秩 “獨立方程”和“相容性” 概念, 將“獨立” 概念定義為n 元陣列的“線性無關

數學傳播34卷1期, pp. 81-88

線性代數理論的形成與發展

馮進

摘要: 線性代數是數學的一個重要分支, 也是大學理工科各專業的一門重要基礎課。

線性代數不僅在技術上發展了數學計算方法, 在語言上充分體現了數學符號的思維

簡潔性, 並在導向抽象代數的結構理論中具有不可忽視的重要作用。我們試圖從學

科發展的整體角度考察線性代數理論的形成與發展, 並指出其在導向抽象理論發展

過程中的某些重要數學思想。

關鍵詞: 線性代數, 抽象代數, 結構理論, 計算技術, 數學思想。

線性代數是數學的一個重要分支, 也是大學理工科各學科的一門重要基礎課, 其計算技術

與數學理論對自然科學和數學學科本身的發展都起著重要作用。瞭解線性代數理論形成與發展

的歷史, 對理解和掌握線性代數的學科特徵與本質屬性, 以及探索近現代數學發展的歷史軌跡

都具有重要意義。一般數學史研究都對作為線性代數重要部分的行列式與矩陣的發展論述較為

詳細, 如文獻[1] [6] 以及文獻[8][10] 等, 大多認為它們在語言上、技術上為數學提供的貢獻大於

它們在思想上為數學作出的啟示, 但它們並沒有深刻地影響數學的進程, 如文獻[8]。事實上, 這

種看法並不是十分完善的, 線性代數不僅在技術上發展了數學計算方法, 在語言上充分體現了

數學符號的思維簡潔性, 從而更深刻地揭示了物件的本質屬性, 並在導向抽象代數的結構理論

中具有不可忽視的重要作用。本文試圖從線性代數作為一門學科整體發展的角度, 考察其理論

的形成與發展, 並指出它在導向抽象理論發展中的某些數學思想。

線性方程組與一元方程一樣有著悠久的歷史, 古代埃及紙草書和巴比倫泥板都記載了方程

及方程組的內容, 並清楚地表明古代這些地區的數學家已經知道一元二次方程的求解; 巴比倫

泥板上也有二元方程組的例子, 如泥板AO8862[7] 上是可化為一元二次方程的方程組, 泥板

VAT8389[8] 上的一題為二元一次線性方程組; 此外, 大約成書於西元前一世紀的中國數學名著

hh九章算術ii, 其中第八章—— “方程” 章, 專門討論線性方程組的求解, 這也是古代比較集中

討論線性方程組的著作。這些都表明, 古代人已經具有“線性關係” 的初步概念。

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按中國古代文字的理解, “方程” 應指把算籌列成方陣進行計算的意思, 這裏的算籌是中國

古代的一種計算工具, hh九章算術ii 中的線性方程組就是通過排成方陣的算籌的一系列有序的

移動(即運算) 來求解的, 類似於我們今天寫出線性方程組的係數矩陣並進行矩陣的初等變換

(elementary transformation of matrix) 的求解方法, 從這個意義上說, 方程和矩陣的概念

起源於中國古代的方陣算籌。

線性方程組的理論研究遲至18 世紀才真正開始, 並逐步形成行列式、矩陣、線性空間、線

性變換等具體分支, 其中矩陣作為一個通用的數學工具, 自身就發展成一門龐大的分支學科。經

過幾個世紀的發展, 線性方程組不僅從計算的角度獲得了較為完滿的結果, 並在理論上有了深

入的發展, 逐步演變成一個初步公理化的結構體系, 19 世紀末皮亞諾(G. Peano, 1858∼1932,

義大利) 給出了空間的公理化定義, 由此發展成一門較為成熟的學科—— 線性代數。同時, 在

認識抽象物件、抽象數學概念、發展結構理論、表示抽象結構等方面, 在19世紀以來抽象代數

結構理論的發展中發揮了積極作用。

一、作為計算的線性方程組的解法

與一元方程一樣, 線性方程組的研究, 一開始就是解法的研究。hh九章算術ii 中給出了三元

一次線性方程組籌算求解方法, 它相當於現在的高斯(C. F. Gauss, 1777∼1855, 德國) 消去

法(Gaussian elimination), 高斯大約在1800 年提出了這個方法, 並將它用於解決天體計算

和後來的地球表面測量計算, 高斯消去法當時一直被認為是測地學發展的一部分, 而不是數學。

高斯消去法最初被若當(W. Jordan, 1842∼1899, 德國測量學家) 改進了演算法的穩定性後,

發表在他撰寫的測地學手冊中, 許多人把“高斯-若當” 消去法中的若當誤認為是著名的法國代

數學家C. 若當(C. Jordan, 1838∼1922) 或物理學家P. 若當(P. Jordan, 1902∼1980,

德國量子物理學家)。這個消去法的重要意義在於,它不僅可以作為線性方程組的普通求解方法,

還可用簡短的迭代來表達整個求解過程, 是現代計算方法中一個基本的演算法, 完全可用於電

腦自動處理。高斯消去法用矩陣方式表示相當於對矩陣作初等變換, 將它化為階梯形矩陣或行

最簡形的過程, 這是應用矩陣語言對線性方程組解法的進一步簡化。

線性方程組公式解法儘管不像三次方程求根公式那樣轟轟烈烈、舉世聞名, 但它的探索也

對數學理論發展起了極大推動作用。二元線性方程組求解公式最初出現在義大利數學家、醫學

家卡丹(G. Cardano, 1501∼1576) 1545 年的著作hh大術ii 中, 他用稱為“規則之母” 的方

法求解了兩個來自貿易問題的線性方程組[9], 用現代符號表示即給出了二元一次線性方程組解

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的一般公式:

8<:

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

⇒

8>><>>:

x1 =

a22(b1/a12) − b2

a22(a11/a12) − a21

x2 =

a11(b2/a21) − b21

a22(a11/a21) − a12

.

一般地, 方程個數與未知量個數相同的線性方程組(係數行列式不為零時) 的解經過萊布

尼茲(G. W. Leibniz, 1646∼1716, 德國)、馬克勞林(C. Maclaurin, 1698∼1746, 英國)

的發展, 由克萊姆(G. Cramer, 1704∼1752, 瑞士) 歸納成“克萊姆法則” 而聞名於世。1750

年, 他在hh線性代數分析導言ii 中給出瞭解線性方程組著名的“克萊姆法則”, 用今天的矩陣符

號表示即: 若設Ax = b, 則

x1 =

|A1|

|A|

, x2 =

|A2|

|A|

, . . . , xn =

|An|

|A|

,

其中A 為方程組係數組成的n 階可逆矩陣, Ai 分別為方程組的常數列b 替換A 的第i 列

後的矩陣。克萊姆不僅給出了上述公式, 並指出了行列式|A|、|Ai| 計算中項的符號的確定辦

法, 以及怎麼由分母上的行列式得到分子上行列式的規律。這個規則克萊姆自己沒有給出證明,

1815 年柯西(A. L. Cauchy, 1789∼1857, 法國) 第一次給出了它的證明。

給出方程組解的公式僅是方程求解的一個部分, 方程組的理論就是要弄清楚, 方程組為何

會有解、什麼時候有解、解是怎麼構成的等等問題, 這些理論在19 世紀中葉前後還都是以行列

式的形式來研究與描述的, 直到發現矩陣可以作為一個獨立的學科發展而有了現代的矩陣語言

敘述。因此, 行列式理論本身就促進了線性方程組理論的深入發展。史密斯(H. J. S. Smith,

1826∼1883, 英國)、道奇森(L. C. Dodgson, 1832 1898, 英國)、弗羅貝尼烏斯(F. G.

Frobenius, 1849∼1917, 德國) 等推動了線性方程組解的結構理論的發展。

歐拉(L. Euler, 1707∼1783, 瑞士) 早先發現過一個方程組的解不唯一的例子, 但他沒

有意識到這是由於係數矩陣行列式的值為零引起的, 對此感到困惑; 弗羅貝尼烏斯也曾嘗試過

研究方程組解集的特徵, 但未能如願。史密斯研究了相當於現在的導出組(derived system of

linear equations) 的齊次線性方程組, 給出“獨立方程(independent equation)” 以及相當

於自由未知數的概念, 史密斯還引入了增廣矩陣和非增廣矩陣的術語, 指出了非齊次線性方程

組解的結構, 即: 若非齊次線性方程組為AX = b, 其中b 6= 0, 則方程組的全部解為X +X,

這裏X 為非齊次方程組的一個特解, X 為對應的導出組的全部解。道奇森在1867 年hh行列

式的初等理論ii 中, 用較為複雜、囉嗦的語言描述了非齊次線性方程組有解的判別定理,他對方

程組是否一定有解使用的是“相容”, 這與矛盾方程相對應。弗羅貝尼烏斯1879 年在他們基礎

上, 徹底理解了“獨立方程”和“相容性” 概念, 將“獨立” 概念定義為n 元陣列的“線性無關

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性”, 並給出了“秩” 的概念, “相容d