riemann01 假如每点，每一方向上曲率都等于α，那么这个常曲率流形的线元可表示为

黎曼小传之几何学
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)

　　黎曼的空间观念使数学及物理学发生空前的变革．但是这种先进的思想一直到半个多世纪之后才逐渐变得明显起来．黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓“巴黎之作”，即“论的思想后来为许多数学家所发展．

　　1．黎曼的空间观念

　　黎曼的演讲是面对整个哲学系的教师的，为了使听众理解，整个讲演充满哲学味道，只有一个数学公式．黎曼在讲演中提到他受到两方面的影响：一是高斯关于曲面的研究，一是赫尔巴特的哲学思想．全文分三大部分，第一部分是n维流形的观念，第二部分是n维流形的测度关系，第三部分是对空间的应用．

　　黎曼首先引进n维流形的概念．他的n维流形实际上是n重延量．他把流形的部分称为量子(Quanta)，把流形分为连续流形与离散流形．他的重要思想是把连续流形的理论分为两类，一类只涉及区域关系，另一类涉及大小关系，用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论．康德认为空间是先验的概念，黎曼不同意这种观点，他认为如果空间是先验的，那也只是空间的拓扑部分，至于空间的度量必需由经验确定．黎曼提到空间的构造，他的造法与现代不同，他造的n＋1维流形是通过n维流形同1维流形递归地构造出来的．反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成．

　　黎曼的空间观念发展了高斯内蕴几何学的思想，流形不依赖于外围空间．它本身可以是弯曲的，因此每一点在该空间中的局部不一定相同，为了刻画局部度量，黎曼选择最简单的度量

　　其中｜g_ij｜是正定对称二次型，具有这种度量的流形或空间，后来称为黎曼流形或黎曼空间．但黎曼指出，高阶度量也是容许的，因此，他在某种意义下预示了芬斯拉空间．如果流形的线元

　　的曲率给定之后，这流形的度量关系就完全确定了．假如每点，每一方向上曲率都等于α，那么这个常曲率流形的线元可表示为

　　这就是黎曼在就职演说中的唯一公式．当常曲率流形曲率为0时，便得出平坦流形，即与欧氏空间局部等度量。

　　黎曼就职演说第三部分涉及我们所在的三维空间，实际上是三维流形．首先，他给出空间局部欧氏的三个条件．由于空间即使是局部欧氏的(平坦的)，我们也可以赋予它不同的度量，因此不可能期望只从拓扑的考虑中得出欧氏平行定理．空间的度量必需由实验来确定．他认为天文学将判定哪种几何学适合我们这个物理空间．数学家所能作的只是分析我们的基础假定是什么．黎曼还明确指出空间的无界性(封闭性)与无限性的区别，而且空间的无界性比起我们对外在世界的其他经验有着更大的确定性．他的文章最后说，作为现实基础的空间或者是离散流形，或者是连续流形，如果这样，度量关系的基础必需从外界通过作用其上的结合力得到，判别这点则是物理学而非数学的事．最后，他暗示了他的空间的非欧性．

　　2．黎曼几何学

在1854年的就职论文中，黎曼已经建立黎曼空间的几何学，即黎曼几何学的基础．他给出黎曼度量，提出截面曲率的概念，在所有这些曲出常曲率空间的黎曼度量．在“巴黎之作”的第二部分，黎曼研究了下其中a_ij是给定常数系数．他引进了P_ijk以及(ij，kl)，相当于(略有不同)后来所谓克里斯托费尔记号及黎曼曲率张量的分量．他给出一个二次微分变成另一个的必要条件，并用(ij，kl)来表示．他还给出ds2可变成常系数的条件．他的工作很快由继承人所发展，在物理学上起着积极的作用．

胡作玄(中国科学院系统科学研究所)