Cauchy–Riemann eq 几何上，这样的一个复数的矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角

Geometrically, such a matrix is always the composition of a rotation with a scaling, and in particular preserves angles. Consequently, a function satisfying the Cauchy–Riemann equations, with a nonzero derivative, preserves the angle between curves in the plane. That is, the Cauchy–Riemann equations are the conditions for a function to be conformal


柯西－黎曼方程[编辑]

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复分析中的柯西-黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
在一对实值函数u(x,y)和v(x,y)上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：

(1a)    

和

(1b)    

通常，u和v取为一个复函数的实部和虚部：f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)。假设u和v在开集C上连续可微。则f=u+iv是全纯的，当且仅当u和v的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)。

目录

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• 1 注释和其他表述
  • 1.1 共形映射
  • 1.2 复共轭的独立性
  • 1.3 复可微性
  • 1.4 物理解释
  • 1.5 其它解释
• 2 非齐次方程
• 3 推广
  • 3.1 Goursat定理及其推广
  • 3.2 多变量的情况
• 4 参看
• 5 参考
• 6 外部链接

注释和其他表述[编辑]

共形映射[编辑]

柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：

(2)    

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

其中，。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上，这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放的复合，从而是保角（保持角度不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

复共轭的独立性[编辑]

方程组有时也被写作一个方程

(3)    

其中微分算子定义为

在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为f独立于变量。

复可微性[编辑]

柯西-黎曼方程是函数的复可微性（或称全纯性）的充要条件(Ahlfors 1953，§1.2)
。精确的讲，设

为复数z∈C的函数，则f在点z₀的复导数定义为

如果该极限存在。
若该极限存在，则可以取h→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到

而从虚轴逼近有

f沿着两个轴的导数相同也即

这就是在点z₀的柯西-黎曼方程（2）。
反过来，如果f:C → C作为映射到R²上的函数可微，则f复可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。