f(τ)h(t-τ )dτ的-τ，因为这是积分的变量。如果说卷积不用卷，我们应该有f(τ)h(t+τ )dτ，这样就变成相关了。其实卷积的重要性应该是其性质或物理意义，最重要的就是卷积定理吧。 如果说卷积不用卷也只是一种实用主义的做法，例如对称信号自然不用卷，不对称信号可以“不卷”其结果实为其“对称”信号的卷积。就像视网膜上的世界影像应该是倒得，只是我们习惯了而已。
- [10] 匿名
- 卷积是系统特性对输入信息延时响应的累积。
- 博主回复(2011-3-27 01:08)：可以这样解释
- [9]吴中祥
- 将h(t)平移一个量h(τ)，变成h(t-τ)，就是卷了啊!
- 博主回复(2011-3-27 01:08)：平移不是“卷”，时间上翻转才是“卷”。t 和τ 是两个时间量。以时间坐标 t 来看，t-τ 只是时间的平移，没有翻转。然而，以时间坐标 τ 来看，t-τ 就是时间上的翻转。一个表达式可以有不同解读，隐含着不同的性质和应用。研究者最好都要把握。
- [8] 匿名
- 具体通俗一点：
卷积在时间分辨光谱的衰减动力学的fit中是常用的。因为作用光有一定的时间宽度，可以看成是无穷多个Delta函数组成，每个Delta函数之间有一定的时间延迟，这些delta函数形成作用光的时间函数。每个delta函数的光作用于样品时产生一个对应的衰减函数，所有的delta函数产生的衰减函数都是一样的，但是彼此之间有时间的延迟，总体上看，总的衰减函数是所有delta函数对应的具有时间延迟的加和，为了把这个时间延迟带来的误差消去，需要把所有的delta的时间原点放在一起，这样你最后得到的衰减函数才是真实的样品的衰减函数。这就是解卷积。
简单说，卷积就是去除作用光函数的时间宽度对样品的衰减的影响。如果作用函数是delta函数，就不要解卷积。因为做用光有宽度，所以需要解卷积。
就这么简单！ - 博主回复(2011-3-27 00:44)：从物理上理解很好
- [7]袁贤讯
- 这个例子很好，说明了卷积就是乘积的数学本质。从二维卷积确定积分域，也是一个加深理解卷积的好办法。谢谢。
- [6]李铭
- 卷积的“卷”不在于你讲的翻转。
- 博主回复(2011-3-26 18:42)：期待你对“卷“给出新解释。
- [5] 匿名
- 非常好！！非常好
- [4]黄富强
- 我觉得讲的很有逻辑性，对“卷积"的初试人知很有感觉，讲述策略很好！例子也耐人寻味！
- [3]闵应骅
- 这是数学科普。
- 博主回复(2011-3-26 15:35)：正是如此。希望对初学者有帮助。
- [2] 匿名
- 最近卷积发了多篇文章了，我是没看明白，也许因为是博文的关系，他们都不认真的写，所以描述就不清楚，比如这篇文章，说是不用卷，“因为将h(t)平移一个时间量τ成为h(t-τ)”，那不还是将τ变成h(t-τ)吗，把这一码跳过去了，而后就说不用卷了，不清楚想说什么，而例子中也没有平移的过程，只是将二个序列相乘而后求和，这是后一步的，平移过程的“无卷”如何实现呢？标题很好，结果很好，过程很差。
- 博主回复(2011-3-26 18:38)：从τ 看，要翻转。
从t 看，不翻转。 - 博主回复(2011-3-26 15:33)：h(t) 和 h(t-τ) 比较，在时间轴上没有翻转。
传统方法是将h(τ) 和 h(t-τ) 比较，在 时间轴上翻转了。
从例子可以了解具体做法。
- [1] 匿名
- 非常好的文章。
很多时候平时大学卷积就好像学了个“奇怪的”公式。
这个公式，你往往不知道他是怎么来的，他有什么用，他的物理意义有哪些。老师上课一般也不会将这些，而是像输液一样，马上把卷积的公式、性质、算法灌给你。
这种没来头的学习方式，最后导致的结果就是考完忘光光。好像大学等于白学。
其实则是因为学习的过程中，没有思考，只有单纯的记忆，那恰恰是“记忆”不下来的。
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